Logo Benang Lurus
Transformasi Geometri SMA

Ringkasan Materi Transformasi Geometri

Kurikulum & Timeline Belajar 0 dari 1 Modul Selesai
Transformasi 1
Translasi (Pergeseran Sejajar)

Translasi menggeser setiap titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu menggunakan vektor translasi \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\), di mana \(a\) merupakan pergeseran mendatar (sumbu \(X\)) dan \(b\) pergeseran vertikal (sumbu \(Y\)).

Model Geometri
Representasi Vektor Translasi Bidang Kartesius

Rendered by QuickLaTeX.com

Translasi merupakan transformasi afinitas murni dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk matriks ordo \(2 \times 2\) tunggal tanpa koordinat homogen, melainkan melalui penjumlahan matriks kolom: \(\mathbf{p’} = \mathbf{p} + \mathbf{t}\).

Translasi pada Titik:

Titik \(P(x, y)\) digeser sejauh \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\):

\(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x’ = x + a \\ y’ = y + b \end{cases}\)
Translasi pada Garis & Kurva:

Substitusi \(x = x’ \:-\: a\) dan \(y = y’ \:-\: b\) ke fungsi awal:

\(y = f(x) \xrightarrow{\;T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\;} (y \:-\: b) = f(x \:-\: a)\)
Transformasi 2
Refleksi (Pencerminan Bidang Datar)

Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang dengan sifat seperti cermin datar: jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin, serta garis hubung tegak lurus dengan sumbu cermin.

Model Geometri
Pencerminan terhadap Garis \(y = x\)

Rendered by QuickLaTeX.com

Pada pencerminan terhadap sumbu linear berderajat satu melalui pusat koordinat, nilai determinan matriks transformasinya selalu berharga \(\det(M) = -1\), yang mengindikasikan orientasi bidang terbalik (berlawanan arah putaran).

Tabel Lengkap Persamaan & Matriks Operator Refleksi:

Objek / Garis Cermin Koordinat Bayangan \((x’, y’)\) Bentuk Matriks Transformasi \((M)\)
Sumbu \(X\) (\(y = 0\)) \((x, \;-y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Sumbu \(Y\) (\(x = 0\)) \((-x, \;y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Titik Asal \(O(0, 0)\) \((-x, \;-y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Garis \(y = x\) \((y, \;x)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Garis \(y = -x\) \((-y, \;-x)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Garis \(x = h\) \((2h \:-\: x, \;y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2h \\ 0 \end{pmatrix}\)
Garis \(y = k\) \((x, \;2k \:-\: y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k \end{pmatrix}\)
Titik \(P(a, b)\) \((2a \:-\: x, \;2b \:-\: y)\) \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \end{pmatrix}\)
Garis \(y = mx + c\)
(di mana \(m = \tan\theta\))		 \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \:-\: c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \:-\: c \end{pmatrix}\)
Transformasi 3
Rotasi (Perputaran Sudut terhadap Titik Pusat)

Rotasi memutar posisi titik/bangun dengan sudut putar \(\theta\) dan pusat acuan tertentu. Konvensi sudut baku: bertanda positif (\(+\theta\)) jika berlawanan arah putaran jarum jam, dan bertanda negatif (\(-\theta\)) jika searah jarum jam.

Model Geometri
Rotasi Titik Sebesar \(+\theta\) terhadap Titik Asal \(O(0, 0)\)

Rendered by QuickLaTeX.com

Matriks Operator Rotasi Baku: \(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\). Nilai determinan rotasi murni selalu bernilai identitas: \(\det(R_\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\), membuktikan jarak dan luas bidang tidak berubah setelah diputar.

1. Pusat Titik Asal \(O(0, 0)\):

\(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
2. Pusat Sembarang Titik \(P(a, b)\):

\(\begin{pmatrix} x’ \:-\: a \\ y’ \:-\: b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \:-\: a \\ y \:-\: b \end{pmatrix}\)

Trik Matriks Sudut Khusus terhadap Pusat \(O(0,0)\):

Rotasi \(+90^\circ\) / \(-270^\circ\)
\(R_{90^\circ} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Rotasi \(180^\circ\) / \(-180^\circ\)
\(R_{180^\circ} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Rotasi \(+270^\circ\) / \(-90^\circ\)
\(R_{270^\circ} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
Transformasi 4
Dilatasi (Perkalian Skala / Perbesaran & Pengecilan)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek geometri tanpa mengubah bentuk dasarnya. Dilatasi ditentukan oleh Pusat Dilatasi dan Faktor Skala (\(k\)).

Model Geometri
Dilatasi Segitiga terhadap Pusat \(O(0, 0)\) dengan Faktor Skala \(k = 2\)

Rendered by QuickLaTeX.com

Karakteristik Nilai Faktor Skala \(k\):

  • \(k > 1\): Objek diperbesar dan posisinya sepihak dengan objek asal terhadap pusat.
  • \(0 < k < 1\): Objek diperkecil dan posisinya sepihak terhadap pusat.
  • \(k < -1\): Objek diperbesar, terbalik arah, dan terletak berseberangan terhadap pusat.
  • \(-1 < k < 0\): Objek diperkecil, terbalik arah, dan terletak berseberangan terhadap pusat.
  • Efek Luas Bangun: Luas bidang bayangan berubah sebanding dengan faktor kuadratnya: \(L’ = k^2 \times L_{\text{awal}}\).

Pusat Titik Asal \([O(0, 0), \; k]\):

\((x, y) \xrightarrow{[O, k]} (kx, \; ky)\)

\(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
Pusat Sembarang Titik \([P(a, b), \; k]\):

Titik diselaraskan terhadap titik pusat \(P(a, b)\):

\(\begin{pmatrix} x’ \:-\: a \\ y’ \:-\: b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \:-\: a \\ y \:-\: b \end{pmatrix}\)
Transformasi 5
Gusuran (Shear) & Regangan (Stretch)

Dalam materi Matematika Tingkat Lanjut, terdapat dua bentuk transformasi linier khusus berbasis matriks yang mengubah proporsi bentuk geometri: Gusuran (Shear) dan Regangan (Stretch).

Model 5A
Gusuran (Shear / Geseran Siku)

Gusuran menggeser setiap titik pada bangun datar dengan arah sejajar sumbu invarian (garis sumbu yang diam), di mana jarak pergeserannya sebanding lurus dengan jarak tegak lurus titik ke sumbu tersebut.

Rendered by QuickLaTeX.com

Keistimewaan Sifat Gusuran: Meskipun bentuk sudut siku-siku berubah menjadi jajar genjang miring, luas bangun datar sama sekali tidak berubah (\(L_2 = L_1\)). Hal ini terbukti secara analitis dari nilai determinan matriksnya:
\[\det(M) = (1)(1) \:-\: (0) = 1 \implies L’ = |\det(M)| \times L_{\text{awal}} = 1 \times L_{\text{awal}} = L_{\text{awal}}\]
Rumus & Matriks Operator Gusuran (Shear):

  • Gusuran Searah Sumbu \(X\) (Sumbu \(X\) tetap/invarian, faktor skala \(k\)):
    \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x’ = x + ky \\ y’ = y \end{cases}\)
  • Gusuran Searah Sumbu \(Y\) (Sumbu \(Y\) tetap/invarian, faktor skala \(k\)):
    \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x’ = x \\ y’ = y + kx \end{cases}\)

Model 5B
Regangan (Stretch / Pembesaran Searah Sumbu)

Regangan memperbesar atau memperkecil ukuran bangun hanya pada satu arah sumbu koordinat tertentu dengan faktor skala \(k\), sementara ukuran pada sumbu koordinat yang tegak lurus dengannya tetap tidak berubah.

Rendered by QuickLaTeX.com

Efek Luas Bangun pada Regangan: Berbeda dengan dilatasi yang mengubah kedua dimensi sehingga luas berubah sebesar kuadrat faktornya (\(k^2\)), regangan hanya mengubah salah satu dimensi panjang. Oleh karena itu, luas bayangan bertambah sebanding dengan nilai faktor skala \(|k|\):
\[\det(M) = (k)(1) \:-\: (0) = k \implies L’ = |k| \times L_{\text{awal}}\]
Rumus & Matriks Operator Regangan (*Stretch*):

  • Regangan Searah Sumbu \(X\) (Sumbu \(Y\) tetap, faktor perbesaran \(k\)):
    \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x’ = kx \\ y’ = y \end{cases}\)
  • Regangan Searah Sumbu \(Y\) (Sumbu \(X\) tetap, faktor perbesaran \(k\)):
    \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x’ = x \\ y’ = ky \end{cases}\)
Rangkuman Inti
Komposisi Transformasi, Invers Kurva & Transformasi Luas

Aturan Aljabar
Urutan Operasi Komposisi Matriks

Jika transformasi \(T_1\) diwakili matriks \(M_1\) dan dilanjutkan dengan transformasi \(T_2\) yang diwakili matriks \(M_2\), maka matriks tunggal komposisinya ditulis secara terbalik:

\((T_2 \circ T_1) = M_{\text{total}} = M_2 \times M_1\)
Peringatan Aljabar: Perkalian matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif (\(M_2 \times M_1 \neq M_1 \times M_2\)), sehingga urutan pengerjaan transformasi tidak boleh tertukar.

Komposisi Refleksi Garis Khusus:

  • 2 Garis Sejajar Sumbu Vertikal: Pencerminan terhadap \(x = h_1\) dilanjutkan \(x = h_2\) menghasilkan translasi horizontal:
    \[T = \begin{pmatrix} 2(h_2 \:-\: h_1) \\ 0 \end{pmatrix}\]
  • 2 Garis yang Saling Tegak Lurus: Pencerminan terhadap garis \(x = h\) lalu \(y = k\) setara dengan rotasi \(180^\circ\) berpusat di titik potong \((h, k)\).
  • 2 Garis Berpotongan Bersudut \(\alpha\): Pencerminan berurutan menghasilkan rotasi sebesar \(2\alpha\) berpusat di titik potong kedua garis.
Transformasi Luas Bangun Datar:

Jika suatu bangun datar dengan luas awal \(L\) ditransformasikan oleh matriks \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), maka luas bayangannya \(L’\) adalah:

\(L’ = |\det(M)| \times L_{\text{awal}}\)


di mana \(|\det(M)| = |ad \:-\: bc|\) adalah harga mutlak dari determinan matriks transformasi tersebut.

Strategi Ujian
Prosedur Standar Menentukan Bayangan Kurva oleh Matriks:
  1. Susun hubungan persamaan matriks koordinat: \(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).
  2. Gunakan invers matriks untuk menyatakan koordinat lama dalam koordinat baru:
    \[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \frac{1}{ad \:-\: bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}\]
  3. Substitusikan nilai \(x\) dan \(y\) tersebut ke dalam persamaan garis/kurva asli.
  4. Hilangkan tanda aksen (\(‘\)) pada hasil akhir untuk memperoleh persamaan bayangan kurva.
Finish
0
Konsultasi Belajar
Ruang diskusi terbuka untuk mendampingi pemahaman belajar Anda.
×
Robot Asisten Belajar
Online • BenangLurus AI
Halo! Ada soal, tugas, atau konsep materi pelajaran yang ingin kamu tanyakan hari ini? Kamu juga bisa menyisipkan foto/dokumen soal, lho!