Latihan Kombinatorik 01

Jawaban: E

Genap: 0, 2, 6, 8

Ganjil: 1, 3, 5

Kemungkinan 1: bilangan genap dengan angka nol di belakang.

Total kemugkinan pertama adalah 4 × 36 = 144

Kemungkinan 2: bilangan genap dengan angka 2,6, atau 8 di belakang.

Total kemugkinan pertama adalah 72 + (3 × 108) = 396

Jadi, banyaknya bilangan yang didapat jika bilangannya genap dan angka ganjil tidak berdekatan adalah 144 + 396 = 540

Jawaban: E

Kemungkinan 1

Banyak cara = 5 × 8 × 7 × 3 = 840

Kemungkinan 2

Banyak cara = 4 × 8 × 7 × 2 = 448

Jadi, banyaknya bilangan genap dengan angka berbeda antara 3000 dan 8000 adalah 840 + 448 = 1288

Jawaban: D

Jika tiga buah dadu ditos, maka total kemungkinan dari semua hasil yang mungkin adalah \(6^3 = \color{blue} 216\)

Banyaknya kemungkinan munculnya jumlah ketiga mata dadu bukan 11 = total kemungkinan − banyaknya kemungkinan muncul jumlah mata dadu sama dengan 11.

Berikut ini adalah daftar kombinasi jumlah mata dadu sama dengan 11

(1, 5, 5) ada \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)

(1, 4, 6) ada \(3! = 6\)

(2, 3, 6) ada \(3! = 6\)

(2, 4, 5) ada \(3! = 6\)

(3, 3, 5) ada \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)

(3, 4, 4) ada \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)

Ada 27 cara untuk mendapatkan jumlah 11.

Jadi, banyaknya kemungkinan munculnya jumlah ketiga mata dadu bukan 11 adalah 216 − 27 = 189.

Jawaban: A

Memuat 1 buah mata empat

(4, 1, 3, 6) ada \(4! = 24\)

(4, 2, 3, 5) ada \(4! = 24\)

(4, 2, 2, 6) ada \(\dfrac{4!}{2!} = 12\)

Memuat 2 buah mata empat

(4, 4, 1, 5) ada \(\dfrac{4!}{2!} = 12\)

(4, 4, 3, 3) ada \(\dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = 6\)

Memuat 3 buah mata empat

(4, 4, 4, 2) ada \(\dfrac{4!}{3!} = 4\)

banyaknya kemungkinan munculnya jumlah empat buah mata dadu sama dengan 14 jika selalu memuat mata 4 adalah 24 + 24 + 12 + 12 + 6 + 4 = 82

Jawaban: C

Lantai Bima

• Jika Bima turun di lantai 2, Adi bisa turun di lantai 3, 4, 5, 6, 7 (5 pilihan)
• Jika Bima turun di lantai 3, Adi bisa turun di lantai 4,5,6,7 (4 pilihan)
• Jika Bima turun di lantai 4, Adi bisa turun di lantai 5,6,7 (3 pilihan)
• Jika Bima turun di lantai 5, Adi bisa turun di lantai 6,7 (2 pilihan)
• Jika Bima turun di lantai 6, Adi bisa turun di lantai 7 (1 pilihan)

Jadi,  ada 15 kemungkinan Adi turun di atas Bima.

Menentukan lantai untuk dua orang lain

Setelah menentukan posisi Adi dan Bima, dua orang lainnya bebas memilih dari 6 lantai tanpa batasan.

Karena setiap orang memiliki 6 pilihan lantai untuk turun, dua orang ini memiliki 6 × 6 = 36 kemungkinan

Banyaknya kemungkinan mereka turun jika lift paling tinggi lantai 7 dan Adi turun di atas Bima adalah 15 × 36 = 540

Jawaban: C

Huruf vokal: U, A, A, A, U (5 huruf)

Huruf konsonan: J, R, S, T (4 huruf)

_V_V_V_V_V_

Ada 6 tempat kosong yang bisa ditempati huruf konsonan supaya tidak berdampingan.

Banyak cara untuk memilih 4 tempat dari 6 tempat untuk diisi huruf konsonan adalah \(\textbf{C}_4^6 = 15\)

Permutasi huruf vokal = \(\dfrac{5!}{3! \cdot 2!} =  10\)

Permuatasi huruf konsonan = \(4! = 24\)

Banyaknya cara menyusun kata JUARASATU jika huruf konsonan tidak ada yang berdampingan adalah 15 × 10 × 24 = 3600

Jawaban: E

Kemungkinan 1: ketua dari kelas XII

Kelas XII ada 8 orang, sedangkan jumlah siswa kelas X dan XI ada 11 orang.

Jika ketua dari kelas XII, bendahara dan sekretaris dapat dipilih dari 11 orang siswa kelas X dan XI.

Banyaknya cara menentukan ketua, bendahara, dan sekretaris = \(8 \times \textbf{P}_2^{11}\)

Banyaknya cara menentukan ketua, bendahara, dan sekretaris = \(8 \times 110 = 880\)

Kemungkinan 2: ketua dari kelas XI

Kelas XI ada 5 orang, sedangkan jumlah siswa kelas X ada 6 orang.

Jika ketua dari kelas XI, bendahara dan sekretaris dapat dipilih dari 6 orang siswa kelas X.

Banyaknya cara menentukan ketua, bendahara, dan sekretaris = \(5 \times \textbf{P}_2^6\)

Banyaknya cara menentukan ketua, bendahara, dan sekretaris = \(5 \times 30 = 150\)

Banyaknya cara menentukan ketua, bendahara, dan sekretaris jika kelas dari ketua lebih tinggi dari bendahara dan sekretaris adalah 880 + 150 = 1030

Jawaban: D

Karena terdapat \(n\) pasangan suami istri di ruangan, maka jumlah orang yang ada di ruangan tersebut ada \(2n\). Setiap orang saling berjabat tangan satu sama yang lain kecuali dengan pasangannya.

Banyaknya jabat tangan yang terjadi = \(\textbf{C}_2^{2n}\:-\:n\)

\(312 = \textbf{C}_2^{2n}\:-\:n\)

\(312 = \dfrac{2n!}{(2n\:-\:2)! \cdot 2!} \:-\: n\)

\(312 = \dfrac{2n \cdot (2n\:-\:1) \cdot \cancel{(2n\:-\:2)!}}{\cancel{(2n\:-\:2)!}\cdot 2}\:-\:n\)

\(312 = \dfrac{2n \cdot (2n\:-\:1)}{2}\:-\:n\)

\(312 = n(2n\:-\:1)\:-\:n\)

\(312 = 2n^2\:-\:2n\)

Bagi kedua ruas dengan 2

\(n^2\:-\:n \:-\:156 = 0\)
\((n\:-\:13)(n + 12) = 0\)

\(n\:-\:13 = 0 \rightarrow n = 13\)

Ada 13 pasangan suami istri di dalam ruangan tersebut.

\(\textbf{C}_3^n \:-\: \textbf{P}_2^n\)

\(\textbf{C}_3^{13} \:-\: \textbf{P}_2^{13}\)

\(286\:-\:156 = \color{blue} 130\)

Jawaban: E

Lima orang yang terpilih terdiri dari 1 pasangan suami istri dan 3 orang lain yang bukan suami istri.

Memilih 1 pasang suami istri dari 8 pasangan yang ada = \(\textbf{C}_1^8 = 8\)

Memilih 3 orang lain yang bukan suami istri dari 14 orang tersisa = bebas memilih − (terpilih 1 pasang suami istri dan 1 orang lain)

Memilih 3 orang lain yang bukan suami istri dari 14 orang tersisa = \(\textbf{C}_3^{14} − (\textbf{C}_1^7 \times \textbf{C}_1^{12})\)

Memilih 3 orang lain yang bukan suami istri dari 14 orang tersisa = \(364 − (7\times 12)\)

Memilih 3 orang lain yang bukan suami istri dari 14 orang tersisa = \(364 − 84 = 280\)

Banyak cara memilih 5 orang dari 8 pasangan suami istri jika tepat mendapat satu pasangan suami istri adalah 8 × 280 = 2240.