Benang Lurus
Konsep Dasar Kesebangunan
Syarat & Teorema Kesebangunan Dua Segitiga (\(\triangle ABC \sim \triangle PQR\))
Dua segitiga dikatakan sebangun (\(\sim\)) jika memiliki bentuk yang sama, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian bernilai sebanding. Untuk membuktikannya, cukup gunakan salah satu dari tiga teorema berikut:
Sudut – Sudut (Sd – Sd / Angle – Angle)
Dua segitiga pasti sebangun jika dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar (sudut ketiga otomatis sama besar karena jumlah sudut dalam segitiga selalu \(180^\circ\)).
\[\mathbf{\triangle ABC \sim \triangle PQR}\]
Sisi – Sisi – Sisi (S – S – S / Side – Side – Side)
Dua segitiga pasti sebangun jika ketiga pasang sisi yang bersesuaian memiliki nilai perbandingan yang sama.
\begin{align*}
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \implies \mathbf{\triangle ABC \sim \triangle PQR}
\end{align*}
Sisi – Sudut – Sisi (S – Sd – S / Side – Angle – Side)
Dua segitiga sebangun jika memiliki satu sudut yang sama besar dan dua pasang sisi yang mengapit sudut tersebut sebanding.
\[\mathbf{\triangle ABC \sim \triangle PQR}\]
Model Perbandingan Sisi yang Sering Muncul pada Soal SMP
Tipe Dasar
Diberikan segitiga \(ABC\) dengan ruas garis \(DE\) sejajar dengan sisi alas \(BC\) (\(DE \text{ // } BC\)).
Karena sudut-sudut sehadap sama besar (\(\angle ADE = \angle ABC\) dan \(\angle AED = \angle ACB\)), maka \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\).
\begin{align*}
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
\end{align*}
Perbandingan potongan samping berlaku: \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}\).
Namun, sisi alas (\(DE\) dan \(BC\)) HANYA boleh dipasangkan dengan sisi utuh (\(AB\) dan \(AC\)):
\begin{align*}
\frac{DE}{BC} \neq \frac{AD}{DB} \quad \left(\text{SALAH}\right) \qquad \implies \qquad \mathbf{\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}} \quad \left(\text{BENAR}\right)
\end{align*}
Tipe Bersilangan
Diberikan dua garis sejajar \(AB \text{ // } DE\) yang dihubungkan oleh dua garis transversal berpotongan di titik \(C\).
Pasangan sudut yang sama besar:
- \(\angle CAB = \angle CED\) (sudut dalam berseberangan)
- \(\angle CBA = \angle CDE\) (sudut dalam berseberangan)
- \(\angle ACB = \angle DCE\) (sudut bertolak belakang)
Sehingga berlaku hubungan kesebangunan: \(\triangle ABC \sim \triangle EDC\).
\begin{align*}
\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{CE} = \frac{BC}{CD}
\end{align*}
Pasangan sisi yang bersesuaian selalu terletak pada satu garis lurus yang sama:
- Garis lurus \(A-C-E\) menghasilkan pecahan: \(\dfrac{AC}{CE}\)
- Garis lurus \(B-C-D\) menghasilkan pecahan: \(\dfrac{BC}{CD}\)
