Tentukan titik fokus, titik puncak, eksentrisitas, persamaan direktris, panjang sumbu mayor dan minor dan panjang lactus rectum dari persamaan elips di bawah ini:
Pembahasan A
Persamaan elips horizontal \(\color{blue} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{9^2} + \dfrac{y^2}{6^2} = 1\)
\(a = 9\) dan \(b = 6\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(c^2 = 9^2 \:-\:6^2\)
\(c = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
- Fokus \((-c, 0)\) dan \((c, 0)\) ⇒ \((- 3\sqrt{5}, 0)\) dan \(( 3\sqrt{5}, 0)\)
- Titik puncak \((-a, 0)\) dan \((a, 0)\) ⇒ \((-9, 0)\) dan \((9, 0)\)
- Persamaan direktris \(x = -\dfrac{a^2}{c}\) dan \(x = \dfrac{a^2}{c}\) ⇒ \(x = -\dfrac{81}{ 3\sqrt{5}}\) dan \(x = \dfrac{81}{3\sqrt{5}}\)
- Panjang sumbu mayor = 2a = 18, panjang sumbu minor = 2b = 12
- Panjang lactus rectum = \(\dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2\cdot 6^2}{9} = 8\)
Pembahasan B
\(x^2 + 9y^2 = 9\) bagi kedua ruas dengan 9
\(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{1} = 1\)
Persamaan elips horizontal berpusat di (0, 0), dengan nilai \(a = 3\) dan \(b = 1\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(c^2 = 3^2 \:-\:1^2\)
\(c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
- Fokus \((-c, 0)\) dan \((c, 0)\) ⇒ \((- 2\sqrt{2}, 0)\) dan \(( 2\sqrt{2}, 0)\)
- Titik puncak \((-a, 0)\) dan \((a, 0)\) ⇒ \((-3, 0)\) dan \((3, 0)\)
- Persamaan direktris \(x = -\dfrac{a^2}{c}\) dan \(x = \dfrac{a^2}{c}\) ⇒ \(x = -\dfrac{9}{ 2\sqrt{2}}\) dan \(x =\dfrac{9}{ 2\sqrt{2}}\)
- Panjang sumbu mayor = 2a = 6, panjang sumbu minor = 2b = 2
- Panjang lactus rectum = \(\dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2\cdot 1^2}{3} = \dfrac{2}{3}\)
Pembahasan C
Persamaan elips vertikal \(\color{blue} \dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{7^2} = 1\)
\(b = 4\) dan \(a = 7\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(c^2 = 7^2\:-\:4^2\)
\(c = \sqrt{33}\)
- Fokus \((0, -c)\) dan \((0, c)\) ⇒ \((0, -\sqrt{33})\) dan \(( 0, \sqrt{33})\)
- Titik puncak \((0, -a)\) dan \((0, a)\) ⇒ \((0, -7)\) dan \((0, 7)\)
- Persamaan direktris \(y = -\dfrac{a^2}{c}\) dan \(y = \dfrac{a^2}{c}\) ⇒ \(y = -\dfrac{49}{\sqrt{33}}\) dan \(y =\dfrac{49}{\sqrt{33}}\)
- Panjang sumbu mayor = 2a = 14, panjang sumbu minor = 2b = 8
- Panjang lactus rectum = \(\dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2\cdot 4^2}{7} = \dfrac{32}{7}\)
Pembahasan A
Sebuah fokus di \((-24, 0)\) dan sebuah puncak di \((-25, 0)\)
\(c = 24\) dan \(a = 25\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(24^2 = 25^2 \:-\:b^2\)
\(576 = 625\:-\:b^2\)
\(b^2 = 49\)
\(b = 7\)
Persamaan elips horizontal \(\color{blue} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{25^2} + \dfrac{y^2}{7^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{625} + \dfrac{y^2}{49} = 1\)
Pembahasan B
Sebuah fokus di \((8, 0)\) dan panjang sumbu minor 12
\(c = 8\) dan \(2b = 12 \rightarrow b = 6\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(8^2 = a^2 \:-\:6^2\)
\(64 = a^2 \:-\:36\)
\(a^2 = 100\)
\(a = 10\)
Persamaan elips horizontal \(\color{blue} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{10^2} + \dfrac{y^2}{6^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{36} = 1\)
Pembahasan C
Sebuah puncak di \((4, 0)\) dan panjang latus rectum 4,5
\(a = 4\)
\(\text{panjang latus rectum } =\dfrac{2b^2}{a} \)
\(4,5 = \dfrac{2b^2}{4}\)
\(4,5 \times 4 = 2b^2\)
\(18 = 2b^2\)
\(b^2 = 9\)
\(b = 3\)
Persamaan elips horizontal \(\color{blue} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{3^2} = 1\)
\(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)
Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik \((6, -1)\), salah satu titik fokusnya berada di \((0, -1)\) dan salah satu titik pucak mayor berada di \((16, -1)\)
Jarak titik pusat elips ke puncak mayor \(a = 16\:-\:6 = 10\)
Jarak titik fokus ke pusat elips \(c = 6\:-\:0 = 6\)
\(c^2 = a^2\:-\:b^2\)
\(6^2 = 10^2\:-\:b^2\)
\(36 = 100 \:-\:b^2\)
\(b^2 = 64\)
\(b = 8\)
Persamaan elips horizontal berpusat di \((h , k) = (6, -1)\) adalah:
\(\color{blue} \dfrac{(x\:-\:h)^2}{a^2} + \dfrac{(y\:-\:k)^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{(x\:-\:6)^2}{10^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{8^2} = 1\)
\(\dfrac{(x\:-\:6)^2}{100} + \dfrac{(y + 1)^2}{64} = 1\)
Tentukan persamaan elips dengan eksentrisitas \(e = \dfrac{1}{2}\) dan berfokus di titik \((-1, 5)\) dan \((-1, -9)\)
Pusat elips berada di tengah-tengah ruas garis antara \(f_1\) dan \(f_2\)
\(P\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)
\(P\left(\dfrac{-1 + (-1)}{2}, \dfrac{5 + (-9)}{2}\right)\)
\(P(-1, -2)\)
Jarak titik fokus ke pusat elips \(c = 7\)
\(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{7}{a} = \dfrac{1}{2}\)
\(a = 14\)
\(c^2 = a^2 \:-\:b^2\)
\(7^2 = 14^2 \:-\:b^2\)
\(49 = 196 \:-\:b^2\)
\(b^2 = 147\)
Persamaan elips vertikal berpusat di \((h, k) = (-1, -2)\) adalah:
\(\color{blue} \dfrac{(x\:-\:h)^2}{b^2} + \dfrac{(y\:-\:k)^2}{a^2} = 1\)
\(\dfrac{(x + 1)^2}{147} + \dfrac{(y + 2)^2}{196} = 1\)
Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik \((3, 0)\), salah titik fokusnya \((3, 8)\) dan salah satu puncak mayornya berada di titik \((3, -17)\).
Jarak pusat elips ke titik fokus \(c = 8\)
Jarak pusat elips ke puncak mayor \(a = 17\)
\(c^2 = a^2\:-\:b^2\)
\(8^2 = 17^2 \:-\:b^2\)
\(64 = 289\:-\:b^2\)
\(b^2 = 225\)
\(b = \sqrt{225} = 15 \)
Persamaan elips vertikal berpusat di \((h, k) = (3, 0)\) adalah:
\(\color{blue} \dfrac{(x\:-\:h)^2}{b^2} + \dfrac{(y\:-\:k)^2}{a^2} = 1\)
\(\dfrac{(x\:-\:3)^2}{15^2} + \dfrac{y^2}{17^2} = 1\)
\(\dfrac{(x\:-\:3)^2}{225} + \dfrac{y^2}{289} = 1\)
Tentukan koordinat titik fokus dan pusat elips \(6x^2 + 9y^2\:-\:24x\:-\:54y + 51 = 0\)
\(6x^2 + 9y^2\:-\:24x\:-\:54y = -51\)
\(6x^2\:-\:24x + 9y^2\:-\:54y = -51\)
\(6(x^2\:-\:4x) + 9(y^2\:-\:6y) = -51\)
\(6(x^2\:-\:4x + 4)\:-\:24 + 9(y^2\:-\:6y + 9)\:-\:81 = -51\)
\(6(x\:-\:2)^2 + 9(y\:-\:3)^2 = -51 + 24 + 81\)
\(6(x\:-\:2)^2 + 9(y\:-\:3)^2 = 54\)
Bagi kedua ruas dengan 54
\(\dfrac{(x\:-\:2)^2}{9} + \dfrac{(y\:-\:3)^2}{6} = 1\)
Elips horizontal yang berpusat di titik \((2, 3)\)
Nilai \(a = \sqrt{9} = 3\) dan \(b = \sqrt{6}\)
\(c^2 = a^2\:-\:b^2\)
\(c^2 = 9\:-\:6\)
\(c^2 = 3\)
\(c = \sqrt{3}\)
Fokus elips \((h + c, k)\) dan \((h\:-\:c, k)\)
Fokus elips \((2 +\sqrt{3}, 3)\) dan \((2 \:-\:\sqrt{3}, 3)\)
Sebuah elips berpusat di titik \((4, -1)\), salah satu fokusnya mempunyai koordinat \((1, -1)\), dan elips tersebut melalui titik \((8, 0)\). Tentukan persamaan elips tersebut!
Persamaan elips horizontal berpusat di \((4, -1)\) adalah:
\(\dfrac{(x\:-\:4)^2}{a^2} + \dfrac{(y + 1)^2}{b^2} = 1\)
Elips melalui titik \((8, 0)\)
\(\dfrac{(8\:-\:4)^2}{a^2} + \dfrac{(0 + 1)^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{(4)^2}{a^2} + \dfrac{(1)^2}{b^2} = 1\)
\(\dfrac{16}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1\dotso \color{red} (1)\)
Jarak titik fokus \((1, -1)\) ke pusat elips \((4, -1)\) adalah \(c = 3\)
\(c^2 = a^2\:-\:b^2\)
\(3^2 = a^2\:-\:b^2\)
\(a^2 = b^2 + 9\dotso \color{red} (2)\)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1)
\(\dfrac{16}{b^2 + 9} + \dfrac{1}{b^2} = 1\)
Samakan penyebut,
\(\dfrac{16b^2 + (b^2 + 9)}{b^2(b^2 + 9)} = 1\)
Kali silang,
\(17b^2 + 9 = b^4 + 9b^2\)
\(0 = b^4 \:-\:8b^2\:-\:9\)
\(0 = (b^2\:-\:9)(b^2 + 1)\)
\(b^2 = 9\)
\(a^2 = 18\)
Persamaan elipsnya adalah:
\(\dfrac{(x\:-\:4)^2}{18} + \dfrac{(y + 1)^2}{9} = 1\)
