atau
dengan \(k\) adalah bilangan bulat
CONTOH SOAL
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sin (x + 10^{\circ}) = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\sin (x + 10^{\circ}) = \sin 60^{\circ}\)
Kemungkinan 1:
\(x + 10^{\circ} = 60^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 60^{\circ}\:-\:10^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 50^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 50^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(x + 10^{\circ} = (180^{\circ}\:-\:60^{\circ}) + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x + 10^{\circ} = 120^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 120^{\circ}\:-\:10^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 110^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 110^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 50^{\circ}, 110^{\circ} \rbrace\)
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sin (2x + 10^{\circ}) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\sin (2x + 10^{\circ}) = \sin (-60)^{\circ}\)
Kemungkinan 1:
\(2x + 10^{\circ} = -60^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = -60^{\circ}\:-\:10^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = -70^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -35^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 145^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 325^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(2x + 10^{\circ} = (180^{\circ}\:-\:(-60)^{\circ}) + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + 10^{\circ} = 240^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = 240^{\circ}\:-\:10^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = 230^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 115^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 115^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 295^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 115^{\circ}, 145^{\circ}, 295^{\circ}, 325^{\circ} \rbrace\)
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sin (3x \:-\:\dfrac{1}{6}\pi) = -1\), untuk \(-\pi\leq x \leq \pi\)
\(\sin (3x \:-\:\dfrac{1}{6}\pi) = \sin \dfrac{3}{2}\pi\)
Kemungkinan 1:
\(3x \:-\:\dfrac{1}{6}\pi = \dfrac{3}{2}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(3x = \dfrac{3}{2}\pi + \dfrac{1}{6}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(3x = \dfrac{5}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(3x = \dfrac{5}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = \dfrac{5}{9}\pi + k\cdot \dfrac{2}{3}\pi\)
untuk \(k = -2 \rightarrow x = \dfrac{5}{9}\pi \:-\:\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{7}{9}\pi\)
untuk \(k = -1 \rightarrow x = \dfrac{5}{9}\pi \:-\:\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{9}\pi\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = \dfrac{5}{9}\pi\)
Kemungkinan 2:
\(3x \:-\:\dfrac{1}{6}\pi = \left(\pi \:-\: \dfrac{3}{2}\pi \right)+ k\cdot 2\pi\)
\(3x \:-\:\dfrac{1}{6}\pi = -\dfrac{1}{2}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(3x = -\dfrac{1}{2}\pi + \dfrac{1}{6}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(3x = -\dfrac{1}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = -\dfrac{1}{9}\pi + k\cdot \dfrac{2}{3}\pi\)
untuk \(k = -1 \rightarrow x = -\dfrac{1}{9}\pi \:-\:\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{7}{9}\pi\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{1}{9}\pi \)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = -\dfrac{1}{9}\pi + \dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{5}{9}\pi\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace -\dfrac{7}{9}\pi, -\dfrac{1}{9}\pi, \dfrac{5}{9}\pi\rbrace\)
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(2\cos^2 x + 7\sin x \:-\:5 = 0\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
Ubah \(\cos^2x\) dengan menggunakan identitas \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(\color{cyan} \cos^2x = 1\:-\:\sin^2 x \)
\(2(1\:-\:\sin^2 x) + 7\sin x \:-\:5 = 0\)
\(2\:-\:2\sin^2 x + 7\sin x \:-\:5 = 0\)
\(-2\sin^2 x + 7\sin x \:-\:3 = 0\)
\(2\sin^2 x \:-\: 7\sin x + 3 = 0\)
\((2\sin x\:-\:1)(\sin x \:-\: 3) = 0\)
\(2\sin x\:-\:1 = 0 \rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\)
\(\sin x \:-\: 3 = 0 \rightarrow \sin x = 3\)
Untuk persamaan \(\sin x = 3\) tidak memenuhi karena nilai maksimum untuk \(\sin x \) adalah 1, sehingga persamaan yang dikerjakan hanyalah \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
Untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\), nilai \(x\) langsung dapat ditentukan yaitu \(30^{\circ}\) dan \(150^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 30^{\circ}, 150^{\circ}\rbrace\)
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sin(x + 20^{\circ}) = – \sin(x \:-\: 30^{\circ})\), untuk \(0^{\circ} < x < 270^{\circ}\)
\(\color{blue} -\sin \alpha = \sin (-\alpha)\)
\(\sin(x + 20^{\circ}) = \sin(-x + 30^{\circ})\)
Kemungkinan 1:
\(x + 20^{\circ} = -x + 30^{\circ}+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(x + x = 30^{\circ}\:-\:20^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = 10^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 5^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 5^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 185^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(x + 20^{\circ}= [180^{\circ}\:-\:(-x + 30^{\circ})] + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x + 20^{\circ}= x + 150^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
Persamaan ini tidak dapat dilanjutkan karena \(x\) habis
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 5^{\circ}, 185^{\circ}\rbrace\)
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sin(2x + 30^{\circ}) = \cos(x \:-\: 30^{\circ})\), untuk \(0^{\circ} < x < 360^{\circ}\)
Dengan menggunakan sudut berelasi,
\(\color{cyan}\cos \alpha = \sin (90^{\circ}\:-\:\alpha)\)
\(\sin(2x + 30^{\circ}) = \sin [90^{\circ}\:-\: (x \:-\: 30^{\circ})]\)
\(\sin(2x + 30^{\circ}) = \sin (120^{\circ} \:-\:x)\)
Kemungkinan 1:
\(2x + 30^{\circ} = 120^{\circ} \:-\:x + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + x = 120^{\circ} \:-\:30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(3x = 90^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 30^{\circ} + k\cdot 120^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 30^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 150^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 270^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(2x + 30^{\circ}= [180^{\circ}\:-\:(120^{\circ} \:-\:x)] + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + 30^{\circ}= 60^{\circ} + x + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x \:-\: x = 60^{\circ}\:-\:30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 30^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 30^{\circ}, 150^{\circ}, 270^{\circ}\rbrace\)
