Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari \(r\)

\(\color{blue} x^2 + y^2 = r^2\)

  Contoh Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini:

Rendered by QuickLaTeX.com

Lingkaran di atas berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari 4. Persamaan lingkarannya adalah: \(x^2 + y^2 = 4^2\) \(x^2 + y^2 = 16\)  
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari \(r\)  

\(\color{blue} (x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\)

  Contoh Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini:

Rendered by QuickLaTeX.com

Lingkaran di atas berpusat di titik (1, 2) dan berjari-jari 3. Persamaan lingkarannya adalah: \((x\:-\:1)^2 + (y\:-\:2)^2 = 3^2\) \(x^2 \:-\:2x + 1 + y^2 \:-\:4y + 4 = 9\) \(x^2 + y^2 \:-\:2x\:-\:4y + 5\:-\:9 = 0\) \(x^2 + y^2 \:-\:2x\:-\:4y \:-\:4 = 0\)  
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik \(\left(-\dfrac{1}{2}\text{A}, -\dfrac{1}{2}\text{B}\right)\) dan berjari-jari \(\text{R}\)  

\(\color{blue} x^2 + y^2 + \text{A}x + \text{B}y + C = 0\)

  Cara menghitung jari-jari: R = \(\sqrt{(-\frac{1}{2}\text{A})^2 + (-\frac{1}{2}\text{B})^2\:-\:\text{C}}\) R = \(\sqrt{\frac{1}{4}\text{A}^2 +\frac{1}{4}\text{B}^2 \:-\:\text{C}}\)   Contoh Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:6x + 4y + 2 = 0\)   Nilai \(\text{A} = -6, \text{B} = 4, \text{ dan } \text{C} = 2\) Pusat lingkaran: \((-\frac{1}{2}\text{A}, -\frac{1}{2}\text{B})\) \([-\frac{1}{2}(-6), -\frac{1}{2}(4)]\) \((3, -2)\)   Jari-jari lingkaran: R = \(\sqrt{\frac{1}{4}\text{A}^2 + \frac{1}{4}\text{B}^2 \:-\:\text{C}}\) R = \(\sqrt{\frac{1}{4}(-6)^2 + \frac{1}{4}(4)^2 \:-\:2}\) R = \(\sqrt{\frac{1}{4}(36) + \frac{1}{4}(16) \:-\:2}\) R = \(\sqrt{9 + 4 \:-\:2}\) R = \(\sqrt{11}\)
atau
Karena pusat lingkaran sudah diketahui berada di titik \((3, -2)\), maka jari-jari lingkarannya adalah: R = \(\sqrt{(3)^2 + (-2)^2 \:-\:2}\) R = \(\sqrt{9 + 4 \:-\:2}\) R = \(\sqrt{11}\)  

Persamaan Parametrik Lingkaran

  Persamaan implisit \(x^2 + y^2 = 1\) merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari 1. Lingkaran ini juga diidentifikasi dengan persamaan parametrik \(x = \cos \alpha\) \(y = \sin \alpha\) \(0 \leq \alpha \leq 2\pi\)   Persamaan parametrik lingkaran yang berpusat di \((a, b)\) dan berjari-jari \(r\) adalah: \(x = a + r \cos \alpha\) \(y = b + r \sin \alpha\) dengan \(0 \leq \alpha \leq 2 \pi\)  

RUMUS PENTING!

  A. Jarak titik ke titik Jarak titik P\((x_1, y_1)\) ke titik Q\((x_2, y_2)\) adalah:  

\(\color{blue}\text{PQ} = \sqrt{(x_2\:-\:x_1)^2 + (y_2\:-\:y_1)^2}\)

  Contoh Tentukan jarak titik P\((6, -5)\) ke titik Q\((0, -13)\). \(\text{PQ} = \sqrt{(0\:-\:6)^2 + (-13\:-\:(-5))^2}\) \(\text{PQ} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2}\) \(\text{PQ} = \sqrt{36 + 64}\) \(\text{PQ} = \sqrt{100}\) \(\text{PQ} = 10\text{ satuan}\)
B. Jarak titik ke garis Jarak titik P\((x_1, y_1)\) ke garis \(ax + by + c = 0\) adalah:  

\(\color{blue} r = \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|\)

  Contoh Tentukan jarak titik P\((2, 1)\) ke garis \(3x\:-\:4y + 10 = 0\) \(r = \left|\dfrac{3x_1\:-\:4y_1 + 10}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right|\) \(r = \left|\dfrac{3(2)\:-\:4(1) + 10}{\sqrt{9 + 16}}\right|\) \(r = \left|\dfrac{6\:-\:4 + 10}{\sqrt{25}}\right|\) \(r = \left|\dfrac{12}{5}\right|\) \(r = 2\dfrac{2}{5}\text{ satuan}\)
C. Titik Tengah Ruas Garis Titik tengah ruas garis PQ, dengan \(\text{P}(x_1, y_1)\) dan \(\text{Q}(x_2, y_2)\) adalah titik M.   \(\color{blue}\text{M}\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)   Contoh Tentukan koordinat titik M yang berada di tengah ruas garis PQ, dengan titik \(\text{P}(2, 6)\) dan \(\text{Q}(-4, 10)\)   \(\text{M}\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\) \(\text{M}\left(\dfrac{2 + (-4)}{2}, \dfrac{6 +10}{2}\right)\) \(\text{M}\left(\dfrac{-2}{2}, \dfrac{16}{2}\right)\) \(\text{M}(-1, 8)\)  
CONTOH SOAL
  Soal 1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (7, 24).    
Soal 2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan menyinggung garis \(y = 3\).    
Soal 3 Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki diameter PQ, dengan titik \(\text{P}(-3, 5)\) dan \(\text{Q}(7, 15)\)    
Soal 4 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, 2) dan menyinggung sumbu \(x\).    
Soal 5 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1, 2) dan menyinggung sumbu \(y\).    
Soal 6 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 1) dan menyinggung garis \(50x\:-\:47y + 185 = 0\).    
Soal 7 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak di garis \(5x\:-\:7y + 1 = 0\) dan menyinggung sumbu \(x\) di titik \((2, 0)\).    
Soal 8 Diketahui lingkaran \(2x^2 + 2y^2 \:-\:8x\:-\:my + 2 = 0\) melalui titik \((0, 1)\). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.