• Angka Genap (\(E\)): \(\{0, 2, 6, 8\}\) → \(4\text{ angka}\)
• Angka Ganjil (\(O\)): \(\{1, 3, 5\}\) → \(3\text{ angka}\)

Syarat: Angka ke-7 (terakhir) wajib genap dan 3 angka ganjil tidak boleh berdampingan. Dari 6 posisi awal, terdapat \(\binom{4}{3} = 4\) pola penempatan yang mungkin:

1. \(E – O – E – O – E – O – E\)

2. \(O – E – E – O – E – O – E\)

3. \(O – E – O – E – E – O – E\)

4. \(O – E – O – E – O – E – E\)

Karena angka \(0\) berada di posisi terakhir, maka posisi pertama aman dari angka \(0\). Pada setiap pola, susunan 3 genap tersisa adalah \(3! = 6\) cara dan 3 ganjil adalah \(3! = 6\) cara:

\[\text{Total Kasus A} = 4\text{ pola} \times (3! \times 3!) = 4 \times 36 = 144\]

• Pola 1 (\(E – O – E – O – E – O – E\)): Posisi pertama genap tidak boleh \(0\) (2 pilihan). Sisa genap: \(2!\). Ganjil: \(3!\).
  \[3 \times (2 \times 2! \times 3!) = 3 \times 24 = 72\]
• Pola 2, 3, dan 4 (Diawali Ganjil): Posisi pertama adalah ganjil (angka \(0\) tidak mungkin di awal). Genap tersisa: \(3!\). Ganjil: \(3!\).
  \[3\text{ pola} \times 3 \times (3! \times 3!) = 9 \times 36 = 324\]

\[\text{Total Keseluruhan} = 144 + 72 + 324 = 540\text{ bilangan}\]

Bilangan bernilai di antara 3.000 dan 8.000, maka angka ribuan (\(r\)) berasal dari \(\{3, 4, 5, 6, 7\}\). Angka satuan (\(s\)) harus genap dari \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\).

• Ribuan: 3 pilihan (\(3, 5, 7\))
• Satuan: 5 pilihan genap utuh (\(0, 2, 4, 6, 8\))
• Ratusan: 8 pilihan tersisa
• Puluhan: 7 pilihan tersisa

\[\text{Banyak Bilangan} = 3 \times 8 \times 7 \times 5 = 840\]

• Ribuan: 2 pilihan (\(4, 6\))
• Satuan: 4 pilihan genap tersisa (\(5 \:-\: 1 = 4\))
• Ratusan: 8 pilihan tersisa
• Puluhan: 7 pilihan tersisa

\[\text{Banyak Bilangan} = 2 \times 8 \times 7 \times 4 = 448\] \[\text{Total Bilangan} = 840 + 448 = 1.288\]

• \((1, 4, 6) \implies 3! = 6\)
• \((1, 5, 5) \implies \frac{3!}{2!} = 3\)
• \((2, 3, 6) \implies 3! = 6\)
• \((2, 4, 5) \implies 3! = 6\)
• \((3, 3, 5) \implies \frac{3!}{2!} = 3\)
• \((3, 4, 4) \implies \frac{3!}{2!} = 3\)

\[\text{Total Jumlah 11} = 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27\text{ cara}\]

Kasus 1: Tepat Memuat Satu Mata 4 (3 dadu lain berjumlah 10 tanpa angka 4)

• \((4, 1, 3, 6) \implies 4! = 24\)
• \((4, 2, 3, 5) \implies 4! = 24\)
• \((4, 2, 2, 6) \implies \frac{4!}{2!} = 12\)

Kasus 2: Tepat Memuat Dua Mata 4 (2 dadu lain berjumlah 6 tanpa angka 4)

• \((4, 4, 1, 5) \implies \frac{4!}{2!} = 12\)
• \((4, 4, 3, 3) \implies \frac{4!}{2!\cdot 2!} = 6\)

Kasus 3: Tepat Memuat Tiga Mata 4 (1 dadu lain bernilai 2)

• \((4, 4, 4, 2) \implies \frac{4!}{3!} = 4\)

Lantai yang tersedia untuk turun adalah \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) (terdapat 6 pilihan lantai). Setiap kali kita memilih 2 lantai sembarang dari 6 lantai tersebut, secara otomatis lantai yang lebih tinggi menjadi tempat turun Adi dan lantai yang lebih rendah untuk Bima:

\[\mathrm{C}_2^6 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\text{ cara}\]

Dua orang lainnya bebas memilih turun di salah satu dari 6 lantai yang tersedia tanpa batasan apapun:

\[6 \times 6 = 36\text{ cara}\] \[
\begin{aligned}
\text{Total Kemungkinan} &= 15 \times 36 \\
&= 540\text{ cara}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya variasi lantai tempat mereka turun adalah 540 cara.

• Huruf Vokal (5 huruf): \(A, A, A, U, U\)
• Huruf Konsonan (4 huruf): \(J, R, S, T\)

Lima huruf vokal yang telah ditata menyediakan 6 celah kosong di antara dan di ujungnya:

\[\text{_ } V_1 \text{ _ } V_2 \text{ _ } V_3 \text{ _ } V_4 \text{ _ } V_5 \text{ _}\]

Memilih 4 celah dari 6 celah: \(\mathrm{C}_4^6 = 15\) cara.
Menyusun 4 huruf konsonan berbeda ke dalam celah terpilih: \(4! = 24\) cara.

\[
\begin{aligned}
\text{Total Susunan Kata} &= P_{\text{vokal}} \times \mathrm{C}_4^6 \times 4! \\
&= 10 \times 15 \times 24 \\
&= 3.600\text{ cara}
\end{aligned}
\]

Ketua berasal dari 8 siswa kelas XII. Bendahara dan Sekretaris dapat dipilih bebas dari siswa kelas yang lebih rendah, yaitu gabungan kelas X dan XI (\(6 + 5 = 11\text{ siswa}\)):

\[
\begin{aligned}
\text{Banyak Cara}_1 &= 8 \times \mathrm{P}_2^{11} \\
&= 8 \times (11 \times 10) \\
&= 8 \times 110 = 880
\end{aligned}
\]

Ketua berasal dari 5 siswa kelas XI. Bendahara dan Sekretaris wajib berasal dari kelas yang lebih rendah, yaitu kelas X (6 siswa):

\[
\begin{aligned}
\text{Banyak Cara}_2 &= 5 \times \mathrm{P}_2^6 \\
&= 5 \times (6 \times 5) \\
&= 5 \times 30 = 150
\end{aligned}
\]

(Catatan: Ketua tidak mungkin dari kelas X karena tidak ada kelas yang lebih rendah darinya).

\[\text{Total Banyak Cara} = 880 + 150 = 1.030\text{ susunan}\]

Total orang = \(2n\). Jabat tangan yang terjadi adalah \(\mathrm{C}_2^{2n} \:-\: n\):

\[
\begin{aligned}
\frac{2n(2n \:-\: 1)}{2} \:-\: n &= 312 \\
2n^2 \:-\: n \:-\: n &= 312 \\
2n^2 \:-\: 2n \:-\: 312 &= 0 \quad |: 2| \\
n^2 \:-\: n \:-\: 156 &= 0 \\
(n \:-\: 13)(n + 12) &= 0 \implies n = 13\text{ pasang}
\end{aligned}
\]

Dari 8 pasangan yang ada, dipilih 1 pasang utuh:
\[\mathrm{C}_1^8 = 8\text{ cara}\]

Tersisa 7 pasang suami istri. Dari 7 pasang ini, kita harus memilih 3 orang yang berasal dari 3 pasangan berbeda (tidak boleh sepasang):

• Pilih 3 pasang dari 7 pasang yang tersisa: \(\mathrm{C}_3^7 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\text{ cara}\)
• Dari setiap pasangan terpilih, pilih 1 orang (bisa suami atau istri): \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\text{ cara}\)

\[\text{Banyak Cara Memilih 3 Orang Bebas Pasangan} = 35 \times 8 = 280\text{ cara}\] \[
\begin{aligned}
\text{Total Banyak Cara} &= \mathrm{C}_1^8 \times 280 \\
&= 8 \times 280 \\
&= 2.240\text{ cara}
\end{aligned}
\] Jadi, banyaknya cara pemilihan 5 orang tersebut adalah 2.240 cara.