Soal 01
Jika \(a \times b = a\:-\:b\) dengan \(a \neq 0\) dan \(b \neq 0\), maka nilai \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\:-\:ab = \dotso\)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawaban: B
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\:-\:ab\)
\(\dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{b^2}{ab}\:-\:(a\:-\:b)\)
\(\dfrac{a^2 + b^2}{ab}\:-\:(a\:-\:b)\)
\(\dfrac{a^2 + b^2}{a\:-\:b}\:-\:\dfrac{(a\:-\:b)^2}{a\:-\:b}\)
\(\dfrac{a^2 + b^2\:-\:(a\:-\:b)^2}{a\:-\:b}\)
\(\dfrac{a^2 + b^2\:-\:(a^2\:-\:2ab + b^2)}{a\:-\:b}\)
\(\dfrac{a^2 + b^2\:-\:a^2 + 2ab \:-\: b^2}{a\:-\:b}\)
\(\dfrac{2ab}{a\:-\:b}\)
\(\dfrac{2\cancel{(a\:-\:b)}}{\cancel{a\:-\:b}}\)
\(2\)
Soal 02
Dua buah persegi panjang dengan ukuran 10 cm × 8 cm dan 12 cm × 9 cm tumpang tindih seperti pada gambar di bawah ini:
Jika luas daerah yang berwarna hitam adalah 37 cm², maka luas daerah yang berwarna hijau adalah
(A) 60 cm²
(B) 62 cm²
(C) 62,5 cm²
(D) 64 cm²
(E) 65 cm²
Jawaban: E
Misal luas daerah putih adalah \(x\)
Luas daerah hitam = \((8 \times 10)\:-\:x\)
\(37 = 80\:-\:x\)
\(x = 43\text{ cm}^2\)
Luas daerah hijau = \((12 \times 9)\:-\:x\)
Luas daerah hijau = \(108\:-\:43 = 65 \text{ cm}^2\)
Soal 03
Hasil kali semua nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \((x\:-\:6)^{x^2\:-\:12} = (x\:-\:6)^x\) adalah …
(A) −2520
(B) −2550
(C) −2260
(D) 2520
(E) 2550
Jawaban: A
Persamaan eksponen di atas, berbentuk \(\text{h(x)}^{\text{f(x)}} = \text{h(x)}^{\text{g(x)}}\)
Kemungkinan 1: \(\text{f(x)} = \text{g(x)}\)
\(x^2\:-\:12 = x\)
\(x^2\:-\:x\:-\:12 = 0\)
\((x\:-\:4)(x + 3) = 0\)
\(x\:-\:4 = 0 \rightarrow \color{blue} x_1 = 4\)
\(x + 3 = 0 \rightarrow \color{blue} x_2 = -3\)
Kemungkinan 2: \(\text{h(x)} = 1\)
\(x\:-\:6= 1\)
\(\color{blue} x_3 = 7\)
Kemungkinan 3: \(\text{h(x)} = 0\)
Syaratnya f(x) dan g(x) harus positif
\(x\:-\:6 = 0\)
\(\color{blue} x_4 = 6\)
\(\text{f(6)} = 6^2\:-\:12 > 0 \text{ positif}\)
\(\text{g(6)} = 6 > 0 \text{ positif}\)
Kemungkinan 4: \(\text{h(x)} =-1\)
Syarat f(x) dan g(x) harus sama-sama ganjil atau sama-sama genap
\(x\:-\:6 = -1\)
\(\color{blue} x_5 = 5\)
\(\text{f(5)} = 5^2\:-\:12 = 13 \text{ ganjil}\)
\(\text{g(5)} = 5 \text{ ganjil}\)
Himpunan penyelesaian = \(\lbrace -3, 4, 5, 6, 7 \rbrace\)
Hasil kalinya adalah \(-3\times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = -2520\)
Soal 04
Jika \(x^2 + 7x + 49 = 0\) maka nilai \(x^3 = \dotso\)
(A) 144
(B) 169
(C) 225
(D) 343
(E) 441
Jawaban: D
\(x(x^2 + 7x + 49) = 0\)
\(x^3 + 7x^2 + 49x = 0\)
\(x^3 + 7(x^2 + 7x) = 0\)
\(x^3 + 7(-49) = 0\)
\(x^3 \:-\:343= 0\)
\(x^3 = 343\)
Soal 05
Diketahui 3 buah persamaan simultan:
\((a\:-\:1)(b\:-\:2) = 50\)
\((b\:-\:2)(c\:-\:3) = 16\)
\((c\:-\:3)(a\:-\:1) = 8\)
Nilai dari \(a + b + c = \dotso\)
(A) 18,5
(B) 20,5
(C) 21,5
(D) 22,5
(E) 22,6
Jawaban: E
\((a\:-\:1)(b\:-\:2) = 50\dotso\dotso (1)\)
\((b\:-\:2)(c\:-\:3) = 16\dotso\dotso (2)\)
\((c\:-\:3)(a\:-\:1) = 8\dotso\dotso (3)\)
Kalikan ketiga persamaan di atas,
\((a\:-\:1)^2 (b\:-\:2)^2 (c\:-\:3)^2 = 50 \times 16 \times 8\)
\((a\:-\:1)^2 (b\:-\:2)^2 (c\:-\:3)^2 = 6400\)
\((a\:-\:1) (b\:-\:2) (c\:-\:3) = \sqrt{6400}\)
\((a\:-\:1) (b\:-\:2) (c\:-\:3) = 80\dotso\dotso (4)\)
Dengan melakukan substitusi persamaan (1) ke persamaan (4), didapatkan:
\(50(c\:-\:3) = 80\)
\(c\:-\:3 = \dfrac{80}{50} = \dfrac{8}{5}\)
\(c = \dfrac{8}{5} + 3 = \dfrac{23}{5} = 4,6\)
Dengan melakukan substitusi persamaan (2) ke persamaan (4), didapatkan:
\((a\:-\:1)16= 80\)
\(a\:-\:1 = \dfrac{80}{16} = 5\)
\(a = 5 + 1 = 6\)
Dengan melakukan substitusi persamaan (3) ke persamaan (4), didapatkan:
\(8(b\:-\:2) = 80\)
\(b\:-\:2 = \dfrac{80}{8} = 10\)
\(b = 10 + 2 = 12\)
Nilai \(a + b + c = 6 + 12 + 4,6 = 22,6\)
Soal 06
Sebuah perusahaan setiap bulannya memberikan dua buah tunjangan kepada karyawannya, yaitu tunjungan keluarga dan tunjangan kesehatan. Besarnya tunjangan keluarga ditentukan \(\dfrac{1}{6}\) dari gaji pokok ditambah Rp100.000,00. Sementara besarnya tunjangan kesehatan adalah \(\dfrac{1}{3}\) dari tunjangan keluarga. Jika seorang pegawai dengan gaji pokok Rp3.000.000,00, maka besar tunjangan kesehatannya adalah …
(A) Rp150.000,00
(B) Rp200.000,00
(C) Rp300.000,00
(D) Rp325.000,00
(E) Rp400.000,00
Jawaban: B
Besar tunjangan keluarga = \(\left(\dfrac{1}{6} \times 3.000.000\right) + 100.000 = 600.000\)
Besar tunjangan kesehatan = \(\dfrac{1}{3}\times 600.000 = 200.000\)
Jadi besar tunjangan kesehatan untuk seorang karyawan dengan gaji pokok 3 juta adalah Rp200.000,00
Soal 07
Tujuh tahun yang lalu, umur Ayah sama dengan 15 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang, selisih umur Ayah dan Budi adalah 28 tahun. Umur Budi 3 tahun yang lalu adalah …
(A) 3 tahun
(B) 4 tahun
(C) 5 tahun
(D) 6 tahun
(E) 7 tahun
Jawaban: D
Misal umur Ayah sekarang adalah \(x\) dan umur Budi sekarang adalah \(y\)
Tujuh tahun yang lalu, umur Ayah sama dengan 15 kali umur Budi
\(x\:-\:7 = 15(y\:-\:7)\)
\(x\:-\:7 = 15y\:-\:105\)
\(x = 15y\:-\:105 + 7\)
\(x = 15y\:-\:98\dotso\dotso(1)\)
Empat tahun yang akan datang, selisih umur Ayah dan Budi adalah 28 tahun
\((x + 4)\:-\:(y + 4) = 26\)
\(x\:-\: y = 28\dotso\dotso(2)\)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
\(15y\:-\:98\:-\: y = 28\)
\(14y\:-\:98 = 28\)
\(14y = 28 + 98\)
\(14y = 126\)
\(y = \dfrac{126}{14} = 9\)
Karena umur Budi sekarang adalah 9 tahun maka umur Budi 3 tahun yang lalu adalah 6 tahun
Soal 08
Jika \(\dfrac{5x + 4y}{3x\:-\:4y}= 7\), maka \(\dfrac{x + y}{x\:-\:y} = \dotso\)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawaban: C
\(\dfrac{5x + 4y}{3x\:-\:4y}= 7\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kali silang}\)
\(5x + 4y = 7(3x\:-\:4y)\)
\(5x + 4y = 21x\:-\:28y\)
\(4y + 28y = 21x\:-\:5x\)
\(32y = 16x\)
\(\dfrac{32}{16}y = x\)
\(x = 2y\)
\(\dfrac{x + y}{x\:-\:y} = \dfrac{2y + y}{2y\:-\:y}\)
\(\dfrac{x + y}{x\:-\:y} = \dfrac{3y}{y} = 3\)
Soal 09
Joko akan membuat sebuah bangun ruang sisi lengkung dengan menggunakan kertas karton yang sudah dipotong dengan ukuran seperti pada gambar berikut:
Pernyataan yang benar tentang bangun ruang sisi lengkung yang dibuat Joko adalah …
(A) Bangun ruang yang dibuat Joko adalah bola
(B) Luas selimut bangun ruang sisi lengkung yang terbentuk adalah 482 cm²
(C) Tinggi bangun ruang sisi lengkung yang terbentuk adalah \(14\sqrt{3}\text{ cm}\)
(D) Volume bangun ruang sisi lengkung yang terbentuk adalah \(\dfrac{2156}{3}\sqrt{2}\text{ cm}^3\)
(E) Bangun ruang sisi lengkung yang terbentuk memiliki alas berbentuk belah ketupat
Jawaban: D
Bangun ruang sisi lengkung yang akan dibuat Joko adalah kerucut, kerucut memiliki alas yang berbentuk lingkaran
Luas selimut kerucut = luas juring dengan sudut pusat 120° dan jari-jari 21 cm
Luas selimut kerucut = \(\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \text{r}^2\)
Luas selimut kerucut = \(\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{22}{7} \cdot 21^2\)
Luas selimut kerucut = \(462 \text{ cm}^2\)
Misalkan \(\text{R}\) adalah jari-jari kerucut yang terbentuk dengan panjang garis pelukis \(\text{s} = 21 \text{ cm}\)
\(\pi\cdot \text{R} \cdot \text{s} = 462 \text{ cm}^2\)
\(\dfrac{22}{7}\cdot \text{R} \cdot 21 = 462 \)
\(\dfrac{22}{\cancel{7}}\cdot \text{R} \cdot \cancelto{3}{21} = 462 \)
\(66\cdot \text{R} = 462 \)
\( \text{R} = \dfrac{462}{66} = 7 \text{ cm}\)
Selanjutnya tinggi kerucut yang terbentuk, dapat dihitung menggunakan rumus pythagoras,
\(\text{s}^2 = \text{R}^2 + \text{t}^2\)
\(21^2 = 7^2 + \text{t}^2\)
\(441 = 49 + \text{t}^2\)
\(\text{t}^2 = 441\:-\:49\)
\(\text{t}^2 = 392\)
\(\text{t} = \sqrt{392} = 14\sqrt{2}\text{ cm}\)
Volume kerucut =\(\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot\text{R}^2 \cdot t\)
Volume kerucut =\(\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{22}{7} \cdot 7^2 \cdot 14\sqrt{2}\)
Volume kerucut =\(\dfrac{2156}{3}\sqrt{2}\text{ cm}^3\)
Soal 10
KLMN adalah sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang KL = 6 cm, NK = 4 cm, dan F adalah titik tengah LM.
Luas \(\triangle \text{OFM}\) adalah …
(A) 6 cm²
(B) 7 cm²
(C) 8 cm²
(D) 9 cm²
(E) 10 cm²
Jawaban: A
Lihat kesebangunan \(\triangle \text{OLF}\) dengan \(\triangle \text{OKN}\)
\(\dfrac{\text{OL}}{\text{OK}} = \dfrac{\text{FL}}{\text{NK}}\)
\(\dfrac{\text{OL}}{\text{OL} + 6} = \dfrac{2}{4}\)
\(\dfrac{\text{OL}}{\text{OL} + 6} = \dfrac{1}{2}\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kali silang}\)
\(2\text{OL} = \text{OL} + 6\)
\(\text{OL} = 6\text{ cm}\)
\(\text{Luas OFM} = \text{luas segitiga OLM}\:-\:\text{luas segitiga OLF}\)
\(\text{Luas OFM} = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\:-\:\dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 2\)
\(\text{Luas OFM} = 12\:-\:6 = 6 \text{ cm}^2\)
