Answer: C
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) berjari-jari \(r\) adalah \(x^2 + y^2 = r^2\)
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) berjari-jari 5 adalah \(x^2 + y^2 = 5^2\)
Persamaan lingkaran berpusat di titik \((-2, 3)\) dan berjari-jari \(2\sqrt{5}\) adalah…
Answer: E
Persamaan lingkaran berpusat di \((a, b)\) berjari-jari \(r\) adalah \((x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\)
Persamaan lingkaran berpusat di \((-2, 3)\) berjari-jari \(2\sqrt{5}\) adalah:
\((x + 2)^2 + (y\:-\:3)^2 = (2\sqrt{5})^2\)
\((x + 2)^2 + (y\:-\:3)^2 = 20\)
\(x^2 + 4x + 4 + y^2\:-\:6y + 9 = 20\)
\(x^2 + y^2 +4x\:-\:6y \:-\:7 = 0\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (3, −6) adalah…
Answer: B
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) berjari-jari \(r\) adalah \(x^2 + y^2 = r^2\)
Lingkaran melalui titik (3, −6), maka \(3^2 + (-6)^2 = r^2\)
\(9 + 36 = r^2\)
\(r^2 = 45\)
Jadi persamaan lingkarannya adalah \(x^2 + y^2 = 45\)
Answer: B
\(2x^2 + 2y^2 \:-\: 12x + 8y + 18 = 0\) bagi kedua ruas dengan 2
\(x^2 + y^2 \:-\:6x + 4y + 9 = 0\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}(-6), -\dfrac{1}{2}(4)\right) = (3, -2)\)
Jari-jari lingkaran = \(\sqrt{3^2 + (-2)^2 \:-\:9}\)
Jari-jari lingkaran = \(\sqrt{9 + 4 \:-\:9} = \sqrt{4}\)
Jari-jari lingkaran = \(2\)
Lingkaran \(x^2 + y^2 + (2m + 2)x \:-\:15\) berpusat di (10, 0). Nilai \(m = \dotso\)
Answer: A
\(x^2 + y^2 + (2m + 2)x \:-\:15\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)
Pusat lingkaran = \(\left(-\dfrac{1}{2}(2m +2), 0\right) = (10, 0)\)
\(-\dfrac{1}{2}(2m + 2) = 10\)
\(-m\:-\:1 = 10\)
\(-m = 11\)
\(m = -11\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (8, 0) dan menyinggung sumbu Y adalah…
Answer: E
Lingkaran yang berpusat di titik (8, 0) dan menyinggung sumbu Y memiliki panjang jari-jari = 8
Persamaan lingkaran berpusat di (8, 0) dan berjari-jari 8 adalah \((x\:-\:8)^2 + y^2 = 8^2\)
\(x^2 \:-\:16x + 64 + y^2 = 64\)
\(x^2 + y^2 \:-\: 16x =0\)
Persamaan lingkaran berpusat pada garis \(y = 3\), melalui titik (9, 0) dan menyinggung sumbu Y adalah…
Answer: B
Pusat lingkaran berada di titik (x, 3)
Kesamaan panjang jari-jari lingkaran
Jarak titik (x, 3) ke (0, 3) = jarak titik (x, 3) ke (9, 0)
\(\sqrt{(x\:-\:0)^2 + (3\:-\:3)^2} = \sqrt{(x\:-\:9)^2 + (3\:-\:0)^2}\)
Kuadratkan kedua ruas
\(x^2 + 0^2 = (x\:-\:9)^2 + 3^2\)
\(\cancel{x^2} = \cancel{x^2} \:-\:18x + 81+ 9\)
\(18x = 90\)
\(x = 5\)
Karena menyinggung sumbu Y maka jari-jari lingkaran sama dengan nilai mutlak absis pusat lingkaran yaitu 5
Persamaan lingkaran dengan pusat (5, 3) dan berjari-jari 5 adalah:
\((x\:-\:5)^2 + (y\:-\:3)^2 = 5^2\)
\(x^2 \:-\:10x + 25 + y^2 \:-\:6y + 9 = 25\)
\(x^2 + y^2 \:-\:10x \:-\:6y + 9 = 0\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 2) dan menyinggung garis \(3x\:-\:4y + 10 = 0\) adalah…
Answer: B
Jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik (0, 2) ke garis \(3x\:-\:4y + 10 = 0\)
\(r = \left|\dfrac{3x_1\:-\:4y_1 + 10}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right|\)
\(r = \left|\dfrac{3(0)\:-\:4(2) + 10}{\sqrt{9 +16}}\right|\)
\(r = \left|\dfrac{2}{\sqrt{25}}\right|\)
\(r = \dfrac{2}{5}\)
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 2) dan berjari-jari \(\dfrac{2}{5}\) adalah:
\((x \:-\:0)^2 + (y\:-\:2)^2 = (\frac{2}{5})^2\)
\(x^2 + y^2 \:-\:4y + 4 = \frac{4}{25}\)
kalikan kedua ruas dengan 25
\(25x^2 + 25y^2\:-\:100y + 100 = 4\)
\(25x^2 + 25y^2\:-\:100y + 96 = 0\)
Answer: E
Kuasa titik (2, 3) terhadap lingkaran adalah:
\(\text{K} = 2^2 + 3^2\:-\:13 = 0\)
Karena kuasa sama dengan nol, maka titik (2, 3) berada pada lingkaran
Persamaan garis singgung di titik (2, 3) adalah:
\(x_1\cdot x + y_1 \cdot y = 13\)
\(2x +3y = 13\)
Persamaan garis polar titik M(2, 1) terhadap lingkaran \((x + 2)^2 + (y\:-\:1)^2 = 3\) adalah…
Answer: A
Persamaan garis polar lingkaran \((x + 2)^2 + (y\:-\:1)^2 = 3\) adalah:
\((x_1 + 2)(x + 2) + (y_1\:-\:1)(y\:-\:1) = 3\)
Selanjutnya substitusikan titik M(2, 1)
\((2 + 2)(x + 2) + (1\:-\:1)(y\:-\:1) = 3\)
\(4(x + 2) + 0 = 3\)
\(4x + 8 = 3\)
\(4x + 5 = 0\)
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:10x \:-\: 2y + 8 = 0\) yang ditarik dari titik \(\text{A}(0, 0)\) adalah…
Answer: D
Langkah 1: Menentukan persamaan garis polar
\(x_1\cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(-10)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(y_1 + y) + 8= 0\)
Substitusi titik \((0, 0)\)
\(0\cdot x + 0 \cdot y + \dfrac{1}{2}(-10)(0 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(0 + y) + 8= 0\)
\(-5x \:-\:y + 8= 0\)
\(y = -5x + 8\)
Langkah 2: Menentukan titik singgung
Substitusi garis \(y = -5x + 8\) ke persamaan lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:10x \:-\: 2y + 8 = 0\)
\(x^2 + (-5x + 8)^2 \:-\:10x \:-\: 2(-5x + 8) + 8 = 0\)
\(x^2 + 25x^2 \:-\:80x + 64 \:-\:10x + 10x\:-\:16 + 8 = 0\)
\(26x^2 \:-\:80x + 56 = 0\)
\(13x^2 \:-\:40x + 28 = 0\)
\((13x \:-\: 14)(x \:-\: 2) = 0\)
\(x_1 = \dfrac{14}{13} \rightarrow y_1 = \dfrac{34}{13}\)
\(x_2 = 2 \rightarrow y_2 = -2\)
Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung di titik \((\frac{14}{13}, \frac{34}{13})\) adalah:
\(x_1\cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(-10)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(y_1 + y) + 8= 0\)
\(\frac{14}{13}x + \frac{34}{13}y \:-\:5(\frac{14}{13} + x) \:-\:(\frac{34}{13} + y) + 8 = 0\)
\(\frac{14}{13}x \:-\:5x + \frac{34}{13}y\:-\:y = 0\)
kalikan kedua ruas dengan 13
\(14x \:-\:65x + 34y\:-\:13y = 0\)
\(-51x + 21y = 0\)
Bagi kedua ruas dengan \(-3\)
\(17x \:-\:7y = 0\)
Persamaan garis singgung di titik \((2, -2)\):
\(x_1\cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(-10)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(y_1 + y) + 8= 0\)
\(2 x \:-\:2y + \dfrac{1}{2}(-10)(2 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(-2+ y) + 8= 0\)
\(2x \:-\:2y \:-\:10 \:-\:5x+ 2 \:-\:y + 8 = 0\)
\(-3x \:-\:3y = 0\)
Bagi kedua ruas dengan \(-3\)
\(x + y = 0\)
