1. Analisis Syarat Soal:

• Total soal yang tersedia = \(20\) soal.
• Soal nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 (5 butir soal) pasti dikerjakan.
• Sisa soal yang masih harus dipilih: \(15 \:-\: 5 = 10\text{ soal}\).
• Sisa soal pilihan yang masih tersedia: \(20 \:-\: 5 = 15\text{ soal}\).

2. Menghitung Kombinasi Pemilihan:

Memilih 10 soal dari 15 soal sisa (urutan pengerjaan bebas):

\[
\begin{aligned}
\mathrm{C}_{10}^{15} &= \frac{15!}{(15 \:-\: 10)!\cdot 10!} \\
&= \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{5! \times 10!} \\
&= \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\
&= 3.003
\end{aligned}
\] Jadi, terdapat 3.003 kemungkinan susunan soal yang dapat dipilih.

Cara 1: Metode Komplemen (Cepat & Praktis):

Pernyataan “nomor 1 dan 2 minimal ada yang dikerjakan” berarti seluruh kemungkinan dikurangi kasus di mana nomor 1 dan 2 sama sekali tidak dikerjakan.

\[
\begin{aligned}
\text{Total cara tanpa syarat} &= \mathrm{C}_{15}^{20} = \frac{20!}{5!\cdot 15!} = 15.504 \\
\text{Kasus nomor 1 dan 2 tidak dipilih} &= \mathrm{C}_{15}^{18} = \frac{18!}{3!\cdot 15!} = 816 \\
\text{Banyak cara memenuhi syarat} &= 15.504 \:-\: 816 = 14.688
\end{aligned}
\]

Cara 2: Penjumlahan Kasus Langsung:

• Kasus 1: Tepat satu dari nomor 1 atau 2 yang dikerjakan:
  \[\mathrm{C}_1^2 \times \mathrm{C}_{14}^{18} = 2 \times 3.060 = 6.120\]
• Kasus 2: Kedua nomor 1 dan 2 dikerjakan sekaligus:
  \[\mathrm{C}_2^2 \times \mathrm{C}_{13}^{18} = 1 \times 8.568 = 8.568\]

\[\text{Total Kemungkinan} = 6.120 + 8.568 = 14.688\]

1. Memodelkan Jumlah Jabat Tangan:

Jika terdapat \(n\) pasang suami istri, maka total individu yang hadir adalah \(2n\) orang. Setiap jabat tangan melibatkan 2 orang (\(\mathrm{C}_2^{2n}\)), dikurangi \(n\) kali jabat tangan antar pasangan sendiri:

\[\text{Banyak Jabat Tangan} = \mathrm{C}_2^{2n} \:-\: n\]

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat:

\[
\begin{aligned}
\frac{2n(2n \:-\: 1)}{2} \:-\: n &= 84 \\
n(2n \:-\: 1) \:-\: n &= 84 \\
2n^2 \:-\: n \:-\: n &= 84 \\
2n^2 \:-\: 2n \:-\: 84 &= 0 \quad |: 2| \\
n^2 \:-\: n \:-\: 42 &= 0 \\
(n \:-\: 7)(n + 6) &= 0
\end{aligned}
\] Karena jumlah pasangan harus positif, nilai yang memenuhi adalah \(n = 7\).
Jadi, banyaknya pasangan suami istri yang hadir adalah 7 pasang.

1. Memilih 1 Pasang Suami Istri (2 Orang):

Dari total 7 pasang suami istri, dipilih 1 pasang utuh:
\[\mathrm{C}_1^7 = 7\text{ cara}\]

2. Memilih 1 Orang Pelengkap dari Sisa Individu:

Setelah 1 pasang (2 orang) terpilih, tersisa \(14 \:-\: 2 = 12\text{ orang}\) individu di ruangan. Dari 12 orang tersebut, dipilih 1 orang bebas:

\[\mathrm{C}_1^{12} = 12\text{ cara}\] \[
\begin{aligned}
\text{Total Banyak Cara} &= \mathrm{C}_1^7 \times \mathrm{C}_1^{12} \\
&= 7 \times 12 \\
&= 84\text{ cara}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya cara pemilihan tersebut adalah 84 cara.

Cara 1: Metode Komplemen (Trik Cepat):

Dari 20 tiket: 3 tiket menang (\(M\)) dan 17 tiket kalah (\(K\)).
Anto mendapatkan hadiah = Semua Kemungkinan − Anto Kalah Total (Semua 5 Tiket Tidak Berhadiah).

\[
\begin{aligned}
\text{Semua kemungkinan 5 tiket} &= \mathrm{C}_5^{20} = \frac{20!}{5!\cdot 15!} = 15.504 \\
\text{Kemungkinan semua 5 tiket kalah} &= \mathrm{C}_5^{17} = \frac{17!}{5!\cdot 12!} = 6.188 \\
\text{Peluang Anto dapat hadiah} &= 15.504 \:-\: 6.188 = 9.316
\end{aligned}
\]

Cara 2: Penjumlahan Kasus Langsung:

• 1 tiket menang & 4 kalah: \(\mathrm{C}_1^3 \times \mathrm{C}_4^{17} = 3 \times 2.380 = 7.140\)
• 2 tiket menang & 3 kalah: \(\mathrm{C}_2^3 \times \mathrm{C}_3^{17} = 3 \times 680 = 2.040\)
• 3 tiket menang & 2 kalah: \(\mathrm{C}_3^3 \times \mathrm{C}_2^{17} = 1 \times 136 = 136\)

\[\text{Total} = 7.140 + 2.040 + 136 = 9.316\]

1. Mengidentifikasi Kaidah Pencacahan:

Mencampurkan warna cat Merah-Kuning-Biru akan menghasilkan warna yang sama persis dengan Biru-Merah-Kuning (urutan penuangan tidak berpengaruh). Oleh sebab itu, masalah ini diselesaikan dengan Kombinasi (\(r = 3\) dari \(n = 10\)).

2. Perhitungan Kombinasi:

\[
\begin{aligned}
\mathrm{C}_3^{10} &= \frac{10!}{(10 \:-\: 3)!\cdot 3!} \\
&= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \\
&= 10 \times 3 \times 4 \\
&= 120\text{ varian warna}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya warna baru yang terbentuk adalah 120 warna.

Cara 1: Metode Pembagian Kasus Logika:

Kondisi implikasi: “Jika ada Hitam, maka harus ada Putih”.

• Kasus 1 (Cat Hitam Digunakan):
  Karena warna hitam dipilih, maka warna putih wajib otomatis terpilih (sudah pasti ada 2 warna). Sisa 1 warna lagi dipilih bebas dari 8 warna lainnya:
  \[\mathrm{C}_1^8 = 8\text{ cara}\]
• Kasus 2 (Cat Hitam TIDAK Digunakan):
  Karena warna hitam tidak digunakan, aturan tidak terikat (warna putih boleh ikut atau tidak). Kita bebas memilih 3 warna dari 9 warna yang tersisa:
  \[\mathrm{C}_3^9 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84\text{ cara}\]

\[\text{Total Campuran} = 8 + 84 = 92\text{ variasi}\]

Cara 2: Metode Komplemen (Total − Terlarang):

Satu-satunya kondisi yang melanggar aturan adalah: warna Hitam dicampur, tetapi warna Putih TIDAK dicampur.

\[
\begin{aligned}
\text{Total campuran bebas 3 dari 10 warna} &= \mathrm{C}_3^{10} = 120 \\
\text{Kondisi terlarang (Hitam ikut, Putih tidak)} &= \mathrm{C}_1^1 \times \mathrm{C}_2^8 = 1 \times 28 = 28 \\
\text{Campuran yang sah} &= 120 \:-\: 28 = 92
\end{aligned}
\] Jadi, banyak campuran warna yang dapat terjadi adalah 92 variasi.