Langkah 1: menentukan gradien garis singgung

\(\text{m}_{\text{gs}} = y’\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos 2x \cdot e^{\sin 2x}\) di titik berabsis \(\dfrac{\pi}{4}\).

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos (2\cdot \frac{\pi}{4}) \cdot e^{\sin (2\cdot \frac{\pi}{4})}\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cos \frac{\pi}{2} \cdot e^{\sin \frac{\pi}{2}}\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 0\)

Langkah 2: menentukan titik singgung

\(x_1 = \dfrac{\pi}{4}\) disubstitusikan ke persamaan kurva \(y = e^{\sin 2x}\)

\(y_1 = e^{\sin (2\cdot \frac{\pi}{4})}\)

\(y_1 = e^{\sin \frac{\pi}{2}}\)

\(y_1 = e^{1}\)

Titik singgung berada di koordinat \(\left(\dfrac{\pi}{4}, e \right)\)

Langkah 3: menentukan persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui titik \((x_1, y_1)\) adalah:

\(\color{cyan} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\)

\(y\:-\:e = 0\cdot (x\:-\:\frac{\pi}{4})\)

\(y\:-\:e = 0\)

\(y = e\)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y = e\).

Langkah 1: menentukan gradien garis singgung

\(y = \cos 2x\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = y’\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2x\)

Langkah 2: menentukan gradien garis 

\(y = -x + 1\)

Karena persamaan umum garis \(y = mx + c\), maka gradien garis sama dengan koefisien \(x\).

\(\textbf{m}_{\text{garis}} = -1\)

Langkah 3: menentukan koordinat titik singgung

Garis singgung kurva tegak lurus dengan garis \(y = -x + 1\).

\(\text{m}_{\text{gs}} \cdot \textbf{m}_{\text{garis}}  = -1\)

\( -2 \sin 2x \cdot (-1) = -1\)

\(-2 \sin 2x = 1\)

\(\sin 2x = -\dfrac{1}{2}\)

\(\sin 2x = \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

Selesaikan persamaan fungsi sinus ini untuk batas \(0 < x < \dfrac{2 \pi}{3}\).

Kemungkinan 1:

\(2x = -\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\)

Bagi kedua ruas dengan 2

\(x = -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \pi\)

Untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12}\dotso \color{red} \text{TM}\)

Untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{11}{12}\pi\dotso \color{red} \text{TM}\)

Kemungkinan 2:

\(2x = (\pi \:-\: (-\frac{\pi}{6})) + k \cdot 2\pi\)

\(2x =\dfrac{7}{6}\pi + k \cdot 2\pi\)

Bagi kedua ruas dengan 2

\(x =\dfrac{7}{12}\pi + k \cdot \pi\)

Untuk \(k = 0 \rightarrow x =\dfrac{7}{12}\pi\dotso \color{cyan} \text{memenuhi}\)

Jadi, absis titik singgung yang memenuhi adalah \(x =\dfrac{7}{12}\pi\).

\(x_1 = \dfrac{7}{12}\pi \rightarrow y_1 = \cos \left(\cancel{2}\cdot \dfrac{7}{\cancelto{6}{12}}\pi  \right)\)

\(x_1 = \dfrac{7}{12}\pi \rightarrow y_1 = \left(-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right)\)

Koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) = \(\left(\dfrac{7}{12}\pi, -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right)\)

Langkah 4: menentukan persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) adalah:

\(\color{cyan} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2x\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin 2\cdot \left(\dfrac{7}{12}\pi  \right)\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \sin \left(\dfrac{7}{6}\pi  \right)\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -2 \cdot -\dfrac{1}{2} = 1\)

\(y\:-\: \left(-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\right) =1\cdot \left (x\:-\:\left(\dfrac{7}{12}\pi  \right)\right)\)

\(y + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} = x \:-\: \dfrac{7}{12}\pi \)

\(y\:-\: x  = -\dfrac{7}{12}\pi \:-\: \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y\:-\: x  = -\dfrac{7}{12}\pi \:-\: \dfrac{1}{2} \sqrt{3}\).

Langkah 1: menentukan gradien garis singgung

\(y = \sin^2 2x\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = y’\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \sin 2x \cdot 2\cos 2x\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \cdot 2\sin 2x \cos 2x\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = 2 \sin 4x\)

Langkah 2: menentukan gradien garis 

\(y = -\sqrt{3}x + 1\)

Karena persamaan umum garis \(y = mx + c\), maka gradien garis sama dengan koefisien \(x\).

\(\textbf{m}_{\text{garis}} = -\sqrt{3}\)

Langkah 3: menentukan koordinat titik singgung

Garis singgung kurva sejajar dengan garis \(y = -\sqrt{3}x + 1\).

\(\text{m}_{\text{gs}} = \textbf{m}_{\text{garis}}\)

\( 2 \sin 4x = -\sqrt{3}\)

\(\sin 4x = -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}\)

\(\sin 4x = \sin (-\frac{\pi}{3})\)

Selesaikan persamaan fungsi sinus ini untuk batas \(0 < x \leq \dfrac{\pi}{3}\).

Kemungkinan 1:

\(4x = -\dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi\)

Bagi kedua ruas dengan 4

\(x = -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\)

Untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{\pi}{12}\dotso \color{red} \text{TM}\)

Untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{5}{12}\pi\dotso \color{red} \text{TM}\)

Kemungkinan 2:

\(4x = (\pi \:-\: (-\frac{\pi}{3})) + k \cdot 2\pi\)

\(4x =\dfrac{4}{3}\pi + k \cdot 2\pi\)

Bagi kedua ruas dengan 4

\(x =\dfrac{4}{12}\pi + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\)

\(x =\dfrac{1}{3}\pi + k \cdot \dfrac{1}{2}\pi\)

Untuk \(k = 0 \rightarrow x =\dfrac{1}{3}\pi\dotso \color{cyan} \text{memenuhi}\)

Jadi, absis titik singgung yang memenuhi adalah \(x =\dfrac{1}{3}\pi\).

\(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = \sin^2 2\cdot \frac{1}{2} \pi\)

\(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = \sin^2 \pi\)

\(x_1 = \dfrac{1}{3}\pi \rightarrow y_1 = 0\)

Koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) = \(\left(\dfrac{1}{3}\pi, 0\right)\)

Langkah 4: menentukan persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung bergradien \(\textbf{m}_{\text{gs}}\) dan melalui koordinat titik singgung \((x_1, y_1)\) adalah:

\(\color{cyan} y\:-\:y_1 = \text{m}_{\text{gs}}(x\:-\:x_1)\)

\(\text{m}_{\text{gs}} = -\sqrt{3}\)

\(y\:-\: 0= -\sqrt{3}\cdot \left (x\:-\:\frac{1}{3}\pi\right)\)

\(y  = -\sqrt{3}x  +  \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \)

\(y+ \sqrt{3}x  = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(y+ \sqrt{3}x  = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\:\pi \).