Soal 01
Jono tinggal di sebuah desa, ia mendapat pekerjaan baru di kota yang jauh dari tempat tinggalnya. Setiap hari Senin, ia mengendarai mobil barunya sejauh 120 km, menuju kantornya dan menghabiskan seminggu di asrama perusahaan. Kemudian hari jumatnya ia pulang kembali ke tempat tinggalnya. Setelah 4 minggu kegiatan rutin ini, odometer mobilnya menunjukkan bahwa ia telah melakukan perjalanan sejauh 1140 km sejak ia membeli mobil. Dari ilustrasi tersebut, dapat dinyatakan bahwa total jarak y yang ditempuh mobil merupakan fungsi dari banyaknya x minggu kegiatan rutin, dengan persamaan y = ax + b. Apabila y bernilai 2100 km, maka nilai x sama dengan…
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8
Jawaban: E
Dari persamaan y = ax + b
Nilai a adalah jarak pergi-pulang dari tempat tinggal Jono ke kantor, yaitu 2 × 120 km = 240 km
Sehingga persamaannya menjadi y = 240x + b
Selanjutnya mencari b,
Dalam 4 minggu, odometer mobil menunjukkan angka 1140 km perjalanan
1140 = 240(4) + b
1140 = 960 + b
b = 1140 − 960
b = 180
Didapatkan persamaan y = 240x + 180
Apabila y bernilai 2100 km, maka x dapat dicari
2100 = 240x + 180
2100 − 180 = 240x
1920 = 240x
x = 1920 ÷ 240
x = 8
Soal 02
Berapa jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(5^{x^2 + 8x + 17} = 7^{x^2 + 8x + 17}\)?
(A) \(-8\)
(B) \(-4\)
(C) \(-2\)
(D) 4
(E) 8
Jawaban: A
Solusi persamaan eksponen \(5^{x^2 + 8x + 17} = 7^{x^2 + 8x + 17}\) adalah \(x^2 + 8x + 17 = 0\)
Jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi persamaan kuadrat \(x^2 + 8x + 17 = 0\) memenuhi rumus :
\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)
\(x_1 + x_2 = -8\)
Jadi jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(-8\)
Soal 03
Sebuah botol minyak goreng yang terisi penuh massanya 1,98 kg. Jika botol tersebut berisi minyak setengah massanya 1,05 kg. Berapa kg massa botol tersebut jika kosong?
(A) 0,10 kg
(B) 0,11 kg
(C) 0,12 kg
(D) 0,13 kg
(E) 0,14 kg
Jawaban: C
Misal massa botol kosong adalah \(x\), sehingga massa minyak yang penuh adalah \(1,98 \: – \: x\) kg
Massa botol yang terisi minyak setengah = setengah massa minyak + massa botol kosong
\(1,05 = \dfrac{1}{2}(1,98 \: – \: x) + x\)
\(1,05 = 0,99 \: – \: \dfrac{1}{2}x + x\)
\(1,05 = 0,99 + \dfrac{1}{2}x\)
\(2,1 = 1,98 + x\)
\(x = 2,1\:-\: 1,98\)
\(x = 0,12 \text{ kg}\)
Jadi, massa botol kosong adalah 0,12 kg
Soal 04
Matriks A memiliki invers \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\2 & 1 \end{bmatrix}\) dan memenuhi \(\text{A}\cdot \begin{bmatrix}3\:-\:c\\4 + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c\\d \end{bmatrix}\) untuk suatu bilangan real \(c\) dan \(d\). Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas P dan Q berikut yang benar?
(A) Kuantitas P lebih besar daripada Q
(B) Kuantitas P lebih kecil daripada Q
(C) Kuantitas P sama dengan Q
(D) Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas P dan Q
Jawaban: C
\(\text{A}\cdot \begin{bmatrix}3\:-\:c\\4 + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c\\d \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}3\:-\:c\\4 + d \end{bmatrix} = \text{A}^{-1}\cdot \begin{bmatrix}c\\d \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}3\:-\:c\\4 + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \\2 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}c\\d \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}3\:-\:c\\4 + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2c\:-\:d \\2c + d \end{bmatrix}\)
Sehingga didapatkan:
\(4 + \cancel{d} = 2c+ \cancel{d})\)
\(4 = 2c\)
\(c = 2\)
Selanjutnya,
\(3\:-\:c = 2c\:-\:d\)
\(3\:-\:2 = 2(2)\:-\:d\)
\(1 = 4 \:-\: d\)
\(d = 3\)
\(\text{P} = d\:-\:c = 3\:-\:2 = 1\)
\(\text{Q} = 1\)
Jadi, kuantitas P sama dengan Q
Soal 05
Diketahui \(0 < x < 1\), manakah hubungan yang benar antara kuantitas P dan Q berikut berdasarkan informasi yang diberikan?
| P |
Q |
| \(x(x^2)^{-2}\cdot x^5\) |
\(x(x^{-1})^3\) |
(A) P > Q
(B) Q > P
(C) P = Q
(D) Informasi yang diberikan tidak cukup untuk menentukan salah satu dari tiga pilihan di atas
Jawaban: B
\(\text{P} = x(x^2)^{-2}\cdot x^5\)
\(\text{P} = x^1\cdot x^{-4}\cdot x^5\)
\(\text{P} = x^{1 \:-\: 4 + 5}\)
\(\text{P} = x^{2}\)
\(\text{Q} = x(x^{-1})^3\)
\(\text{Q} = x^1 \cdot x^{-3}\)
\(\text{Q} = x^{1 \:-\: 3}\)
\(\text{Q} = x^{-2}\)
\(\text{Q} = \dfrac{1}{x^2}\)
Karena \(0 < x < 1\) maka Q > P
Soal 06
Diketahui Budi memiliki uang Rp60.000 lebihnya dari uang yang dimiliki Ani saat ini. Jika perbandingan uang yang dimiliki Ani dan Budi saat ini 2 : 3 dan perbandingan uang yang dimiliki Budi dan Carly saat ini 5 : 4, maka jumlah uang yang dimiliki Carly adalah …
(A) Rp60.000
(B) Rp95.000
(C) Rp128.000
(D) Rp130.000
(E) Rp144.000
Jawaban: E
Selisih uang Budi dan Ani adalah Rp60.000
B − A = 60.000
A : B = 2 : 3
B : C = 5 : 4 (samakan nilai perbandingan B)
A : B : C = 10 : 15 : 12
C = \(\dfrac{12}{15\:-\:10}\times 60.000\)
C = \(\dfrac{12}{\cancel{5}}\times \cancelto{12.000}{60.000}\)
C = 144.000
Jadi, uang yang dimiliki Carly adalah Rp144.000
Soal 07
Tangki A berisi campuran 10 liter alkohol dan 40 liter air.
Tangki B berisi campuran 10 liter alkohol dan 20 liter air.
Berapa liter harus diambil dari masing-masing tangki dan digabungkan agar diperoleh 24 liter campuran dengan 25% alkohol?
(A) 4 liter tangki A dan 20 liter tangki B
(B) 16 liter tangki A dan 8 liter tangki B
(C) 12 liter tangki A dan 12 liter tangki B
(D) 15 liter tangki A dan 9 liter tangki B
(E) 9 liter tangki A dan 15 liter tangki B
Jawaban: D
Terdapat 24 liter campuran dengan 25% alkohol, artinya:
- Jumlah alkohol = 25% × 24 liter = 6 liter
- Air = 24 liter − 6 liter = 18 liter
Tangki A berisi campuran 10 liter alkohol dan 40 liter air, artinya:
- alkohol dari tangki A ada sebanyak \(\dfrac{10}{50}= \dfrac{1}{5}\text{ bagian} \)
- air dari tangki A ada sebanyak \(\dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}\text{ bagian}\)
Tangki B berisi campuran 10 liter alkohol dan 20 liter air, artinya:
- alkohol dari tangki B ada sebanyak \(\dfrac{10}{30}= \dfrac{1}{3}\text{ bagian} \)
- air dari tangki B ada sebanyak \(\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}\text{ bagian}\)
Misal jumlah jumlah campuran yang diambil dari tangki A sebanyak \(x\) liter, dan jumlah jumlah campuran yang diambil dari tangki B sebanyak \(y\) liter
Persamaan 1 (alkohol):
\(\dfrac{1}{5}x + \dfrac{1}{3}y = 6\)
\(3x + 5y = 90\)
Persamaan 2 (air):
\(\dfrac{4}{5}x + \dfrac{2}{3}y = 18\)
\(12x + 10y = 270\)
\(6x + 5y = 135\)
Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), agar diperoleh persamaan:
\(3x = 45\)
\(x = 15\)
Substitusikan nilai \(x = 15\) ke persamaan (1)
\(3(15) + 5y = 90\)
\(45 + 5y = 90\)
\(5y = 45\)
\(y = 9\)
Jadi, campuran yang harus diambil dari tangki A sebanyak 15 liter dan dari tangki B sebanyak 9 liter
Soal 08
Kawat sepanjang 130 cm akan dibuat menjadi kerangka kubus. Pernyataan berikut yang benar adalah …
(A) Masih ada sisa kawat sepanjang 10 cm untuk membuat kerangka kubus dengan ukuran sisi 12 cm
(B) Masih ada sisa kawat sepanjang 15 cm untuk membuat kerangka kubus dengan ukuran sisi 10 cm
(C) Kawat tersebut cukup untuk membuat sebuah kerangka kubus dengan panjang diagonal sisi \(10\sqrt{2}\) cm
(D) Kawat tersebut cukup untuk membuat sebuah kerangka kubus dengan panjang diagonal sisi \(11\sqrt{3}\) cm
(E) Kawat tersebut cukup untuk membuat sebuah kerangka kubus dengan ukuran sisi 11,25 cm
Soal 09
Akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 \:-\:6x + 2a \:-\:1 = 0\) memiliki beda 10.
(1) Jumlah kedua akarnya 6
(2) Hasil kali kedua akarnya \(-16\)
(3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20
(4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya \(-\frac{1}{16}\)
Pernyataan yang benar mengenai persamaan kuadrat tersebut adalah …
(A) Hanya 3
(B) 1 dan 3
(C) 2 dan 3
(D) 1, 2, dan 4
(E) Semua benar
Jawaban: D
Misal akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(x_1 \text{ dan } x_2\)
Menentukan jumlah kedua akar
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
\(x_1 + x_1 + 10 = -\frac{b}{a}\)
\(x_1 + x_1 + 10 = -\frac{-6}{1} = 6\:\:\:\:\:\color{blue} \text{benar}\)
Menentukan hasil kali kedua akar
\(x_1 \:-\:x_2 = 10\dotso\dotso \color{red} (1)\)
\(x_1 + x_2 = 6\dotso\dotso \color{red} (2)\)
Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2), sehingga didapat \(x_2 = -2 \text{ dan } x_1 = 8\)
Jadi hasil kali kedua akarnya adalah \(x_1 \times x_2 = 8(-2) = -16\:\:\:\:\:\color{blue} \text{benar}\)
Menentukan jumlah kuadrat kedua akar
\(x^2_1 + x^2_2 = 8^2 + (-2)^2 = 68\)
Menentukan hasil kali kebalikan akar-akarnya
\(\frac{1}{x_1}\times \frac{1}{x_2} = \frac{1}{8}\times \frac{1}{-2}\)
\(\frac{1}{x_1}\times \frac{1}{x_2} = -\frac{1}{16}\:\:\:\:\color{blue}\text{benar}\)
Soal 10
Jumlah 10 suku pertama dari deret \(\frac{1}{4}\:-\:\frac{1}{2} + 1 \:-\:2 + 4 + \dotso\) adalah …
(A) \(-85,25\)
(B) \(-82,50\)
(C) \(-90\)
(D) \(82,25\)
(E) \(82,90\)
Jawaban: A
Deret \(\frac{1}{4}\:-\:\frac{1}{2} + 1 \:-\:2 + 4 + \dotso\) adalah deret geometri dengan rasio \(-2\)
Jumlah \(n\) suku pertama deret geometri adalah \(\text{s}_n = \dfrac{a(r^n\:-\:1)}{r\:-\:1}\)
\(\text{s}_{10} = \dfrac{\frac{1}{4}((-2)^{10}\:-\:1)}{-2\:-\:1}\)
\(\text{s}_{10} = \dfrac{\frac{1}{4}(1024\:-\:1)}{-3}\)
\(\text{s}_{10} = \dfrac{\frac{1}{4}(1023)}{-3}\)
\(\text{s}_{10} = -85,25\)
