Soal 1
Jika \(5^{10x} = 1600\) dan \(2^{\sqrt{y}} = 25\), nilai \(\dfrac{(5^{x-1})^5}{8^{(-\sqrt{y})}}\) adalah…
A. 50
B. 100
C. 150
D. 200
E. 250
Jawaban: D
Langkah 1: Sederhanakan bentuk \(5^{10x} = 1600\)
\(5^{10x} = 1600\)
\((5^{5x})^2 = 40^2\)
\(5^{5x}= 40\)
Langkah 2: Menghitung \(\dfrac{(5^{x-1})^5}{8^{(-\sqrt{y})}}\)
\(\dfrac{(5^{x \:-\: 1})^5}{8^{(-\sqrt{y})}}\)
\(\dfrac{5^{5x \:-\: 5}}{2^{-3\sqrt{y}}}\)
\(\dfrac{5^{5x}\cdot 5^{-5}}{(2^{\sqrt{y}})^{-3}}\:\:\:\:\:\color{cyan}\text{ganti } 5^{5x} = 40, \text{ dan } 2^{\sqrt{y}} = 25\)
\(\dfrac{40\cdot \frac{1}{5^5}}{25^{-3}}\)
\(\dfrac{\frac{40}{5^5}}{\frac{1}{(5^2)^3}}\)
\(\dfrac{40}{\cancel{5^5}}\cdot \dfrac{\cancelto{5}{5^6}}{1}\)
\(40 \times 5\)
\(200\)
Soal 2
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) memenuhi \(^4\log x \:-\: ^x\log 16 = \dfrac{7}{6} \:-\: ^x\log 8\), nilai \(x_1 \cdot x_2\) adalah…
A. \(\sqrt[3] {2}\)
B. \(\sqrt[3] {3}\)
C. \(2\sqrt[3] {2}\)
D. \(2\sqrt{3}\)
E. \(4\sqrt[3] {2}\)
Jawaban: E
\(^4\log x \:-\: ^x\log 16 = \dfrac{7}{6} – ^x\log 8\)
\(\color{cyan}\text{ingat } ^a\log b = \dfrac{1}{^b\log a}\)
\(^{2^2}\log x^1 \:-\: \dfrac{1}{^{2^4}\log x^1}= \dfrac{7}{6} \:-\: \dfrac{1}{^{2^3}\log x^1}\)
\(\color{cyan}\text{ingat } ^{a^m}\log b^n = \frac{n}{m} ^a\log b\)
\(\color {pink}\text{Misal } ^2\log x = p\)
\(\frac{1}{2}p \:-\: \frac{4}{p} = \frac{7}{6} – \frac{3}{p}\)
\(\color{cyan}\text{ kalikan kedua ruas dengan } 6p\)
\(3p^2 \:-\: 24 = 7p \:-\: 18\)
\(3p^2 \:-\: 7p \:-\: 6 = 0\)
\((3p + 2)(p \:-\: 3) = 0\)
\(3p + 2 = 0 \rightarrow p = -\frac{2}{3}\)
\(^2\log x = -\frac{2}{3}\)
\(x_1 = 2^{-\frac{2}{3}}\)
\(p – 3 = 0 \rightarrow p = 3\)
\(^2\log x = 3\)
\(x_2 = 2^3\)
\(x_1\cdot x_2 = 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^3\)
\(2^{-\frac{2}{3} + 3} = 2^{\frac{7}{3}}\)
\(4\sqrt[3] {2}\)
Soal 3
Diketahui \(f(x) = 2x \:-\: 1\). Jika \((f(x))^2 \:-\: 3(f(x)) + 2 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\) dengan \(x_1 < x_2\), persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1 + 2\) dan \(x_2 \:-\: 2\) adalah…
A. \(2x^2 \:-\: 3x + 5\)
B. \(2x^2 \:-\: 3x \:-\: 5\)
C. \(2x^2 \:-\: 5x \:-\: 3\)
D. \(2x^2 \:-\: 5x + 3\)
E. \(2x^2 + 5x \:-\: 3\)
Jawaban: C
\((f(x))^2 \:-\: 3(f(x)) + 2 = 0\)
\((f(x) \:-\: 2)(f(x) \:-\: 1) = 0\)
\(f(x) – 2 = 0\)
\(2x – 1 – 2 = 0\)
\(2x – 3 = 0\)
\(2x = 3\)
\(x_2 = \frac{3}{2}\)
\(f(x) \:-\: 1 = 0\)
\(2x \:-\: 1 \:-\: 1 = 0\)
\(2x \:-\: 2 = 0\)
\(2x = 2\)
\(x_1 = 1\)
Cara menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\) adalah:
$$\bbox[5px] {(x \:-\: x_1)(x \:-\: x_2) = 0}$$
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
- \(x_1 + 2 = 1 + 2 = 3 \text{ dan }\)
- \(x_2 \:-\: 2 = \frac{3}{2} \:-\: 2 = -\frac{1}{2}\)
adalah:
\((x \:-\: 3)(x – (-\frac{1}{2}))=0 \)
\((x \:-\: 3)(x +\frac{1}{2})=0 \)
\(x^2 + \frac{1}{2}x \:-\: 3x \:-\: \frac{3}{2} = 0\)
\(\color{cyan}\text{kalikan kedua ruas dengan 2}\)
\(2x^2 + x \:-\: 6x \:-\: 3 = 0\)
\(2x^2 \:-\: 5x \:-\: 3 = 0\)
Soal 4
Hasil penjumlahan dari \(x, y, \text{ dan } z \) yang memenuhi \(3^{2x + y \:-\: z} = (\dfrac{1}{27})^{(x \:-\: y + 2z +2)}\), \(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{1 + ^2\log 5}\), dan \(\left \vert \begin{array}{c}x &\frac{1}{2}\\2y & 2\end{array}\right \vert = 2\) adalah…
A. \(-\dfrac{1}{3}\)
B. \(-\dfrac{2}{3}\)
C. \(-1\)
D. \(-\dfrac{4}{3}\)
E. \(-\dfrac{5}{3}\)
Jawaban: \(- \dfrac{26}{3}\)
Langkah 1: Menyederhanakan \(3^{2x + y \:-\: z} = (\dfrac{1}{27})^{(x \:-\: y + 2z +2)}\)
\(3^{2x + y \:-\: z} = 3^{-3(x \:-\: y + 2z +2)}\)
\(3^{2x + y \:-\: z} = 3^{-3x + 3y \:-\: 6z \:-\: 6}\)
\(2x + y \:-\: z = -3x + 3y \:-\: 6z \:-\: 6\)
\(5x \:-\: 2y + 5z = – 6\dotso\dotso(1)\)
Langkah 2: Menyederhanakan \(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{1 + ^2\log 5}\)
\(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{^2\log 2 + ^2\log 5}\)
\(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{^2\log 10}\)
\(\log (x \:-\: y + z) = \log 2\)
\(x \:-\: y + z = 2\dotso\dotso(2)\)
Langkah 3: Menyederhanakan \(\left \vert \begin{array}{c}x &\frac{1}{2}\\2y & 2\end{array}\right \vert = 2\)
\(2x \:-\: \frac{1}{2}\cdot 2y = 2\)
\(2x \:-\: y = 2 \dotso\dotso(3)\)
Langkah 4: Eliminasi persamaan (1), (2), dan (3)
\(5x \:-\: 2y + 5z = – 6\dotso\dotso(1)\)
\(x \:-\: y + z = 2\dotso\dotso(2)\)
\(2x \:-\: y = 2 \dotso\dotso(3)\)
Diperoleh:
\(x = -\dfrac{5}{3}\)
\(y = -\dfrac{16}{3}\)
\(z = – \dfrac{5}{3}\)
\(x + y + z = -\dfrac{5}{3} -\dfrac{16}{3} \:-\: \dfrac{5}{3} = – \dfrac{26}{3}\)
Soal 5
Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat \(x\) yang memenuhi \(\dfrac{(3x^2 \:-\: 4x + 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}} \leq 0\) adalah…
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Jawaban: 6
\(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}} \leq 0\)
Untuk \(x^2 + x + 1\) tidak difaktorkan karena definit positif (nilainya selalu positif)
Syarat definit positif:
- \(a > 0\)
- \(b^2 \:-\: 4ac < 0\)
Syarat bentuk akar:
\(5 \:-\: x \geq 0\)
\(-x \geq -5\)
\(x \leq 5\)
\(x + 1 > 0\)
\(x > -1\)
Gambar semua pembuat nol di garis bilangan dan cek tanda setiap interval
Cara cek tanda:
Pada interval 1 sampai 5 ambil angka 4 kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)
\(\dfrac{(3(4) \:-\: 1)(4 \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: 4}}{(+++)\sqrt{4 + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya positif}\)
Jadi pada interval 1 sampai 5 bernilai positif
Pada interval \(\frac{1}{3}\) sampai \(1\) ambil angka \(\frac{1}{2}\) kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)
\(\dfrac{(3(\frac{1}{2}) \:-\: 1)(\frac{1}{2} \:-\: 1)\sqrt{5 – \frac{1}{2}}}{(+++)\sqrt{\frac{1}{2} + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya negatif}\)
Jadi pada interval \(\frac{1}{3}\) sampai \(1\) bernilai negatif
Pada interval \(-1\) sampai \(\frac{1}{3}\) ambil angka \(0\) kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)
\(\dfrac{(3(0) \:-\: 1)(0 \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: 0}}{(+++)\sqrt{0 + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya positif}\)
Jadi pada interval \(-1\) sampai \(\frac{1}{3}\) bernilai positif
Karena pertidaksamaan kurang dari atau sama dengan nol, maka ambil daerah yang bernilai negatif
Solusi:
\((\dfrac{1}{3} \leq x \leq 1) \text{ atau } x = 5\)
Bilangan bulat pada solusi di atas adalah 1 dan 5, jadi penjumlahannya adalah 1 + 5 = 6
Soal 6
Jika \(A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\-3 & 2 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\-2 & 1 \end{bmatrix}\), jumlah kuadrat semua nilai \(t\) yang memenuhi \(\text{det}(A + 2tB)^{-1} = \dfrac{1}{10}\) adalah…
A. \(\dfrac{9}{2}\)
B. \(5\)
C. \(6\)
D. \(\dfrac{13}{2}\)
E. \(\dfrac{17}{2}\)
Jawaban: D
\(\text{det}(A + 2tB)^{-1} = \dfrac{1}{10}\)
\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 & 1 \\-3 & 2 \end{bmatrix}+2t\begin{bmatrix}-1 & 1 \\-2 & 1 \end{bmatrix})^{-1} = \dfrac{1}{10}\)
\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 & 1 \\-3 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2t & 2t \\-4t & 2t\end{bmatrix})^{-1} = \dfrac{1}{10}\)
\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 \:-\: 2t & 1+2t \\-3 \:-\: 4t &2+2t\end{bmatrix})^{-1}= \dfrac{1}{10}\)
\(\dfrac{1}{\text{det}\begin{bmatrix}1 \:-\: 2t & 1+2t \\-3 \:-\: 4t &2+2t\end{bmatrix}}= \dfrac{1}{10}\)
\(\color{cyan} \text{det } A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det } A}\)
\(\dfrac{1}{(1 \:-\: 2t)(2 + 2t) \:-\: (1+2t)(-3 \:-\: 4t)} = \dfrac{1}{10}\)
\((1 \:-\: 2t)(2 + 2t) – (1+2t)(-3 \:-\: 4t) = 10\)
\(2 + 2t \:-\: 4t \:-\: 4t^2 – (-3 \:-\: 4t \:-\: 6t \:-\: 8t^2)\)
\(= 10\)
\(2 + 2t \:-\: 4t \:-\: 4t^2 + 3 + 4t + 6t + 8t^2 = 10\)
\(4t^2 + 8t \:-\: 5 = 0\)
\((2t – 1)(2t + 5) = 0\)
\(t_1 = \dfrac{1}{2}\)
\(t_2 = -\dfrac{5}{2}\)
\(t^2_1 + t^2_2 = (\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{5}{2})^2 \)
\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{25}{4} = \dfrac{26}{4}\)
\(\dfrac{13}{2}\)
Soal 7
Diketahui \(\triangle \text{ABC}\) sama sisi, \(\text{BC = 2 CD}\), garis \(\text{DEF}\) tegak lurus \(\text{AB}\), dan \(\text{AG}\) sejajar \(\text{DF}\), seperti tampak pada gambar. Jika luas \(\triangle \text{BDF}\) adalah \(\dfrac{81}{2}\sqrt{3}\), luas trapesium \(\text{AGDE}\) adalah…
A. \(\dfrac{9}{2}\sqrt{3}\)
B. \(\dfrac{27}{2}\sqrt{3}\)
C. \(\dfrac{35}{2}\sqrt{3}\)
D. \(\dfrac{45}{2}\sqrt{3}\)
E. \(\dfrac{63}{2}\sqrt{3}\)
Jawaban: D
Langkah 1: Menentukan sudut-sudut segitiga dan melengkapi perbandingan sisi-sisi segitiga
(1) Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi sehingga setiap sudut besarnya 60°
(2) Segitiga ECD adalah segitiga sama kaki, panjang CD = CE, perbandingan CD : CE = 1 : 1
(3) Segitiga AFE adalah segitiga siku-siku, perbandingan AE : AF : FE = \(1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
(4) Gunakan aturan cosinus pada segitiga ECD untuk menghitung panjang ED
\(\text{ED}^2 = \text{CD}^2 + \text{CE}^2 \:-\: 2\cdot\text{CD}\cdot\text{CE}\cdot\cos 120^{\circ}\)
\(\text{ED}^2 = 1^2 + 1^2 \:-\: 2(1)(1)(\frac{1}{2})\)
\(\text{ED} = \sqrt{3}\)
Langkah 2: Menghitung ukuran sisi sebenarnya
\(\text{Luas segitiga BDF} = \frac{1}{2}\cdot \text{DF}\cdot \text{BF}\)
\(\frac{81}{\cancel{2}}\cancel{\sqrt{3}}= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \frac{3}{2}\cancel{\sqrt{3}}x\cdot \frac{3}{2}x\)
\(81 = \frac{9}{4}x^2\)
\(81 = \frac{9}{4}x^2\)
\(81 \times \frac{4}{9} = x^2\)
\(x^2 = 36\)
\(x = \sqrt{36} = 6\)
Ukuran sisi sebenarnya adalah ukuran perbandingan sisi dikali dengan 6, sehingga didapatkan ukuran:
- ED = \(\sqrt{3}\times 6 = 6\sqrt{3}\)
- AG = FD = \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\times 6 = 9\sqrt{3}\)
- GD = AF = \(\frac{1}{2}\times 6 = 3\)
Langkah 3: Menghitung luas trapesium AGDE
\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{\text{ED + AG}}{2}\times \text{GD}\)
\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{6\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{2}\times 3\)
\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{45\sqrt{3}}{2}\)
Soal 8
Jika \(a^2 \:-\: bc, b^2 \:-\: ac, c^2 \:-\: ab\) adalah barisan aritmetika dengan \(a + b + c = 18\), nilai \(\dfrac{a+c}{b}\) adalah…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 9
Jawaban: A
\(a + b + c = 18\)
\(a + c = 18 – b\dotso\dotso (1)\)
\(a^2 \:-\: bc, b^2 \:-\: ac, c^2 \:-\: ab\) adalah barisan aritmetika
\(\text{U}_2 \:-\: \text{U}_1 = \text{U}_3 \:-\: \text{U}_2\)
\(b^2 \:-\: ac \:-\: (a^2 \:-\: bc) = c^2 \:-\: ab \:-\: (b^2 \:-\: ac)\)
\(b^2 \:-\: ac \:-\: a^2 + bc = c^2 \:-\: ab \:-\: b^2 + ac\)
\(2b^2 + ab + bc = a^2 + 2ac + c^2\)
\(2b^2 + b(a + c) = (a + c)^2\)
\(\color{cyan}\text{substitusikan }a + c = 18 – b \)
\(2b^2 + b(18 \:-\: b) = (18 \:-\: b)^2\)
\(2b^2 + 18b \:-\: b^2 = 324 \:-\: 36b + b^2\)
\(\cancel{b^2} + 54b = 324 + \cancel{b^2}\)
\(b = \dfrac{324}{54}\)
\(b = 6\)
\(a + c = 18 \:-\: b\)
\(a + c = 18 \:-\: 6 = 12\)
\(\dfrac{a + c}{b} = \dfrac{12}{6} = 2\)
Soal 9
Jika \((p^2 \:-\: 1)x + y = 0\) dan \(-2x + (p^2 \:-\: 4)y = 0\) dengan \(x \neq 0\) dan \(y \neq 0\), nilai \(p^2\) terbesar yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah…
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Jawaban: C
\((p^2 \:-\: 1)x + y = 0\dotso\dotso(\times\: \color{pink} -2)\)
\(-2x + (p^2 \:-\: 4)y = 0\dotso\dotso(\times\: \color{pink} p^2 \:-\: 1)\)
\(-2(p^2 \:-\: 1)x \:-\: 2y = 0\)
\(-2(p^2 \:-\: 1)x + (p^2 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)y = 0\)
Kurangkan kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh:
\(-2y \:-\: (p^2 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)y = 0\)
\(-2\cancel{y} = (p^4 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)\cancel{y}\)
\(-2 = p^4 \:-\: p^2 \:-\: 4p^2 + 4\)
\(0 = p^4 \:-\: 5p^2 + 6\)
\(0 = (p^2 \:-\: 3)(p^2 \:-\: 2)\)
\(p^2 = 3\:\:\:\:\:\color{cyan}\text{nilai terbesar}\)
\(p^2 = 2\)
Soal 10
Terdapat sepuluh orang pergi ke tempat wisata dengan mengendarai 3 mobil berkapasitas 4 orang dan tiga orang di antaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan di setiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah…
A. 1190
B. 1050
C. 840
D. 700
E. 560
Jawaban: B
Dari 10 orang yang pergi ke tempat wisata ada 3 orang yang menjadi pemilik mobil dan sekaligus menjadi sopir. Tersisa 7 orang yang akan ditempatkan untuk mengisi 3 mobil yang tersedia, dengan minimal ada satu penumpang selain pengemudi.
Kemungkinan 1 (komposisi 3-3-1)
Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga hanya diisi 1 orang penumpang
Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua hanya diisi 1 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang
Mobil pertama hanya diisi 1 orang penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang
\(\text{Banyak cara} = 3\times ^7\text{C}_3 \times ^4\text{C}_3 \times ^1\text{C}_1 = 420\)
Kemungkinan 2 (komposisi 3-2-2)
Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 2 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 2 orang penumpang
Mobil pertama diisi oleh 2 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 2 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang
Mobil pertama diisi oleh 2 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 2 orang penumpang
\(\text{Banyak cara} = 3\times ^7\text{C}_3 \times ^4\text{C}_2 \times ^2\text{C}_2 = 630\)
Banyaknya cara keseluruhan = \(420 + 630 = 1050\)
Soal 11
Jika \((g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x \:-\: 1\) dan \(f(x) = \dfrac{x \:-\: 2}{x + 1}\) untuk \(x \neq -1\), maka \(g(a \:-\: 2) = \dotso\)
A. \(\dfrac{-a + 9}{a \:-\: 4}\)
B. \(\dfrac{-(a + 8)}{a \:-\: 1}\)
C. \(\dfrac{-(a + 5)}{a \:-\: 4}\)
D. \(\dfrac{-(a + 6)}{a \:-\: 3}\)
E. \(\dfrac{-a + 5}{a \:-\: 3}\)
Jawaban: C
\((g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x \:-\: 1\)
\(\color{cyan}(g^{-1} \circ f^{-1})(x) =(f \circ g)^{-1}(x)\)
\((f \circ g)^{-1}(x) = 3x \:-\: 1\)
\(\color{cyan}[(f \circ g)^{-1}]^{-1}(x) = (f \circ g)(x)\)
\(y = 3x \:-\: 1\)
\(-3x = -1 \:-\: y\)
\(x = \dfrac{1 + y}{3}\)
\((f \circ g)(y) = \dfrac{1 + y}{3}\)
\((f \circ g)(x) = \dfrac{1 + x}{3}\)
\(f(g(x)) = \dfrac{1 + x}{3}\)
\(\dfrac{g(x) \:-\: 2}{g(x) + 1} = \dfrac{1 + x}{3}\)
\(3g(x) \:-\: 6 = (g(x) + 1)(1 + x)\)
\(3g(x) \:-\: 6 = g(x) + xg(x) + 1 + x\)
\(2g(x) \:-\: xg(x) = x + 7\)
\((2 \:-\: x)g(x) = x + 7\)
\(g(x) = \dfrac{x + 7}{2 \:-\: x}\)
\(g(a \:-\: 2) = \dfrac{a – 2 + 7}{2 \:-\: (a \:-\: 2)}\)
\(g(a \:-\: 2) = \dfrac{a + 5}{4 \:-\: a} =\dfrac{-(a + 5)}{a \:-\: 4} \)
Soal 12
Terdapat 10 orang pelamar pada suatu perusahaan dan 6 di antaranya adalah wanita. Jika perusahaan tersebut hanya membutuhkan 4 orang karyawan baru, peluang paling banyak 2 wanita akan diterima adalah…
A. \(\dfrac{19}{42}\)
B. \(\dfrac{10}{21}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\)
D. \(\dfrac{11}{21}\)
E. \(\dfrac{23}{42}\)
Jawaban: E
Dari 6 wanita (W) dan 4 pria (P) yang melamar pekerjaan akan dipilih 4 orang untuk menjadi karyawan baru. Paling banyak 2 wanita yang akan diterima di perusahaan tersebut.
Banyak cara memilih r object dari n object yang tersedia
$$\bbox[5px]{^nC_r = \dfrac{n!}{(n – r)!r!}}$$
Kemungkinan 1: tidak ada wanita yang terpilih (P, P, P, P)
\(\text{Peluang} = \dfrac{^4C_4}{^{10}C_4} = \dfrac{1}{210}\)
Kemungkinan 2: terpilih 1 orang wanita (W, P, P, P)
\(\text{Peluang} = \dfrac{^6C_1\cdot^4C_3}{^{10}C_4} = \dfrac{24}{210}\)
Kemungkinan 3: terpilih 2 orang wanita (W, W, P, P)
\(\text{Peluang} = \dfrac{^6C_2\cdot^4C_2}{^{10}C_4} = \dfrac{90}{210}\)
\(\text{Peluang keseluruhan} = \dfrac{1}{210} + \dfrac{24}{210} + \dfrac{90}{210}\)
\(\dfrac{115}{210} = \dfrac{23}{42}\)
Soal 13
Jika \(f(x) = 2x^2 \:-\: 3x + 1, g(x) = ax + b\)
dan \((g \circ f)(x \:-\: 1) = 4x^2 \:-\: 14 x + 11\)
maka…
(1) \(a = 2\)
(2) \(b = -1\)
(3) \((f \circ g)(1) = 10\)
(4) \(\dfrac{f(x)}{g(x)} = x + 1\)
\((g \circ f)(x \:-\: 1) = 4x^2 \:-\: 14 x + 11\)
\(\text{Misal } x \:-\: 1 = a \rightarrow x = 1 + a\)
\((g \circ f)(a) = 4(1 + a)^2 \:-\: 14(1 + a) + 11\)
\(4(1 + 2a + a^2) – 14 \:-\: 14a + 11\)
\( 4 + 8a + 4a^2 \:-\: 14 \:-\: 14a + 11\)
\( 4a^2 \:-\: 6a +1\)
\((g \circ f)(x) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)
\(g(f(x)) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)
\(g(2x^2 \:-\: 3x + 1) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)
\(a(2x^2 \:-\: 3x + 1) + b = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)
\(2ax^2 \:-\: 3ax + a + b = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)
\(\text{Menyamakan koefisien}\)
\(2a = 4 \rightarrow \color{cyan} a = 2\)
\(a + b = 1 \rightarrow \color{cyan} b = -1\)
\(g(x) = 2x \:-\: 1\)
\((f \circ g)(1) = f(g(1))\)
\(f(g(1))= f(2(1) \:-\: 1)\)
\(f(g(1))=f(1)\)
\(f(g(1))=2(1)^2 \:-\: 3(1) + 1 \)
\(\color{pink} f(g(1) = 0\)
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{2x^2 \:-\: 3x + 1}{2x \:-\: 1}\)
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\cancel{(2x \:-\: 1)}(x \:-\: 1)}{\cancel{2x \:-\: 1}}\)
\(\color{pink} \dfrac{f(x)}{g(x)} = x \:-\: 1\)
Dari perhitungan di atas, disimpulkan:
- Pernyataan pertama benar
- Pernyataan kedua benar
- Pernyataan ketiga salah
- Pernyataan keempat salah
Soal 14
Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi yang dapat diturunkan di \(\Re\) sehingga \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x + h)(g(x) \:-\: g(x + h))}{(k^2 \:-\: 1)h}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{1 + k}\)
dan \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(x)(f(x) \:-\: f(x + h))}{(k^2 \:-\: 1)h}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{1 \:-\: k}\) untuk \(k > 1\),
maka…
(1) \((fg)'(0) = 2\)
(2) \((fg)'(c) = 2(c^2 \:-\: 1)\)
(3) \((fg)'(k) = 2(1 \:-\: k^2)\)
(4) \((fg)'(1) = 0\)
Jawaban: C
Turunan fungsi \(f(x)\)
$$\bbox[5px]{\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x + h) \:-\: f(x)}{h}}$$
Langkah 1: Menyederhanakan persamaan pertama
\(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(x + h)(g(x+h) \:-\: g(x))}{(k^2 \:-\: 1)h}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{1 + k}\)
\(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(x + h)\cdot g'(x)}{\cancel{(k+1)}(k \:-\: 1)}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{\cancel{1 + k}}\)
\(-f(x)\cdot g'(x)= (x^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\(f(x)\cdot g'(x) = -(x^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
Langkah 2: Menyederhanakan persamaan kedua
\(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{g(x)(f(x) \:-\: f(x + h))}{(k^2 \:-\: 1)h}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{1 \:-\: k}\)
\(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-g(x)\cdot f'(x)}{(k + 1)\cancelto{-1}{(k \:-\: 1)}}=\dfrac{x^2 \:-\: 1}{\cancel{1 \:-\: k}}\)
\(f'(x)\cdot g(x) = (x^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1)\)
Langkah 3: Membuktikan setiap pernyataan
\((fg)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\)
\((fg)'(x) = (x^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1) \:-\: (x^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
Pernyataan 1
\((fg)'(0) = (0^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1) \:-\: (0^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(0) = -k \:-\: 1 \:-\: (-k + 1)\)
\((fg)'(0) = -2\)
Pernyataan pertama salah
Pernyataan 2
\((fg)'(c) = (c^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1) \:-\: (c^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(c) = kc^2 + c^2 \:-\: k \:-\: 1 \:-\: (kc^2 \:-\: c^2 – k + 1)\)
\((fg)'(c) = kc^2 + c^2 \:-\: k \:-\: 1 \:-\: kc^2 + c^2 + k \:-\: 1\)
\((fg)'(c) =2c^2 \:-\: 2\)
Pernyataan kedua benar
Pernyataan 3
\((fg)'(k) = (k^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1) \:-\: (k^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(k) = (k + 1)(k \:-\: 1)(k + 1) \:-\: (k + 1)(k \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(k) = (k + 1)(k \:-\: 1)(k + 1 \:-\: (k \:-\: 1))\)
\((fg)'(k) = (k + 1)(k \:-\: 1)(2)\)
\((fg)'(k) = 2(k^2 \:-\: 1)\)
Pernyataan ketiga salah
Pernyataan 4
\((fg)'(1) = (1^2 \:-\: 1)\cdot (k + 1) \:-\: (1^2 \:-\: 1)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(1) = (0)\cdot (k + 1) \:-\: (0)(k \:-\: 1)\)
\((fg)'(1) = 0\)
Pernyataan kedua benar
Soal 15
Jika jangkauan antarkuartil dari data berurutan
\(x \:-\: 1, 2x \:-\: 1, 2x, 3x, 5x \:-\: 3,\)
\(4x + 2, 6x + 3\)
adalah 11, maka…
(1) mediannya adalah 10
(2) rata-ratanya adalah 13
(3) kuartil ketiganya adalah 17
(4) jangkauannya adalah 24
Dari data terurut \(x \:-\: 1, 2x \:-\: 1, 2x, 3x, 5x \:-\: 3, 4x + 2, 6x + 3\) diperoleh:
- Nilai tengah/median/kuartil kedua \((\text{Q}_2) = 3x\)
- Kuartil pertama \((\text{Q}_1) = 2x \:-\: 1\)
- Kuartil ketiga \((\text{Q}_3) = 4x + 2\)
Jangkauan antar kuartil = \(\text{Q}_3 \:-\: \text{Q}_1\)
\(11 = 4x + 2 \:-\: (2x \:-\: 1)\)
\(11 = 2x + 3\)
\(8 = 2x\)
\(x = 4\)
Jadi data terurutnya adalah: 3, 7, 8, 12, 17, 18, 27
Dari data di atas:
(1) Median = 12
(2) Rata-rata = \(\dfrac{3 + 7 + 8 + 12 + 17 + 18 + 27}{7} = 13,14\)
(3) Kuartil ketiga = 18
(4) Jangkauan = data terbesar − data terkecil = \(27 \:-\: 3 = 24\)
Kesimpulan:
(1) Pernyataan 1 salah
(2) Pernyataan 2 salah
(3) Pernyataan 3 salah
(4) Pernyataan 4 benar
