Dua Vektor Membentuk Sudut 0° (Berhimpit dan Searah)
Vektor \(\textbf{p}\) dan \(\textbf{q}\) terletak pada satu garis yang sama (kolinear) dan membentuk sudut 0°
\(\textbf{p}\) merupakan kelipatan positif dari \(\textbf{q}\), dapat ditulis:
\(\color{blue} \textbf{p} \color{black} = k\cdot \color{red} \textbf{q}\)
dengan \(k\) adalah suatu skalar yang bernilai positif
Dua Vektor Membentuk Sudut 180° (Berlawanan Arah)
Vektor \(\textbf{p}\) dan \(\textbf{q}\) terletak pada satu garis yang sama (kolinear) dan membentuk sudut 180°
\(\textbf{p}\) merupakan kelipatan negatif dari \(\textbf{q}\), dapat ditulis:
\(\color{blue} \textbf{p} \color{black} = k\cdot \color{red} \textbf{q}\)
dengan \(k\) adalah suatu skalar yang bernilai negatif
Contoh Soal
Soal 1
Jika \(\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right)\) dan \(\textbf{v} = \left(\begin{array}{c}m\\ -6\end{array}\right)\) membentuk sudut \(0^{\circ}\) tentukan nilai \(m\)
\(\textbf{u} = k\cdot \textbf{v}\)
\(\left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right) = k\cdot \left(\begin{array}{c}m\\ -6\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}mk\\ -6k\end{array}\right)\)
\(-3 = -6k\)
\(k = \frac{3}{6}\)
\(k = \frac{1}{2}\)
\(4 = mk\)
\(4 = \frac{1}{2}m\)
\(m = 8\)
Soal 2
Manakah vektor yang berhimpit dan searah dengan \(\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\)?
(A) \(\textbf{a} = \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\)
(B) \(\textbf{b} = \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)\)
(C) \(\textbf{c} = \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\)
(D) \(\textbf{d} = \left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right)\)
(E) \(\textbf{e} = \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\end{array}\right)\)
Jawaban: D
Vektor yang berhimpit dan searah dengan \(\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\) adalah vektor \(\textbf{d}\), karena \(\textbf{d}\) adalah kelipatan positif dari \(\textbf{u}\).
\(\textbf{d} \color{black} = k\cdot \textbf{u}\)
\(\left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right) = 3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\)
Soal 3
Jika \(\textbf{p} = \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\end{array}\right)\) dan \(\textbf{q} = \left(\begin{array}{c}35\\ m\end{array}\right)\) membentuk sudut 180°, tentukan nilai \(m\)
\(\textbf{p} = k\cdot \textbf{q}\)
\(\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\end{array}\right) = k\cdot \left(\begin{array}{c}35\\ m\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}35k\\ mk\end{array}\right)\)
\(-5= 35k\)
\(k = -\frac{5}{35}\)
\(k =-\frac{1}{7}\)
\(-3 = mk\)
\(-3 =-\frac{1}{7}m\)
\(m = 21\)
Soal 4
Manakah vektor yang dapat membentuk sudut 180° dengan \(\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}-3\\ 10\end{array}\right)\)?
(A) \(\textbf{a} = \left(\begin{array}{c}3\\10\end{array}\right)\)
(B) \(\textbf{b} = \left(\begin{array}{c}-3\\ -10\end{array}\right)\)
(C) \(\textbf{c} = \left(\begin{array}{c}-6\\20\end{array}\right)\)
(D) \(\textbf{d} = \left(\begin{array}{c}-30\\-9\end{array}\right)\)
(E) \(\textbf{e} = \left(\begin{array}{c}12\\-40\end{array}\right)\)
Jawaban: E
Vektor yang dapat membentuk sudut 180° dengan \(\textbf{u} = \left(\begin{array}{c}-3\\10\end{array}\right)\) adalah vektor \(\textbf{e}\), karena \(\textbf{e}\) adalah kelipatan negatif dari \(\textbf{u}\).
\(\textbf{e} \color{black} = k\cdot \textbf{u}\)
\(\left(\begin{array}{c}12\\-40\end{array}\right) = -4\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 10\end{array}\right)\)
Soal 5
Diketahui titik P\((-5, x , y)\), Q\((0, 10, 8)\), dan R\((5, -4, -2)\) kolinear. Tentukan nilai \(x\:-\:y\).
Titik P, Q, dan R berada dalam satu garis yang sama (kolinear), sehingga berlaku:
\(\overrightarrow{\text{PR}} = k\cdot \overrightarrow{\text{PQ}}\)
\(\textbf{r}\:-\:\textbf{p} = k\cdot (\textbf{q}\:-\:\textbf{p})\)
\(\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\-2\end{array}\right)\:-\:\left(\begin{array}{c}-5\\ x\\y\end{array}\right) = k\cdot \left[\left(\begin{array}{c}0\\10\\8\end{array}\right)\:-\:\left(\begin{array}{c}-5\\x\\y\end{array}\right)\right]\)
\(\left(\begin{array}{c}10\\ -4\:-\:x\\-2\:-\:y\end{array}\right)= k\cdot \left(\begin{array}{c}5\\10\:-\:x\\8\:-\:y\end{array}\right)\)
\(10 = k\cdot 5\)
\(k = \frac{10}{5} = 2\)
\(-4\:-\:x = k (10\:-\:x)\)
\(-4\:-\:x = 2(10\:-\:x)\)
\(-4\:-\:x = 20\:-\:2x\)
\(2x\:-\:x = 20 + 4\)
\(x = 24\)
\(-2\:-\:y = k(8\:-\:y)\)
\(-2\:-\:y = 2(8\:-\:y)\)
\(-2\:-\:y = 16\:-\:2y\)
\(2y\:-\:y = 16 + 2\)
\(y = 18\)
\(x\:-\:y = 24\:-\:18 = 6\)
