Jawaban: A

Misal \(\sqrt[3]{x} = p\)

\(p = \dfrac{2}{1 + p}\)

\(p + p^2 = 2\)
\(p^2 + p – 2 = 0\)
\((p + 2)(p – 1) = 0\)
\(p = -2 \rightarrow \sqrt[3]{x} = -2 \rightarrow x_1 = -8\)

\(p = 1 \rightarrow \sqrt[3]{x} = 1\rightarrow x_2 = 1\)

Hasil perkalian semua solusi bilangan realnya adalah \(x_1 \times x_2 = -8 \times 1 = -8\)

Jawaban: C

\(^7\log(^3\log(^2\log x)) = 0\)

\(^7\log(^3\log(^2\log x)) = ^7\log 1\)

\(^3\log(^2\log x) = 1\)

\(^3\log(^2\log x) = ^3\log 3\)

\(^2\log x = 3\)

\(x = 2^3\)

\(x = 8\)

Nilai \(2x + ^4\log x^2 = 2(8) + ^4\log 8^2\)

\(= 16 + ^4\log 4^3\)

\(= 16 + 3\)

\(= 19\)

Jawaban: E

Persamaan kuadrat memiliki akar yang saling berkebalikan maka \(x_1\cdot x_2 = \cancel{x_1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{x_1}}\) dengan \(x_1 < 0 \text{ dan } x_2 < 0\)

\(x_1\cdot x_2 = 1\)

\(\dfrac{c}{a} = 1\)

\(q = 1\)

Jumlah akar persamaan kuadrat:

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = p\)

\(x_1 + \dfrac{1}{x_1} = p\)

Agar \(p  –  q\) maksimum, maka \(p\) harus maksimum,

\(p’ = 0\)

\(1 \:-\: \dfrac{1}{x^2_1} = 0\)

\(x^2_1 \:-\: 1 = 0\)

\((x_1 + 1)(x_1 \:-\: 1) = 0\)

\(x_1 = -1 \:\:\:\:\color{cyan}\text{memenuhi karena }x_1 < 0\)

\(x_1 = 1 \:\:\:\:\color{pink}\text{tidak memenuhi}\)

\(p = x_1 + \dfrac{1}{x_1}\)

\(p = -1 + \dfrac{1}{-1}\)

\(p = -2\)

Jadi nilai maksimum \(p – q = -2 – 1 = – 3\)

Jawaban: E

Kedua persamaan di atas merupakan persamaan garis, agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi maka kedua garis tersebut harus sejajar (tidak berpotongan), sehingga \(m_1 = m_2\)

Ubah persamaan di atas menjadi bentuk umum persamaan garis \(y = mx + c\) dengan \(m = \text{ gradien}\)

Garis pertama:

\(a^2x\:-\: 3y=1\)

\(-3y = 1\:-\: a^2x\)

\(y = \dfrac{1\:-\: a^2x}{-3}\)

\(y = \dfrac{a^2x}{3} \:-\: \dfrac{1}{3}\)

\(m_1 = \dfrac{a^2}{3}\)

Garis kedua:

\(\dfrac{4}{3}(a + \dfrac{3}{2})x + (\dfrac{1}{a} + 1)y=6\)

\((\dfrac{1}{a} + 1)y = – \dfrac{4}{3}(a + \dfrac{3}{2})x +6\)

\((\dfrac{1+a}{a})y = (-\dfrac{4}{3}a \:-\: 2)x + 6\)

\(y = (\dfrac{-\frac{4}{3}a \:-\: 2}{\frac{1+a}{a}})x + \dfrac{6}{\frac{1+a}{a}}\)

\(y = (\dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a})x + \dfrac{6a}{1+a}\)

\(m_2 = \dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a}\)

Kedua garis saling sejajar, maka \(m_1 = m_2\)

\(\dfrac{a^2}{3} = \dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a}\)

\(a^3 + a^2 = -4a^2 \:-\: 6a\)

\(a^3 + 5a^2 + 6a = 0\)

\(a(a^2 + 5a + 6) = 0\)

\(a(a + 3)(a + 2) = 0\)

\(a = 0\:\:\:\color{pink} \text{ tidak memenuhi}\)
\(a_1 = -3\)
\(a_2 = -2\)

\(\lbrace a \in \Re;  a = -2 \text{ dan } a = -3 \rbrace\)

Jawaban: A

Langkah 1: Syarat terdefinisi bentuk akar

\(x^2 \:-\: 4 \geq 0\)

\((x + 2)(x \:-\: 2) \geq 0\)

\(\color{pink} x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2\dotso\dotso (1)\)

Langkah 2: Syarat tambahan

Karena \(\sqrt{x^2 \:-\: 4}\) terdefinisi untuk \(x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2\) maka nilainya akan positif atau sama dengan nol, sehingga \(3 \:-\: x\) juga harus positif atau sama dengan nol

\(3 \:-\: x \geq 0\)

\(-x \geq – 3\)

\(\color{yellow} x \leq 3 \dotso\dotso (2)\)

Langkah 3: Kuadratkan kedua ruas 

\(x^2 – 4 \leq (3 \:-\: x)^2\)

\(\cancel{x^2} \:-\: 4 \leq 9\:-\: 6x + \cancel{x^2}\)

\(6x \leq 13\)

\(\color{cyan}x \leq \dfrac{13}{6}\dotso\dotso (3)\)

Himpunan penyelesaiannya adalah irisan solusi (1), (2), dan (3)

\(\lbrace a \in \Re;  x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \rbrace\)

Jawaban: C

Jawaban: E

Kalikan kedua ruas dengan matriks \(\color{cyan}A\)

\( \color{white}A\cdot \color{cyan} A \color{white}= A^{-1}\cdot \color{cyan}A\)

\( \color{white}A^{-1}\cdot \color{cyan}A \color{white}= I\)

\(\begin{bmatrix}a & -3 \\1 & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & -3 \\1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}a^2 – 3 & -3a \:-\: 3d \\a+d & -3+d^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(a + d = 0 \rightarrow a = -d\)

\(a^2 \:-\: 3 = 1 \rightarrow a = \pm 2\)

Untuk \(a = 2\) maka \(d = -2\), sehingga \(|a – d| = |2 \:-\: (-2)| = 4\)

Jawaban: C

Titik pada daerah \(R\) yang berada di atas garis \(y = \dfrac{3}{2}x – 5\) adalah titik-titik yang berada di daerah trapezium \(\text{AECD}\)

\(\text{Luas AECD} = \dfrac{(\text{AE + DC})}{2} \cdot \text{AD}\)

\(\text{Luas AECD} = \dfrac{(1 + 5)}{2} \cdot 6 = 18\)

\(\text{Luas ABCD} = \text{AB}\cdot \text{BC} = 5 \times 6 = 30\)

Jadi, peluang akan terpilih titik yang berada di atas garis \(y = \dfrac{3}{2}x\:-\: 5\) dari daerah \(R\) adalah:

\(\text{P(A)} = \dfrac{n(\text{A})}{n(\text{S})}\)

\(\text{P(A)} = \dfrac{\text{luas AECD}}{\text{luas ABCD}} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\)

Jawaban: E

Misalkan \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

\(f'(x) = 2ax + b\)

Gradien garis singgung adalah turunan pertama kurva di titik \(x = 1\)

\(m_{gs} = f'(-1) = -2a + b = -1\dotso\dotso (1)\)

\(f'(1) = 3\)

\(f'(1) = 2a + b = 3\)

\(2a + b = 3\dotso\dotso (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga didapatkan nilai \(a = 1\) dan \(b = 1\)

Titik singgungnya \((-1, 2)\) dilalui oleh \(f(x) = x^2 + x + c\) sehingga:
\(2 = (-1)^2 + (-1) + c\)

\(2 = 1 \:-\: 1 + c\)

\(c = 2\)

\(\text{Sehingga} f(x) = x^2 + x + 2\)

\(f(4) = 4^2 + 4 + 2 = 22\)

Jawaban: A

Supaya ada 2 bola hitam diantara 2 bola merah yang berdekatan maka bola merah harus diapit oleh bola hitam (H M H). Jumlah ikatan (H M H) yang dapat dibuat sebanyak 3 ikatan, sehingga ada 6 object yang akan disusun secara melingkar.

• Banyak cara menyusun 6 object secara melingkar = \((6 – 1)!\)
• Banyak cara memilih 6 bola hitam dari 9 bola hitam yang ada untuk mengapit bola merah kemudian menyusunnya: \(^9\text{C}_6\cdot 6!\)

Jadi banyaknya cara ada:

\((6 – 1)! \cdot ^9\text{C}_6\cdot 6!\)

\(5!\cdot \dfrac{9!}{(9 – 6)! \cancel{6!}}\cdot \cancel{6!}\)

\(5!\cdot \dfrac{9!}{3!}\)

\(\cancelto{20}{120}\cdot \dfrac{9\times 8! }{\cancel{6}}\)

\(180\times 8!\)

Jawaban: C

Luas PMNQ = luas segitiga ABC − luas segitiga PBQ − luas segitiga APM − luas segitiga NQC

Luas PMNQ = \(\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 – \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 4 – \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{4}{3} – \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4\)

Luas PMNQ = \(7\frac{1}{3}\)

Jawaban: D

\((g \circ h)(3) = g(h(3))\)

\(g(\dfrac{4(3) \:-\: 3}{-3 + a})\)

\(g(\dfrac{9}{-3 + a})\)

\(\dfrac{-a(\frac{9}{-3 + a}) – 3}{-(\frac{9}{-3 + a})\:-\: 4}\)

\(\dfrac{\frac{-9a\:-\: 3(-3 + a)}{-3 + a}}{\frac{-9 \:-\: 4(-3 + a)}{-3 + a}}\)

\(\dfrac{-9a + 9 \:-\: 3a}{-9 + 12\:-\: 4a}\)

\(\dfrac{-12a + 9}{-4a + 3}\)

\(\dfrac{-3\cancel{(4a\:-\: 3)}}{-\cancel{(4a\:-\: 3)}}\)

\(3\)

\(f(x + 1) = \dfrac{2x \:-\: 7}{x + 1}\)

\(\text{Misal } p = x + 1 \rightarrow x = p – 1\)

\(f(p) = \dfrac{2(p \:-\: 1) \:-\: 7}{p \:-\: 1 + 1}\)

\(f(p) = \dfrac{2p \:-\: 9}{p}\)

\(f(x) = \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

Membuktikan pernyataan 1

\(f(-1) = \dfrac{2(-1)\:-\: 9}{-1} = 11\)

Pernyataan 1 benar

Membuktikan pernyataan 2

\(f(x) = \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

\(y= \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

\(xy = 2x\:-\: 9\)

\(xy \:-\: 2x = -9\)

\(x(y \:-\: 2) = -9\)

\(x = \dfrac{-9}{y – 2}\)

\(f^{-1}(y) = \dfrac{-9}{y \:-\: 2}\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{-9}{x\:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-1) = \dfrac{-9}{-1 \:-\: 2} = 3\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\((f \circ f)(x) = f(f(x))\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{2(\frac{2x\:-\: 9}{x}) \:-\: 9}{\frac{2x\:-\: 9}{x}}\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{\frac{4x \:-\: 18 \:-\: 9x}{x}}{\frac{2x \:-\: 9}{x}}\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{-5x\:-\: 18}{2x \:-\: 9}\)

$$\bbox[5px]{f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1}(x) = \dfrac{dx  \:-\:  b}{-cx + a}}$$

\((f \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{-9x + 18}{-2x \:-\: 5}\)

\((f \circ f)^{-1}(-1) = \dfrac{-9(-1) + 18}{-2(-1) \:-\: 5}\)

\((f \circ f)^{-1}(-1) = \dfrac{27}{-3} = -9\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(f^{-1}(x) = \dfrac{-9}{x \:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-2) = \dfrac{-9}{-2 \:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-2) = \dfrac{9}{4}\)

\(\dfrac{1}{f^{-1}(x)} = \dfrac{1}{\frac{9}{4}} = \dfrac{4}{9}\)

Pernyataan 4 benar

Membuktikan pernyataan 1

\(f\) terdefinisi di setiap \(x \in \Re\) karena nilainya selalu positif

Pernyataan 1 salah

Membuktikan pernyataan 2

Turunan pertama fungsi \(f\):

\(f'(x) = \frac{2}{3}(x – 1)^{-\frac{1}{3}}\)

\(f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}\)

\(f'(2) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2-1}} = \dfrac{2}{3}\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\(\text{Titik singgung (2, 1)}\)

\(\text{m}_{gs} = f'(2) = \frac{2}{3}\)

Persamaan garis singgung di titik \((x_1, y_1)\) dan bergradien \(m\):

\(\bbox[yellow, 5pt] {y \:-\:  y_1 = m(x\:-\: x_1)}\)

\(y \:-\: 1 = \frac{2}{3}(x \:-\: 2)\)

\(y \:-\: 1 = \frac{2}{3}x \:-\: \frac{4}{3}\)

\(y = \frac{2}{3}x \:-\: \frac{1}{3}\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x\:-\: 1}}\)

\(\text{pilih  } x = 1\)

\(f'(1) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{1\:-\: 1}}\:\:\:\color{pink} \text{tidak terdefinisi}\)

Sehingga \(f\) tidak selalu mempunyai turunan di setiap titik

Pernyataan 4 salah

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah \(a, b, c\) dengan \(a < b < c\).

Median = \(b\) = 14

Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil

\(\dfrac{a + 14 + c}{3} = a + 10\)

\(a + 14 + c = 3a + 30\)

\(-2a + c = 16\dotso\dotso(1)\)

Rata-rata tiga bilangan adalah 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar

\(\dfrac{a + 14 + c}{3} = c – 8\)

\(a + 14 + c = 3c – 24\)

\(a – 2c = -38\dotso\dotso(2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh nilai \(a = 2 \text{ dan } c = 20\)

Membuktikan pernyataan 1

Jangkauan = data terbesar − data terkecil

Jangkauan = 20 − 2 = 18

Pernyataan 1 benar

Membuktikan pernyataan 2

\(\text{Rata-rata } = \dfrac{2 + 14 + 20}{3} = 12\)

\(\text{Variansi sampel} = \dfrac{(2\:-\: 12)^2 + (14 \:-\: 12)^2 + (20 \:-\: 12)^2}{3 \:-\: 1} = 84\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\(a + b + c = 2 + 14 + 20 = 36\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(\text{Simpangan rata-rata } = \dfrac{|2 \:-\: 12| + |14 \:-\: 12| + |20 \:-\: 12|}{3} = \frac{20}{3}\)

Pernyataan 4 benar