Benang Lurus
Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan Berbalik Nilai
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemukan hubungan antara dua besaran di mana jika nilai salah satu besaran mengalami kenaikan (dikali \(n\)), maka nilai besaran lainnya justru mengalami penurunan (dibagi \(n\)) dengan kelipatan yang setara. Hubungan matematis ini disebut sebagai perbandingan berbalik nilai.
- Kecepatan vs Waktu Tempuh: Semakin tinggi kecepatan kendaraan, semakin sedikit (cepat) waktu yang dibutuhkan untuk sampai di tujuan.
- Jumlah Pekerja vs Waktu Proyek: Semakin banyak tenaga kerja yang dikerahkan, semakin cepat proyek renovasi selesai.
- Banyak Hewan Ternak vs Daya Tahan Pakan: Semakin banyak hewan yang memakan, semakin cepat persediaan pakan di gudang habis.
Prinsip Matematis & Cara Penyelesaian Cepat
| Metode 1: Hasil Kali Konstan (Sangat Dianjurkan)
Total beban/volume kerja selalu bernilai tetap (konstan): \[a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2\] \[b_2 = \frac{a_1 \times b_1}{a_2}\] |
Metode 2: Pecahan Terbalik
Susun rasio pecahan sebanding lalu balik salah satu ruasnya: \[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\] |
Contoh Soal Terbimbing
Sebuah pabrik mengoperasikan \(12\text{ mesin}\) yang mampu menyelesaikan pesanan produksi dalam waktu \(9\text{ jam}\). Jika jumlah mesin yang beroperasi ditambah menjadi \(18\text{ mesin}\), berapa jam waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pesanan yang sama?
Gunakan konsep hasil kali konstan (Beban kerja total selalu sama):
\[
\begin{aligned}
\text{Mesin}_1 \times \text{Waktu}_1 &= \text{Mesin}_2 \times \text{Waktu}_2 \\
12 \times 9 &= 18 \times x \\
108 &= 18x \\
x &= \frac{108}{18} \\
x &= 6\text{ jam}
\end{aligned}
\] Jadi, produksi akan selesai dalam waktu 6 jam.
Sebuah proyek pemasangan paving block dapat diselesaikan oleh \(8\text{ orang}\) tukang dalam waktu \(24\text{ hari}\). Jika jumlah pekerja ditambah menjadi \(16\text{ orang}\), berapa hari waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan proyek tersebut?
\[
\begin{aligned}
8 \times 24 &= 16 \times x \\
192 &= 16x \\
x &= \frac{192}{16} \\
x &= 12\text{ hari}
\end{aligned}
\] Jadi, proyek akan tuntas dalam waktu 12 hari.
Sebuah gudang logistik membutuhkan \(15\text{ truk}\) untuk mengangkut seluruh muatan barang selama \(10\text{ hari}\). Jika armada truk yang siap jalan hanya tersedia \(10\text{ truk}\), berapa hari pengangkutan seluruh barang tersebut baru akan selesai?
\[
\begin{aligned}
15 \times 10 &= 10 \times x \\
150 &= 10x \\
x &= \frac{150}{10} \\
x &= 15\text{ hari}
\end{aligned}
\] Jadi, waktu yang dibutuhkan bertambah menjadi 15 hari.
Latihan Soal Mandiri
Soal 01
Sebuah mobil menempuh jarak tertentu dengan kelajuan rata-rata \(60\text{ km/jam}\) dan membutuhkan waktu perjalanan selama \(4\text{ jam}\). Jika pengemudi ingin tiba di tujuan lebih cepat yaitu dalam waktu \(3\text{ jam}\), maka kelajuan rata-rata mobil yang harus dipertahankan adalah ….
(A) \(75\text{ km/jam}\)
(B) \(80\text{ km/jam}\)
(C) \(85\text{ km/jam}\)
(D) \(90\text{ km/jam}\)
Opsi B (80 km/jam)
Karena jarak tempuh lintasan sama tetap, hubungan antara kecepatan (\(v\)) dan waktu tempuh (\(t\)) merupakan perbandingan berbalik nilai (\(v \times t = \text{jarak}\)).
\begin{aligned}
v_1 \times t_1 &= v_2 \times t_2 \\
60 \times 4 &= v_2 \times 3 \\
240 &= 3v_2 \\
v_2 &= \frac{240}{3} \\
v_2 &= 80\text{ km/jam}
\end{aligned}
\] Jadi, mobil harus melaju dengan kecepatan rata-rata \(80\text{ km/jam}\).
Soal 02
Seorang peternak memiliki persediaan pakan konsentrat yang cukup untuk memenuhi kebutuhan \(40\text{ ekor}\) kambing selama \(15\text{ hari}\). Jika peternak tersebut membeli lagi \(10\text{ ekor}\) kambing baru, maka persediaan pakan tersebut akan habis dalam waktu ….
(A) \(10\text{ hari}\)
(B) \(12\text{ hari}\)
(C) \(13\text{ hari}\)
(D) \(18\text{ hari}\)
Opsi B (12 hari)
\begin{aligned}
\text{Kambing awal } (a_1) &= 40\text{ ekor} \\
\text{Kambing sekarang } (a_2) &= 40 + 10 = 50\text{ ekor}
\end{aligned}
\]
Semakin banyak kambing, persediaan pakan makin cepat habis:
\[
\begin{aligned}
a_1 \times b_1 &= a_2 \times b_2 \\
40 \times 15 &= 50 \times x \\
600 &= 50x \\
x &= \frac{600}{50} \\
x &= 12\text{ hari}
\end{aligned}
\]
Jadi, persediaan pakan akan habis dalam waktu 12 hari.
Soal 03
Suatu proyek perbaikan jalan desa direncanakan selesai dalam waktu \(30\text{ hari}\) dengan mempekerjakan \(12\text{ orang}\) tukang. Karena jalan tersebut akan segera diresmikan, kepala desa meminta proyek selesai lebih cepat dalam waktu \(20\text{ hari}\). Banyak pekerja tambahan yang perlu direkrut agar proyek selesai tepat waktu adalah ….
(A) \(4\text{ orang}\)
(B) \(6\text{ orang}\)
(C) \(8\text{ orang}\)
(D) \(18\text{ orang}\)
Opsi B (6 orang)
\begin{aligned}
\text{Hari}_1 \times \text{Pekerja}_1 &= \text{Hari}_2 \times \text{Pekerja}_2 \\
30 \times 12 &= 20 \times x \\
360 &= 20x \\
x &= \frac{360}{20} \\
x &= 18\text{ orang pekerja}
\end{aligned}
\]
Soal menanyakan jumlah pekerja tambahan, bukan total pekerja:
\[
\begin{aligned}
\text{Pekerja Tambahan} &= \text{Total Dibutuhkan} \:-\: \text{Pekerja Awal} \\
&= 18 \:-\: 12 \\
&= 6\text{ orang}
\end{aligned}
\]
Jadi, pekerja tambahan yang perlu direkrut adalah 6 orang.
Soal 04
Tabel berikut menunjukkan data perbandingan berbalik nilai antara variabel \(x\) dan variabel \(y\):
| Nilai \(x\) | Nilai \(y\) |
|---|---|
| \(3\) | \(24\) |
| \(6\) | \(12\) |
| \(8\) | \(p\) |
| \(q\) | \(4\) |
Nilai dari \(p + q\) adalah ….
(A) \(24\)
(B) \(27\)
(C) \(30\)
(D) \(32\)
Opsi B (27)
Pada perbandingan berbalik nilai, hasil kali \(x \times y\) selalu konstan:
\[
k = 3 \times 24 = 6 \times 12 = 72
\]
\begin{aligned}
8 \times p &= 72 \implies p = \frac{72}{8} = 9 \\
q \times 4 &= 72 \implies q = \frac{72}{4} = 18 \\
p + q &= 9 + 18 = 27
\end{aligned}
\] Jadi, nilai dari \(p + q\) adalah 27.
Soal 05
Sebuah proyek pembangunan aula serbaguna direncanakan selesai dalam waktu \(25\text{ hari}\) jika dikerjakan oleh \(16\text{ orang}\) pekerja. Setelah pekerjaan berjalan selama \(10\text{ hari}\), pekerjaan terpaksa dihentikan (diliburkan) selama \(3\text{ hari}\) karena adanya banjir. Agar proyek tersebut tetap selesai tepat waktu sesuai target semula, banyak pekerja tambahan yang harus didatangkan adalah ….
(A) \(4\text{ orang}\)
(B) \(5\text{ orang}\)
(C) \(6\text{ orang}\)
(D) \(8\text{ orang}\)
Opsi A (4 orang)
Pekerjaan telah berjalan selama \(10\text{ hari}\). Secara normal, sisa waktu kerja adalah:
\[\text{Sisa hari normal} = 25 \:-\: 10 = 15\text{ hari}\] \[\text{Beban kerja tersisa} = 15\text{ hari} \times 16\text{ pekerja} = 240\text{ hari-pekerja}\]
Karena pekerjaan libur/terhenti selama \(3\text{ hari}\), sisa waktu yang tersedia untuk mengejar target adalah:
\[\text{Hari efektif yang tersisa} = 15 \:-\: 3 = 12\text{ hari}\]
\begin{aligned}
\text{Pekerja baru yang dibutuhkan} &= \frac{\text{Beban kerja tersisa}}{\text{Sisa hari efektif}} \\
&= \frac{240}{12} \\
&= 20\text{ orang}
\end{aligned}
\] \[
\begin{aligned}
\text{Pekerja Tambahan} &= 20 \:-\: 16 \\
&= 4\text{ orang}
\end{aligned}
\] Jadi, dibutuhkan tambahan pekerja sebanyak 4 orang.
