Diketahui suku ke-2 dan suku ke-30 dalam barisan aritmetika berturut-turut adalah 15 dan 267. Tentukan suku ke-10 barisan aritmetika tersebut.
\(\text{U}_2 = \text{a} + \text{b}\)
\(15 = \text{a} + \text{b}\dotso\dotso \color{red} (1)\)
\(\text{U}_{30} = \text{a} + 29\text{b}\)
\(267 = \text{a} + 29\text{b}\dotso\dotso \color{red} (2)\)
Menentukan nilai \(\text{a}\) dan \(\text{b}\)
Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), sehingga diperoleh:
\(28\text{b} = 252\)
\(\text{b} = \dfrac{252}{28} = 9\)
Substitusikan \(\text{b} = 9\) ke persamaan (1)
\(15 = \text{a} + 9\)
\(\text{a} = 15\:-\:9 = 6\)
Menentukan suku ke-10
\(\text{U}_{\text{n}} = \text{a} + (\text{n}\:-\:1)\text{b}\)
\(\text{U}_{10} = 6 + (10\:-\:1)9\)
\(\text{U}_{10} = 6 + 81\)
\(\text{U}_{10} = 87\)
Jadi suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah 87
Seutas tali dipotong menjadi 12 bagian. Panjang potongan-potongan tali tersebut membentuk deret aritmetika. Jika panjang potongan terpendek adalah 10 cm dan panjang potongan tali yang terpanjang adalah 3,4 meter, tentukan panjang tali mula-mula (sebelum dipotong).
Menentukan beda setiap suku
Panjang potongan terpendek = \(\text{U}_1 = \text{a} = 10 \text{ cm}\)
Panjang potongan terpanjang = \(\text{U}_{12} = 3,4 \text{ m} = 340 \text{ cm}\)
\(\text{U}_{12} = \text{a} + 11\text{b}\)
\(340 = 10 + 11\text{b}\)
\(330 = 11\text{b}\)
\(\text{b} = \dfrac{330}{11} = 30\)
Menentukan jumlah 12 suku pertama deret aritmetika
\(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{\text{n}}{2}(2\text{a} + (\text{n}\:-\:1)\text{b})\)
\(\text{S}_{12} = \dfrac{12}{2}[2(10)+ (12\:-\:1)30]\)
\(\text{S}_{12} = 6[20 + (11)30]\)
\(\text{S}_{12} = 6(20 + 330)\)
\(\text{S}_{12} = 6(350) = 2100\)
Jadi panjang tali semula adalah 2100 cm = 21 meter
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 87. Jika bilangan yang terbesar adalah 41, maka tentukan rata-rata ketiga bilangan tersebut.
Misal tiga bilangan tersebut adalah \(\text{(a – b)}, \text{a}, \text{ dan } \text{(a + b)}\)
Menentukan suku pertama
Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 87
\(\text{(a – b)} + \text{a} + \text{(a + b)} = 87\)
\(3\text{a} = 87\)
\(\text{a} = \dfrac{87}{3} = 29\)
Menentukan beda antar suku
Bilangan yang terbesar adalah \(\text{U}_3 = 41\)
\(\text{U}_3 = \text{a} + 2\text{b}\)
\(41 = 29 + 2\text{b}\)
\(41\:-\:29 = 2\text{b}\)
\(12 = 2\text{b}\)
\(\text{b} = \dfrac{12}{2} = 6\)
Menentukan suku kedua
\(\text{U}_2= \text{a} + \text{b}\)
\(\text{U}_2 = 29 + 6 = 35\)
Menentukan rata-rata
\(\overline {x} = \dfrac{29 + 35 + 41}{3}\)
\(\overline {x} = \dfrac{105}{3}\)
\(\overline {x} = 35\)
Jadi rata-rata ketiga bilangan tersebut adalah 35.
Diketahui suku tengah dan suku terakhir suatu deret aritmetika berturut-turut adalah \(\dfrac{9}{5}\) dan \(\dfrac{14}{5}\). Jika jumlah n suku pertamanya sebesar 9, maka tentukan beda antara dua suku berturutan dalam barisan tersebut.
Menentukan suku pertama
Suku tengah barisan aritmetika adalah \(\dfrac{9}{5}\) dan suku terakhir barisan tersebut adalah \(\dfrac{14}{5}\)
\(\text{U}_t = \dfrac{\text{a} + \text{U}_{\text{n}}}{2}\)
\(\dfrac{9}{5} = \dfrac{\text{a} + \dfrac{14}{5}}{2}\)
\(\dfrac{18}{5} = \text{a} + \dfrac{14}{5}\)
\(\dfrac{18}{5}\:-\:\dfrac{14}{5} = \text{a}\)
\(\text{a} = \dfrac{4}{5}\)
Menentukan banyaknya suku
\(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{\text{n}}{2}(\text{a} + \text{U}_{\text{n}})\)
\(9 = \dfrac{\text{n}}{2}(\dfrac{4}{5} + \dfrac{14}{5})\)
\(9 = \dfrac{\text{n}}{\cancel{2}}\cdot \dfrac{\cancelto{9}{18}}{5}\)
\(\cancel{9} \times \dfrac{5}{\cancel{9}} = \text{n}\)
\(\text{n} = 5\)
Menentukan beda antar suku
\(\text{U}_{5} = \dfrac{14}{5}\)
\(\text{a} + 4\text{b} = \dfrac{14}{5}\)
\(\dfrac{4}{5} + 4\text{b} = \dfrac{14}{5}\)
\(4\text{b} = \dfrac{14}{5}\:-\:\dfrac{4}{5}\)
\(4\text{b} = 2\)
\(\text{b} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
Jadi beda antara dua suku berturutan dalam deret aritmetika tersebut adalah \(\dfrac{1}{2}\)
Diketahui rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah \(\dfrac{\text{n}}{4}(3\text{n}\:-\:1)\). Tentukan suku suku ke-100 deret aritmetika tersebut.
Menentukan suku pertama
Suku pertama = \(\text{S}_1\)
\(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{\text{n}}{4}(3\text{n}\:-\:1)\)
\(\text{S}_1 = \dfrac{1}{4}(3\:-\:1)\)
\(\text{S}_1 = \dfrac{1}{4}(2) = \dfrac{1}{2}\)
Menentukan suku kedua
Hubungan antara \(\text{S}_{\text{n}}\) dan \(\text{U}_{\text{n}}\) adalah:
\(\color{blue} \text{U}_{\text{n}} = \text{S}_{\text{n}}\:-\:\text{S}_{\text{n – 1}}\)
\(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{\text{n}}{4}(3\text{n}\:-\:1)\)
\(\text{U}_2 = \text{S}_2\:-\:\text{S}_1\)
\(\text{U}_2 = \dfrac{2}{4}(6\:-\:1)\:-\:\dfrac{1}{2}\)
\(\text{U}_2 = \dfrac{5}{2}\:-\:\dfrac{1}{2} = 2\)
Menentukan beda antar suku
\(\text{b} = \text{U}_2 \:-\:\text{U}_1\)
\(\text{b} = 2 \:-\:\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
Menentukan suku ke-100
\(\text{U}_{100} = \text{a} + 99\text{b}\)
\(\text{U}_{100} = \dfrac{1}{2} + 99\cdot \dfrac{3}{2}\)
\(\text{U}_{100} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{297}{2}\)
\(\text{U}_{100} = \dfrac{298}{2} = 149\)
Jadi suku ke-100 barisan aritmetika tersebut adalah 149
Seorang pekerja mempunyai gaji awal sebesar Rp300.000,00 per bulan, dan setiap tahun kenaikannya membentuk deret aritmetika sebesar Rp100.000,00. Jika dia bekerja pada awal bulan Januari 2000, maka tentukan jumlah uang gaji yang diterima sampai pada akhir tahun 2016.
Misal suku pertama deret aritmetika adalah jumlah gaji sampai akhir tahun 2000 yaitu sebesar Rp300.000,00 × 12 = Rp3.600.000,00. Suku ke-2 adalah jumlah gaji selama tahun 2001 yaitu sebesar Rp400.000,00 × 12 = Rp4.800.000,00, dan seterusnya sampai pada suku ke-17 yang menyatakan jumlah gaji selama tahun 2016.
Suku pertama = Rp3.600.000,00
Beda = Rp1.200.000,00
\(\color{blue} \text{S}_n = \dfrac{n}{2}(2a + (n\:-\:1)b)\)
\(\text{S}_{17} = \dfrac{17}{2}(2(3.600.000) + (17\:-\:1)1.200.000)\)
\(\text{S}_{17} = \dfrac{17}{2}(26.400.000)\)
\(\text{S}_{17} = 224.400.000\)
Jadi jumlah uang gaji yang diterima sampai pada akhir tahun 2016 adalah Rp224.400.000,00
