Soal Fungsi Kuadrat 01

Jawaban: B

\(f(x) = -x^2 + 4x \:-\: 12\)

\(a = -1\) Karena nilai \(a\) negatif, maka jenis titik baliknya adalah maksimum.

\(b = 4\)

\(x_p = – \dfrac{b}{2a}\)

\(x_p = – \dfrac{4}{2(-1)}\)

\(x_p = 2\)

Substitusikan nilai \(x = 2\) ke dalam persamaan \(f(x) = -x^2 + 4x\: -\: 12\)

\(f(2) = -(2)^2 + 4(2) \:-\: 12\)

\(f(2) = -4 + 8 \:-\: 12\)

\(f(2) = -8\)

Jadi, koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat \(f(x) = -x^2 + 4x\: -\: 12\) berada di titik \((2, -8)\) dan merupakan titik balik maksimum.

Jawaban: B

Grafik fungsi kuadrat \(f(x) = 3x^2 + 6x + 2a\:-\:1\) memotong sumbu Y di titik \((0, -3)\).

Substitusikan titik \((0, -3)\) ke \(f(x) = 3x^2 + 6x + 2a\:-\:1\).

\(-3 = 3(0)^2 + 6(0) + 2a\:-\:1\)

\(-3 = 2a\:-\:1\)

\(-3 + 1 = 2a\)

\(-2 = 2a\)

\(a = -1\)

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi adalah \(-1\).

Jawaban: D

Grafik fungsi kuadrat memiliki nilai minimum 3 untuk \(x = -2\) maka koordinat titik balik minimum berada di titik \((-2, 3)\).

\((x_p, y_p) = (-2, 3)\)

Menentukan persamaan fungsi kuadrat

\(f(x) = a(x\:-\:x_p)^2 + y_p\)

\(f(x) = a(x + 2)^2 + 3\)

Grafik memiliki nilai \(39\) untuk \(x = 4\) artinya grafik fungsi kuadrat juga melalui titik \((4, 39)\).

\(f(4) = a(x + 2)^2 + 3\)

\(39 = a(4 + 2)^2 + 3\)

\(39\:-\: 3 = 36a\)

\(36 = 36a\)

\(a = 1\)

Substitusikan \(a = 1\) ke persamaan \(f(x) = a(x + 2)^2 + 3\)

\(f(x) = (x + 2)^2 + 3\)

\(f(x) = x^2 + 4x + 4 + 3\)

\(f(x) = x^2 + 4x + 7\)

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadratnya adalah \(f(x) = x^2 + 4x + 7\).

Jawaban: B

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang membuka ke atas, sehingga nilai \(a\) positif.

Fungsi kuadrat nomor (4) salah karena nilai \(a\) negatif

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x negatif dan sumbu x positif.

Fungsi kuadrat nomor (2) salah karena \(f(x) = 2x^2 \:-\:8x + 6\) memiliki dua titik potong terhadap sumbu x positif.

\(0 = 2x^2 \:-\:8x + 6\)

\(0 = (2x\:-\:6)(x\:-\:1)\)

\(2x\:-\:6 = 0 \rightarrow x = 3\)

\(x\:-\:1 = 0 \rightarrow x = 1\)

Titik potong \(f(x) = 2x^2 \:-\:8x + 6\)  terhadap sumbu X berada di titik (3, 0) dan (1, 0)

Jawaban: D

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (-4, 0) dan (4, 0).

\(\color{blue} f(x) = a(x\:-\:x_1)(x\:-\:x_2)\)

\(f(x) = a(x + 4)(x\:-\:4)\)

Grafik juga melalui titik potong sumbu Y di (0, -4)

\(-4 = a(0 + 4)(0\:-\:4)\)

\(-4 = -16a\)

\(a = \dfrac{1}{4}\)

\(f(x) = \dfrac{1}{4}(x + 4)(x\:-\:4)\)

\(f(x) = \dfrac{1}{4}(x^2 \:-\:16)\)

\(f(x) = \dfrac{1}{4}x^2 \:-\:4\)

Jawaban: B

Fungsi kuadrat dengan nilai diskriminan negatif grafiknya tidak akan memotong maupun menyinggung sumbu X.

\(\textbf{D} = b^2 \:-\: 4ac\)

\(f(x) = 2x^2 + x \:-\: 3\)

\(a = 2, b = 1, c = -3\)

\(\textbf{D} = b^2 \:-\: 4ac\)

\(\textbf{D} = 1^2 \:-\: 4(2)(-3) = 25 > 0\)

\(\color{blue}f(x) = x^2 + 2x + 5\)

\(a = 1, b = 2, c = 5\)

\(\textbf{D} = b^2 \:-\: 4ac\)

\(\textbf{D} = 2^2 \:-\: 4(1)(5) = -16 < 0\)

\(\color{blue} f(x) = 2x^2 + x + 3\)

\(a = 2, b = 1, c = 3\)

\(\textbf{D} = b^2 \:-\: 4ac\)

\(\textbf{D} = 1^2 \:-\: 4(2)(3) = -23 < 0\)

\(f(x) = -x^2 + x + 5\)

\(a = -1, b = 1, c = 5\)

\(\textbf{D} = b^2 \:-\: 4ac\)

\(\textbf{D} = 1^2 \:-\: 4(-1)(5) = 21 > 0\)

Jadi,  fungsi kuadrat yang grafiknya tidak memotong maupun menyinggung sumbu X adalah (2) dan (3).

Jawaban: C

Fungsi kuadrat dengan nilai \(c\) negatif grafiknya memotong sumbu Y negatif.

(1)  \(f(x) = x^2 + 3x \color{blue}\:-\: 1\)

(2)  \(f(x) = x^2 + 5x + 3\)

(3)  \(f(x) = 2x^2 +2x + 5\)

(4)  \(f(x) = -x^2 + x \color{blue}\:-\: 5\)

Dari persamaan fungsi kuadrat di atas, fungsi kuadrat (1) dan (4) memiliki nilai \(c\) yang negatif.

Jawaban: 

Fungsi \(f(x)\) selalu bernilai positif, artinya definit positif.

Grafiknya selalu berada di atas sumbu X.

Syarat definit positif:

(1)  \(\textbf{D} < 0\)

(2) \(a > 0\)

\(f(x) = ax^2 \:-\:4x + 3\)

\(\textbf{D} = b^2\:-\:4ac < 0\)

\((-4)^2\:-\:4a(3) < 0\)

\(16\:-\:12a < 0\)

\(-12a < -16\)

Bagi kedua ruas dengan \(-12\)

\(a > \dfrac{16}{12}\)

\(a > \dfrac{4}{3}\dotso \color{red} (1)\)

\(a > 0\dotso \color{red} (2)\)

Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalah \(a > \dfrac{4}{3}\).

Jadi, batas nilai \(a\) agar fungsi kuadrat selalu bernilai positif adalah \(a > \dfrac{4}{3}\).

Jawaban: B

Fungsi \(f(x)\) selalu bernilai negatif, artinya definit negatif.

Grafiknya selalu berada di bawah sumbu X.

Syarat definit negatif:

(1)  \(\textbf{D}= b^2\:-\:4ac < 0\)

(2) \(a < 0\)

\(f(x) = -3x^2 \:-\:5x \:-\: 4\) → definit negatif

\(\textbf{D} = (-5)^2 \:-\:4(-3)(-4) = -23 <0\)

\(a = -3 < 0\)

\(f(x) = -5x^2\:-\: 2x + 3\)

\(\textbf{D} = (-2)^2 \:-\:4(-5)(3) = 64 > 0\)

\(a = -5 < 0\)

\(f(x) = -2x^2 + x \:-\:6\)

\(\textbf{D} = 1^2 \:-\:4(-2)(-6) = -47 < 0\) → definit negatif

\(a = -2 < 0\)

\(f(x) = -3x^2 \:-\:2x + 3\)

\(\textbf{D} = (-2)^2 \:-\:4(-3)(3) = 40 > 0\)

\(a = -3 < 0\)

Jawaban: A

\(h(t) = \textbf{V}_0\cdot t \:-\: \dfrac{1}{2} g t^2\)

\(h(t) = 15t \:-\: \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot  t^2\)

\(h(t) = 15t \:-\: 5t^2\)

\(a = -5\)

\(b = 15\)

Bola mencapai ketinggian maksimum saat \(t = – \dfrac{b}{2a}\)

\(t_{\text{max}} = -\dfrac{15}{2(-5)}\)

\(t_{\text{max}} = \dfrac{15}{10}\)

\(t_{\text{max}} = \dfrac{3}{2} \text{ detik}\)

Substitusikan \(t_{\text{max}} = \dfrac{3}{2} \text{ detik}\) ke dalam persamaan \(h(t) = 15t \:-\: 5t^2\)

\(h \left(\dfrac{3}{2} \right) = 15 \cdot \dfrac{3}{2} \:-\: 5 \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^2\)

\(h \left(\dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{45}{2} \:-\: 5 \cdot \dfrac{9}{4}\)

\(h \left(\dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{90}{4} \:-\: \dfrac{45}{4}\)

\(h \left(\dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{45}{4} \text{ meter}\)

\(h \left(\dfrac{3}{2} \right) = 11,25 \text{ meter}\)

Jadi, ketinggian maksimum yang dicapai bola golf tersebut adalah 11,25 meter.