Langkah 1: akan dibuktikan benar untuk n = 1

\(1^2 = \dfrac{1}{6}(1 + 1)(2 + 1)\)

\(1 = \dfrac{1}{6}(2)(3)\)

\(1 = 1\:\:\:\:\:\text{benar}\)

Langkah 2: diasumsikan benar untuk n = k

\(\color{cyan}1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 = \dfrac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1)\)

Langkah 3: akan dibuktikan benar untuk n = k + 1

\(\color{cyan}1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{white}(k + 1)^2 = \dfrac{1}{6}(k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]\)
\(\color{cyan}1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{white}(k + 1)^2 = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\)

\(\color{cyan}\dfrac{1}{6}k(k + 1)(2k + 1) + \color{white}(k + 1)^2 = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\)

\(\dfrac{1}{6}(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\)

\(\dfrac{1}{6}(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6) = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\)

\(\dfrac{1}{6}(k + 1)(2k^2 + 7k + 6) = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\)

\(\dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3) = \dfrac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(2k + 3)\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{terbukti}\)

∴ \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + n^2 = \dfrac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)\) untuk setiap bilangan asli \(n\)

Langkah 1: akan dibuktikan benar untuk n = 1

\(1^3 = \dfrac{1}{4}1^2(1 + 1)^2\)

\(1 = \dfrac{1}{4}(4)\)

\(1 = 1\:\:\:\:\:\text{benar}\)

Langkah 2: diasumsikan benar untuk n = k

\(\color{cyan}1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dotso + k^3 = \dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2\)

Langkah 3: akan dibuktikan benar untuk n = k + 1

\(\color{cyan}1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dotso + k^3 + \color{white} (k + 1)^3 = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2[(k + 1) + 1]^2\)

\(\color{cyan}1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dotso + k^3 + \color{white} (k + 1)^3 = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2\)

\(\color{cyan}\dfrac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + \color{white}(k + 1)^3 = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2\)

\(\dfrac{1}{4}(k + 1)^2[k^2 + 4(k + 1)] = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2\)

\(\dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4) = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2\)

\(\dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2 = \dfrac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{terbukti}\)

∴  \(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3  + \dotso + n^3 = \dfrac{1}{4}n^2(n + 1)^2\) untuk setiap bilangan asli \(n\)

Misalkan P(n) = \(2^{2n + 1} + 3^{2n + 1}\)

Untuk n = 1,

P(1) = \(2^{(2 + 1)} + 3^{(2 + 1)}\)

P(1) = \(2^3 + 3^3\)

P(1) = \(8 + 27 = 35\:\:\:\color{yellow} \text{habis dibagi 5}\)

Jadi P(n) benar untuk n = 1 karena 35 habis dibagi 5

Misalkan P(k) = \(2^{2k + 1} + 3^{2k + 1}\) benar, selanjutnya akan dibuktikan P(k + 1) juga benar

P(k + 1) = \(2^{2(k + 1) + 1} + 3^{2(k + 1) + 1}\)

P(k + 1) = \(2^{2k + 2 + 1} + 3^{2k + 2 + 1}\)

P(k + 1) = \(2^{2k + 1 + 2} + 3^{2k + 1 + 2}\)

P(k + 1) = \(2^{2k + 1}\cdot 2^2 + 3^{2k + 1}\cdot 3^2\)

P(k + 1) = \(4 \cdot 2^{2k + 1} + 9 \cdot 3^{2k + 1}\)

P(k + 1) = \(5\cdot 2^{2k + 1}\:-\:2^{2k + 1} + 10 \cdot 3^{2k + 1}\:-\:3^{2k + 1}\)

P(k + 1) = \(5\cdot 2^{2k + 1}+ 10 \cdot 3^{2k + 1}\:-\:(2^{2k + 1}+ 3^{2k + 1})\)

P(k + 1) = \(\underbrace{5(2^{2k + 1}+ 2\cdot 3^{2k + 1})}_{\text{kelipatan lima}}\:-\:\underbrace{(2^{2k + 1}+ 3^{2k + 1})}_{\text{habis dibagi 5}}\)

Jadi, P(k + 1) bernilai benar karena habis dibagi 5

∴ \(2^{2n + 1} + 3^{2n + 1}\) habis dibagi 5 untuk setiap bilangan asli \(n\)

Misalkan P(n) = \(7^{2n + 1} + 1\)

Untuk n = 1,

P(1) = \(7^{2+ 1} + 1\)

P(1) =  \(7^3 + 1\)

P(1) =  344

Jadi P(n) benar untuk n = 1 karena 344 habis dibagi 4

Misalkan P(k) = \(7^{2k + 1} + 1\) benar, selanjutnya akan dibuktikan P(k + 1) juga benar

P(k + 1) = \(7^{2(k + 1) + 1} + 1\)

P(k + 1) = \(7^{2k + 2 + 1} + 1\)

P(k + 1) = \(7^{2k + 1 + 2} + 1\)

P(k + 1) = \(7^{2k + 1}\cdot 7^2 + 1\)

P(k + 1) = \(49 \cdot 7^{2k + 1} + 1 \color{red} \:-\:  7^{2k + 1}+ 7^{2k + 1} \)

P(k + 1) = \(\underbrace{48\cdot 7^{2k + 1}}_{\text{kelipatan 4}} + \underbrace{1 + 7^{2k + 1}}_{\text{habis dibagi 4}}\)

Jadi, P(k + 1) bernilai benar karena habis dibagi 4

∴ \(7^{2n + 1} + 1\) habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli \(n\)

Misalkan P(n) = \(11^n\: -\: 6\)

Untuk n = 1,

P(1) = \(11\: -\: 6\)

P(1) =  \(5\)

Jadi P(n) benar untuk n = 1 karena 5 habis dibagi 5

Misalkan P(k) = \(11^k\:-\: 6\) benar, selanjutnya akan dibuktikan P(k + 1) juga benar

P(k + 1) = \(11^{k+ 1}\:-\:6\)

P(k + 1) = \(11^k\cdot 11\:-\:6\)

P(k + 1) = \(\underbrace{10\cdot 11^k}_{\text{kelipatan 5}} + \underbrace{11^k\:-\:6}_{\text{habis dibagi 5}}\)

Sehingga, P(k + 1) bernilai benar karena habis dibagi 5

∴ \(11^n\: -\: 6\) habis dibagi 5 untuk setiap bilangan asli \(n\)

Langkah 1: akan dibuktikan benar untuk n = 1

\(1^2 > \dfrac{1^3}{3}\)

\(1 > \dfrac{1}{3}\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{benar}\)

Langkah 2: diasumsikan benar untuk n = k

\(\color{cyan}1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 > \dfrac{k^3}{3}\)

Langkah 3: akan dibuktikan benar untuk n = k + 1

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + (k + 1)^2  > \dfrac{(k + 1)^3}{3}\)

Dari langkah 2:

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 > \dfrac{k^3}{3}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{k^3}{3} + \color{cyan} (k + 1)^2 \)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{k^3}{3} + \dfrac{3(k + 1)^2}{3}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{k^3}{3} + \dfrac{3(k^2 + 2k + 1)}{3}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{k^3}{3} + \dfrac{3k^2 + 6k + 3}{3}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{k^3 + 3k^2 + 6k + 3}{3}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{(k + 1)^3  + 3k + 2}{3}\)

\(\color{magenta} (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + \color{cyan} (k + 1)^2 \color{white} > \dfrac{(k + 1)^3}{3}  + \dfrac{3k + 2}{3} > \dfrac{(k + 1)^3}{3}\)

Jika a > b > c maka a > c

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + k^2 + (k + 1)^2  > \dfrac{(k + 1)^3}{3}\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{terbukti}\)

∴ \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dotso + n^2 > \dfrac{n^3}{3}\)  untuk setiap bilangan asli \(n\)

Langkah 1: akan dibuktikan benar untuk n = 4

\(4^2 \geq 2(4) + 7\)

\(16 \geq 15\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{benar}\)

Langkah 2: diasumsikan benar untuk n = k

\(k^2 \geq 2k + 7\)

Langkah 3: akan dibuktikan benar untuk n = k + 1

\((k + 1)^2 \geq 2(k + 1) + 7\)

Dari langkah 2:

\(k^2 \geq 2k + 7\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{tambahkan kedua ruas dengan } 2k + 1\)

\(k^2 \color{cyan} + 2k + 1 \color{white} \geq 2k + 7 + \color{cyan} 2k + 1\)

\(k^2 + 2k + 1 \geq 4k + 8\)

\((k + 1)^2 \geq 2k + 2 + 2k + 6\)

\((k + 1)^2 \geq 2(k + 1) + 2(k + 3)\)

\((k + 1)^2 \geq 2(k + 1) + \color{cyan} 2(k + 3) \color{white}\geq 2(k + 1) + \color{blue} 7\)

\(\color{cyan}2(k + 3) \geq 7\)  karena jika kita ambil nilai k = 4, maka:

\(\color{cyan}14\geq 7\), sehingga

\((k + 1)^2 \geq 2(k + 1) + 7\:\:\:\:\:\color{yellow}\text{terbukti}\)

∴ \(n^2 \geq 2n + 7\)  untuk setiap bilangan asli \(n \geq 4\)