Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari \(r\)

\(\color{cyan} x^2 + y^2 = r^2\)

Contoh

Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini:

Lingkaran di atas berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari 4.

Persamaan lingkarannya adalah:

\(x^2 + y^2 = 4^2\)

\(x^2 + y^2 = 16\)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari \(r\)

\(\color{cyan} (x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\)

Contoh

Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini:

Lingkaran di atas berpusat di titik (1, 2) dan berjari-jari 3.

Persamaan lingkarannya adalah:

\((x\:-\:1)^2 + (y\:-\:2)^2 = 3^2\)

\(x^2 \:-\:2x + 1 + y^2 \:-\:4y + 4 = 9\)

\(x^2 + y^2 \:-\:2x\:-\:4y + 5\:-\:9 = 0\)

\(x^2 + y^2 \:-\:2x\:-\:4y \:-\:4 = 0\)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik \(\left(-\dfrac{1}{2}\text{A}, -\dfrac{1}{2}\text{B}\right)\) dan berjari-jari \(\text{R}\)

\(\color{cyan} x^2 + y^2 + \text{A}x + \text{B}y + C = 0\)

Cara menghitung jari-jari:

R = \(\sqrt{(-\frac{1}{2}\text{A})^2 + (-\frac{1}{2}\text{B})^2\:-\:\text{C}}\)

R = \(\sqrt{\frac{1}{4}\text{A}^2 +\frac{1}{4}\text{B}^2 \:-\:\text{C}}\)

Contoh

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:6x + 4y + 2 = 0\)

Nilai \(\text{A} = -6, \text{B} = 4, \text{ dan } \text{C} = 2\)

Pusat lingkaran:

\((-\frac{1}{2}\text{A}, -\frac{1}{2}\text{B})\)

\([-\frac{1}{2}(-6), -\frac{1}{2}(4)]\)

\((3, -2)\)

Jari-jari lingkaran:

R = \(\sqrt{\frac{1}{4}\text{A}^2 + \frac{1}{4}\text{B}^2 \:-\:\text{C}}\)

R = \(\sqrt{\frac{1}{4}(-6)^2 + \frac{1}{4}(4)^2 \:-\:2}\)

R = \(\sqrt{\frac{1}{4}(36) + \frac{1}{4}(16) \:-\:2}\)

R = \(\sqrt{9 + 4 \:-\:2}\)

R = \(\sqrt{11}\)

atau

Karena pusat lingkaran sudah diketahui berada di titik \((3, -2)\), maka jari-jari lingkarannya adalah:

R = \(\sqrt{(3)^2 + (-2)^2 \:-\:2}\)

R = \(\sqrt{9 + 4 \:-\:2}\)

R = \(\sqrt{11}\)

Persamaan Parametrik Lingkaran

Persamaan implisit \(x^2 + y^2 = 1\) merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari 1. Lingkaran ini juga diidentifikasi dengan persamaan parametrik

\(x = \cos \alpha\)

\(y = \sin \alpha\)

\(0 \leq \alpha \leq 2\pi\)

Persamaan parametrik lingkaran yang berpusat di \((a, b)\) dan berjari-jari \(r\) adalah:

\(x = a + r \cos \alpha\)

\(y = b + r \sin \alpha\)

dengan \(0 \leq \alpha \leq 2 \pi\)

RUMUS PENTING!

A. Jarak titik ke titik

Jarak titik P\((x_1, y_1)\) ke titik Q\((x_2, y_2)\) adalah:

\(\color{cyan}\text{PQ} = \sqrt{(x_2\:-\:x_1)^2 + (y_2\:-\:y_1)^2}\)

Contoh

Tentukan jarak titik P\((6, -5)\) ke titik Q\((0, -13)\).

\(\text{PQ} = \sqrt{(0\:-\:6)^2 + (-13\:-\:(-5))^2}\)

\(\text{PQ} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2}\)

\(\text{PQ} = \sqrt{36 + 64}\)

\(\text{PQ} = \sqrt{100}\)

\(\text{PQ} = 10\text{ satuan}\)

B. Jarak titik ke garis

Jarak titik P\((x_1, y_1)\) ke garis \(ax + by + c = 0\) adalah:

\(\color{cyan} r = \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|\)

Contoh

Tentukan jarak titik P\((2, 1)\) ke garis \(3x\:-\:4y + 10 = 0\)

\(r = \left|\dfrac{3x_1\:-\:4y_1 + 10}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right|\)

\(r = \left|\dfrac{3(2)\:-\:4(1) + 10}{\sqrt{9 + 16}}\right|\)

\(r = \left|\dfrac{6\:-\:4 + 10}{\sqrt{25}}\right|\)

\(r = \left|\dfrac{12}{5}\right|\)

\(r = 2\dfrac{2}{5}\text{ satuan}\)

C. Titik Tengah Ruas Garis

Titik tengah ruas garis PQ, dengan \(\text{P}(x_1, y_1)\) dan \(\text{Q}(x_2, y_2)\) adalah titik M.

\(\color{cyan}\text{M}\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

Contoh

Tentukan koordinat titik M yang berada di tengah ruas garis PQ, dengan titik \(\text{P}(2, 6)\) dan \(\text{Q}(-4, 10)\)

\(\text{M}\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

\(\text{M}\left(\dfrac{2 + (-4)}{2}, \dfrac{6 +10}{2}\right)\)

\(\text{M}\left(\dfrac{-2}{2}, \dfrac{16}{2}\right)\)

\(\text{M}(-1, 8)\)

CONTOH SOAL

Soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (7, 24).

Soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan menyinggung garis \(y = 3\).

Soal 3

Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki diameter PQ, dengan titik \(\text{P}(-3, 5)\) dan \(\text{Q}(7, 15)\)

Soal 4

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, 2) dan menyinggung sumbu \(x\).

Soal 5

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1, 2) dan menyinggung sumbu \(y\).

Soal 6

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 1) dan menyinggung garis \(50x\:-\:47y + 185 = 0\).

Soal 7

Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak di garis \(5x\:-\:7y + 1 = 0\) dan menyinggung sumbu \(x\) di titik \((2, 0)\).

Soal 8

Diketahui lingkaran \(2x^2 + 2y^2 \:-\:8x\:-\:my + 2 = 0\) melalui titik \((0, 1)\). Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.