Seutas kabel dipotong menjadi 6 bagian, panjang setiap potongan kabel tersebut membentuk deret geometri. Jika panjang potongan kabel terpendek adalah 0,5 meter dan panjang potongan kabel yang terpanjang adalah 16 meter, maka tentukan panjang kabel sebelum dipotong.
Karena kabel dipotong menjadi 6 bagian maka ada 6 suku dalam deret geometri tersebut.
Panjang potongan terpendek = suku pertama
\(\text{a} = \frac{1}{2} \text{ m}\)
Panjang potongan terpanjang = suku ke-6
\(\text{U}_6 = 16 \text{ m}\)
Menghitung rasio
\(\text{U}_6 = \text{a}\cdot \text{r}^{6\:-\:1}\)
\(16 = \frac{1}{2}\cdot r^{5}\)
\(16\times \frac{2}{1} = r^5\)
\(32 = r^5\)
\(2^5 = r^5\)
\(r = 2\)
Menghitung jumlah 6 suku pertama deret geometri
\(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{\text{a}(\text{r}^{\text{n}}\:-\:1)}{\text{r}\:-\:1}\)
\(\text{S}_{6} = \dfrac{\frac{1}{2}(2^{6}\:-\:1)}{2\:-\:1}\)
\(\text{S}_{6} = \dfrac{\frac{1}{2}(64\:-\:1)}{1}\)
\(\text{S}_{6} = \dfrac{\frac{1}{2}(63)}{1}\)
\(\text{S}_{6} = 31,5 \text{ m}\)
Jadi panjang kabel sebelum dipotong adalah 31,5 meter
Diketahui tiga bilangan membentuk barisan geometri naik. Jika hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 64, dan selisih antara bilangan yang terbesar dengan terkecil adalah 6, maka tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.
Misal tiga bilangan tersebut adalah \(\color{blue}\dfrac{\text{a}}{\text{r}}, \:\text{a}, \:\text{ar}\)
Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 64
\(\dfrac{\text{a}}{\text{r}}\times \text{a} \times \text{ar} = 64\)
\(\dfrac{\text{a}}{\cancel{\text{r}}}\times \text{a} \times \text{a}\cdot \cancel{\text{r}} = 64\)
\(\text{a}^3 = 4^3\)
\(\text{a} = 4\)
Selisih antara bilangan yang terbesar dengan terkecil adalah 6
\(\text{ar}\:-\:\dfrac{\text{a}}{\text{r}} = 6\)
\(4r\:-\:\dfrac{4}{\text{r}} = 6\)
\(4\text{r}^2\:-\:4 = 6\text{r}\)
\(4\text{r}^2\:-\:6\text{r}\:-\:4 = 0\)
\(2\text{r}^2\:-\:3\text{r}\:-\:2 = 0\)
\((2\text{r} + 1)(\text{r} \:-\: 2) = 0\)
Karena barisan geometrinya naik, maka pilih \(\text{r} = 2\)
Bilangan-bilangan tersebut adalah: \(2, 4, 8\)
Jumlah ketiga bilangan = 2 + 4 + 8 = 14
Diketahui rumus umum suku ke-n suatu barisan geometri adalah \(\text{U}_{\text{n}} = (-1)^{\text{n}}\cdot 5^{\text{n} + 2}\). Tentukan rasio barisan geometri tersebut.
Menentukan suku awal
\(\text{U}_{1} = (-1)^{1}\cdot 5^{1 + 2}\)
\(\text{U}_{1} = (-1)\cdot 5^{3}\)
\(\text{U}_{1} = – 125\)
Menentukan suku kedua
\(\text{U}_{2} = (-1)^{2}\cdot 5^{2 + 2}\)
\(\text{U}_{2} = 1\cdot 5^{4}\)
\(\text{U}_{2} = 625\)
Menentukan rasio
\(\text{r} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1}\)
\(\text{r} = \dfrac{625}{- 125}\)
\(\text{r} = -5\)
Jadi rasio barisan geometri tersebut adalah \(-5\)
Diketahui rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri adalah \(\text{S}_{\text{n}} = \dfrac{3}{4}(5^{\text{n}} \:-\:1)\). Tentukan suku ke-2 dari deret geometri tersebut.
Hubungan antara \(\text{S}_{\text{n}}\) dengan \(\text{U}_{\text{n}}\) adalah:
\(\color{blue}\text{U}_{\text{n}} = \text{S}_{\text{n}}\:-\:\text{S}_{\text{n – 1}}\)
\(\text{U}_{2} = \text{S}_{2}\:-\:\text{S}_{1}\)
\(\text{U}_{2} = \dfrac{3}{4}(5^{2} \:-\:1)\:-\:\dfrac{3}{4}(5^{1} \:-\:1)\)
\(\text{U}_{2} = \dfrac{3}{4}(25 \:-\:1)\:-\:\dfrac{3}{4}(5 \:-\:1)\)
\(\text{U}_{2} = \dfrac{3}{4}(24)\:-\:\dfrac{3}{4}(4)\)
\(\text{U}_{2} = 18\:-\:3 = 15\)
Jadi suku ke-2 dari deret geometri tersebut adalah 15
Jika \((x + 3), (5x\:-\:1), \text{ dan } (14x + 2)\) membentuk barisan geometri dengan \(x\) adalah bilangan bulat, maka tentukan rasio barisan geometri tersebut.
Karena \((x + 3), (5x\:-\:1), \text{ dan } (14x + 2)\) membentuk barisan geometri, maka rasio antar dua suku berturutan harus sama.
\(\dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\text{U}_3}{\text{U}_2}\)
\(\dfrac{5x\:-\:1}{x + 3} = \dfrac {14x + 2}{5x\:-\:1}\)
\((5x\:-\:1)(5x\:-\:1) = (x + 3)(14x + 2)\)
\(25x^2 \:-\:10x + 1 = 14x^2 + 44x + 6\)
\(25x^2\:-\:14x^2 \:-\:10x \:-\:44x + 1 \:-\:6 = 0\)
\(11x^2 \:-\:54x \:-\:5 = 0\)
\((11x + 1)(x\:-\:5) = 0\)
\(11x + 1 = 0 \rightarrow x = -\dfrac{1}{11}\)
\(x\:-\:5 = 0 \rightarrow x = 5\)
Karena \(x\) bilangan bulat, pilih \(x = 5\)
Barisan geometri tersebut adalah : 8, 24, 72
rasio barisan tersebut adalah \(\dfrac{24}{8} = 3\)
