Bentuk 1
Mengubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar
\(\color{blue} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n] {a^m}\)
Contoh:
- \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)
- \(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}\)
- \(7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3}\)
Bentuk 2
Bentuk penjumlahan dan pengurangan akar
\(\color{blue} m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m +n)\sqrt{a}\)
\(\color{blue} m\sqrt{a} \:-\: n\sqrt{a} = (m \:-\:n)\sqrt{a}\)
Contoh 1
(\(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\)
\((2 + 5)\sqrt{3}\)
\(7\sqrt{3}\)
Contoh 2
\(7\sqrt{2} \:-\: 3\sqrt{2}\)
\((7\:-\:3)\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2}\)
Contoh 3
\(125\sqrt{17} \:-\: 100\sqrt{17} + 5\sqrt{17}\)
\((125\:-\:100 + 5)\sqrt{17}\)
\(30\sqrt{17}\)
Bentuk 3
Bentuk perkalian akar
\(\color{blue}\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}\)
Contoh 1
\(\sqrt{5}\times \sqrt{7}\)
\(\sqrt{5 \times 7}\)
\(\sqrt{35}\)
Contoh 2
\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{5}\)
\(\sqrt{2 \times 3 \times 5}\)
\(\sqrt{30}\)
Contoh 3
\(\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{5}\)
\(\sqrt[3]{2 \times 5}\)
\(\sqrt[3]{10}\)
Bentuk 4
Bentuk pembagian akar
\(\color{blue} \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Contoh:
- \(\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
- \(\sqrt{\dfrac{5}{12}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\)
- \(\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}\)
Bentuk 5
Bentuk akar dalam akar
\(\color{blue}\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}\)
Contoh:
- \(\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[9]{5} = 5^{\frac{1}{9}}\)
- \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{7}} = \sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}}\)
Cara Merasionalkan Bentuk Akar
Berikut ini contoh bentuk-bentuk penulisan akar yang harus dirasionalkan
Contoh 1
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Cara merasionalkan ⇒ dikali dengan bentuk sekawan
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \color{blue}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
Contoh 2
\(\dfrac{1}{3\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{5}}\times \color{blue}\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{3\times 5}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{15}\)
\(\dfrac{1}{15}\sqrt{5}\)
Contoh 3
\(\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}\)
Cara merasionalkan ⇒ dikali dengan bentuk sekawan, bentuk sekawan sama dengan bagian penyebut tetapi berbeda tanda
\(\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}\times \color{blue}\dfrac{2 \:-\: \sqrt{3}}{2 \:-\: \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{2 \:-\: \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2\: – \:\sqrt{3})}\)
\(\dfrac{2 \:-\:\sqrt{3}}{2^2 \:- \:(\sqrt{3})^2}\:\:\:\:\:\color{blue} (a + b)(a \:-\: b) = a^2 \:-\: b^2\)
\(\dfrac{2 \:-\: \sqrt{3}}{4- 3}\)
\(2\:-\:\sqrt{3}\)
Contoh 4
\(\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \:-\: \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \:-\: \sqrt{3}}\times \color{blue} \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
\(\dfrac{2+2\sqrt{2\times 3} + 3}{(\sqrt{2})^2 \:-\: (\sqrt{3})^2}\)
\(\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2\:-\:3}\)
\(-5\:-\:2\sqrt{6}\)
Contoh 5
\(\dfrac{1}{3\:-\:\sqrt{5}\:-\:\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}\:-\:\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3\:-\:(\sqrt{5}+\sqrt{2})}\)
\(\dfrac{1}{3\:-\:(\sqrt{5}+\sqrt{2})} \times \color{blue} \dfrac{3+(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3+(\sqrt{5}+\sqrt{2})}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3^2 \:-\:(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 }\)
\(\dfrac{3+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{9 \:-\:(5 + 2\sqrt{10} + 2)}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{9\:-\:(7+ 2\sqrt{10})}\)
\(\dfrac{3+\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2\:-\: 2\sqrt{10}}\times \color{blue}\dfrac{2+ 2\sqrt{10}}{2+2\sqrt{10}}\)
\(\dfrac{(3+\sqrt{5}+\sqrt{2})(2 + 2\sqrt{10})}{2^2 \:-\: (2\sqrt{10})^2}\)
\(\dfrac{6 + 6\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{50} +2\sqrt{2} + 2\sqrt{20}}{4-40}\)
\(\dfrac{6 + 6\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 10\sqrt{2} +2\sqrt{2} + 4\sqrt{5}}{-36}\)
\(\dfrac{6 + 6\sqrt{10} + 6\sqrt{5} + 12\sqrt{2}}{-36}\)
\(-\dfrac{1}{6}\:-\: \dfrac{1}{6}\sqrt{10} \:-\: \dfrac{1}{6}\sqrt{5} \:-\:\dfrac{1}{3}\sqrt{2}\)
Penarikan Akar
Berikut ini adalah cara penarikan akar:
- \(\color{blue}\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
- \(\color{blue}\sqrt{(a + b) \:-\: 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} \:-\: \sqrt{b}\)
Contoh 1
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 6 dan dijumlahkan hasilnya 5.
Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 6 ada beberapa kemungkinan, yaitu:
- \(1 \times 6\)
- \(2 \times 3\)
Bila bilangannya adalah 1 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 5, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 2 dan 3 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 5, maka bilangan yang dipilih adalah 2 dan 3.
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(2 + 3) + 2\sqrt{2\cdot 3}}\)
\(\text{Jadi, } \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)
Contoh 2
\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 30 dan dijumlahkan hasilnya 11.
Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 30 ada beberapa kemungkinan, yaitu:
- \(1 \times 30\)
- \(2 \times 15\)
- \(3 \times 10\)
- \(5 \times 6\)
Bila bilangannya adalah 1 dan 30 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 2 dan 15 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 3 dan 10 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 5 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 11, maka bilangan yang dipilih adalah 5 dan 6.
\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{(6 + 5) + 2\sqrt{6\cdot 5}}\)
\(\text{Jadi, } \sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{6}\:-\:\sqrt{5}\)
Perhatikan dalam penulisannya, angka yang terbesar yaitu 6 harus ditulis di depan, agar hasil penarikan akarnya positif.
Contoh 3
\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Munculkan angka 2 di depan akar,
\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{4 \cdot 20}}\)
\(\sqrt{9\:-\: \color{blue}2\color{black}\sqrt{20}}\)
Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 20 dan ditambah 9 adalah 5 dan 4, sehingga:
\(\sqrt{(5 + 4)\:-\:2\sqrt{5 \cdot 4}}\)
\(\sqrt{5}\:-\:\sqrt{4}\)
\(\sqrt{5}\:-\:2\)
Jadi, \(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \sqrt{5}\:-\:2\)
Contoh 4
\(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Munculkan angka 2 di depan akar,
\( \sqrt{\dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{2}}\)
\(\sqrt{\dfrac{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{(5 + 1) + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5\cdot 1}}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)
Selanjutnya, kali sekawan
\(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)
Jadi, \(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)
Contoh 5
\(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Samakan penyebut,
\(\sqrt{\dfrac{15}{6} + \dfrac{2\sqrt{56}}{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{15 + 2\sqrt{56}}{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{15 + 2\sqrt{56}}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{(8 + 7) + 2\sqrt{8 \cdot 7}}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{48} + \sqrt{42}}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{16\cdot 3} + \sqrt{42}}{6}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)
Jadi, \(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)
Contoh Soal
Contoh 1
Sederhanakan \(\sqrt{75} + 2\sqrt{3} \:-\: 5\sqrt{27} + 5\sqrt{12}\)
\(\sqrt{75} + 2\sqrt{3} \:-\: 5\sqrt{27} + 5\sqrt{12}\)
\(\sqrt{25\times 3} + 2\sqrt{3} \:-\: 5\sqrt{9\times 3} + 5\sqrt{4\times 3}\)
\(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \:-\: 5\cdot 3\sqrt{3} + 5\cdot 2\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \:-\: 15\sqrt{3} + 10\sqrt{3}\)
\((5 + 2 \:-\: 15 + 10)\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)
Contoh 2
Nyatakan \(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\:\sqrt[4]{x^3\:\sqrt[5]{x^4}}}}\) dalam bentuk pangkat yang sederhana
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\:\sqrt[4]{x^3\cdot x^{\frac{4}{5}}}}}\)
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\:\sqrt[4]{x^{3+\frac{4}{5}}}}}\)
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\:\sqrt[4]{x^{\frac{19}{5}}}}}\)
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\cdot x^{\frac{19}{20}}}}\)
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^{2+\frac{19}{20}}}}\)
\(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^{\frac{59}{20}}}}\)
\(x\sqrt{x\cdot x^{\frac{59}{60}}}\)
\(x\sqrt{x^{1+\frac{59}{60}}}\)
\(x\sqrt{x^{\frac{119}{60}}}\)
\(x\cdot x^{\frac{119}{120}}\)
\(x^{1+\frac{119}{120}}\)
\(x^{\frac{239}{120}}\)
Contoh 3
Sederhanakan bentuk:
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\)
Rasionalkan masing-masing bentuk akarnya
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\color{blue}\times \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{\sqrt{5}\:-\:\sqrt{4}}\color{black}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\color{blue}\times \dfrac{\sqrt{4}\:-\:\sqrt{3}}{\sqrt{4}\:-\:\sqrt{3}}\color{black}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\color{blue}\times \dfrac{\sqrt{3}\:-\:\sqrt{2}}{\sqrt{3}\:-\:\sqrt{2}}\color{black}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\color{blue}\times \dfrac{\sqrt{2}\:-\:1}{\sqrt{2}\:-\:1}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}\:-\:\sqrt{4}}{5\:-\:4} + \dfrac{\sqrt{4}\:-\:\sqrt{3}}{4\:-\:3} + \dfrac{\sqrt{3}\:-\:\sqrt{2}}{3\:-\:2} + \dfrac{\sqrt{2}\:-\:1}{2\:-\:1}\)
\(\sqrt{5}\:-\:\cancel{\sqrt{4}} + \cancel{\sqrt{4}}\:-\:\cancel{\sqrt{3}}+\cancel{\sqrt{3}}\:-\:\cancel{\sqrt{2}}+\cancel{\sqrt{2}}\:-\:1\)
\(\sqrt{5} \:-\: 1\)
Contoh 4
Sederhanakan bentuk \(\sqrt{3 + \sqrt{29 + 12\sqrt{5}}}\)
Sederhanakan dahulu bentuk \(\sqrt{29 + 12\sqrt{5}}\)
\(\sqrt{29 + 2\cdot 6\sqrt{5}}\)
\(\sqrt{29 + 2\sqrt{6^2\times 5}}\)
\(\sqrt{29 + 2\sqrt{180}}\)
\(\sqrt{(20 + 9) + 2\sqrt{20\times 9}}\)
\(\sqrt{20} + \sqrt{9}\)
\(\sqrt{4\times 5} + 3\)
\(2\sqrt{5} + 3\)
Sehingga,
\(\sqrt{3 +\sqrt{29 + 12\sqrt{5}}}=\sqrt{3 + 2\sqrt{5} + 3}\)
\(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\)
\(\sqrt{(5 +1) + 2\sqrt{5\times 1}}\)
\(\sqrt{5} + 1\)
Contoh 5
Hitunglah nilai \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4\:-\: \sqrt{7}}\)
Misalkan hasilnya adalah \(p\)
\(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4\:-\: \sqrt{7}} = p\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kuadratkan kedua ruas}\)
\(4 + \cancel{\sqrt{7}} + 2\sqrt{(4 + \sqrt{7})(4\:-\:\sqrt{7})} + 4 \:-\: \cancel{\sqrt{7}} = p^2\)
\(8 +2\sqrt{4^2 \:-\: (\sqrt{7})^2} = p^2\:\:\:\:\:\color{blue} (a + b)(a \:-\:b) = a^2 \:-\: b^2\)
\(8 + 2\sqrt{16\:-\: 7} = p^2\)
\(8+ 2\sqrt{9} = p^2\)
\(8 + 6 = p^2 \)
\(14 = p^2 \)
\(p = \pm \sqrt{14}\)
Karena penjumlahan akar hasilnya positif, maka nilai \(p\) yang memenuhi adalah \(\sqrt{14}\)
