Kategori: Aplikasi Integral

Langkah 1: Menentukan titik potong kedua grafik

Substitusikan \(y = x\) ke dalam persamaan \( x + y^2 = 6\)

\(x + x^2 = 6\)
\(x^2 + x – 6 = 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)

\((x + 3)(x – 2) = 0\)

\(x_1 = -3  \rightarrow y_1 = -3\)

\(x_2 = 2 \rightarrow y_1 = 2\)

Jadi titik potong kedua grafik berada di koordinat \((-3, -3)\) dan \((2, 2)\)

 

Langkah 2: Menentukan luas

persamaan \(y=x\) kita ubah menjadi bentuk \( x= y\) sehingga \(g(y) = y\)

Persamaan kurva \( x + y^2 = 6\) kita ubah menjadi bentuk \( x = 6 – y^2\) sehingga \(f(y) = 6 – y^2\)

Untuk menghitung luas kita gunakan batas integral terhadap sumbu y dari \(a\) sampai \(b\) untuk fungsi sebelah kanan \(f(y) = 6 – y^2\) dikurangi fungsi sebelah kiri \(g(y) = y\) pada daerah yang diarsir.

\(\text{Luas daerah yang diarsir} = \int_{a}^{b} (f(y) – g(y)) \text{ dy}\)

\(\int_{-3}^{2} (6 \:-\: y^2\:-\:y) \text{ dy}\)

\(\int_{-3}^{2} (-y^2 \:-\: y + 6) \text{ dy}\)

\(\left.(-\frac{1}{3}y^3\: -\: \frac{1}{2}y^2 + 6y)\right |_{-3}^2\)

\((-\frac{1}{3}(2)^3 \:-\: \frac{1}{2}(2)^2 + 6(2)) \:-\: (-\frac{1}{3}(-3)^3 – \frac{1}{2}(-3)^2 + 6(-3))\)

\((-\frac{8}{3} – 2 + 12) \:-\: (9 \:-\: \frac{9}{2} -18) \)

\(-\frac{8}{3} + \frac{9}{2} + 19\)

\(\frac{125}{6}\text{ satuan luas}\)

Jadi luas daerah yang diarsir adalah \(\frac{125}{6}\text{ satuan luas}\)

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengurangi luas persegi panjang dengan luas daerah yang dibatasi parabola dengan sumbu \(x\)

karena fungsi parabola belum diketahui maka kita cari persamaan fungsinya terlebih dahulu

Parabola memotong sumbu \(x\) di titik (−3, 0) dan (3, 0) sehingga \(x_1 = -3 \text{ dan } x_2 = 3\)

Persamaan parabola:

\(y = a(x \:-\: x_1)(x \:-\: x_2)\)

\(y = a(x +3)(x \:-\: 3)\)

Selanjutnya mencari nilai \(a\) dengan substitusi titik lain yang terletak pada parabola, yaitu (0, 2)

\(2 = a(0 +3)(0 – 3)\)

\(2 = a(-9)\)

\(a = -\frac{2}{9}\)

Jadi persamaan parabolanya adalah \(y = -\frac{2}{9}(x +3)(x\:-\: 3)\) atau \(y = -\frac{2}{9}x^2 + 2\)

 

Luas daerah yang diarsir = \((6 \times 4) \:-\: \int_{-3}^{3}(-\frac{2}{9}x^2 + 2) \text{ dx}\)

Luas daerah yang diarsir = \(24 \:-\: \left.(-\frac{2}{27}x^3 + 2x) \right |_{-3}^{3}\)

Luas daerah yang diarsir = 24 – [4 – (-4)]

Luas daerah yang diarsir = 24 – 8 = 16 satuan luas

Persamaan kurva \(y = x(x+1)(x-2) = x^3-x^2-2x\)

\(\text{Luas daerah}= \text{Luas 1 + Luas 2}\)

\(\int_{-1}^{0} (y_1  \:-\: y_2)\text{ dx} + \int_{0}^{2} (y_2 \:-\: y_1) \text{ dx}\)

\(\int_{-1}^{0} (x^3\:-\:x^2-2x) \:-\: 0\text{ dx} + \int_{0}^{2} 0 \:-\: (x^3-x^2-2x) \text{ dx}\)

\(\left.(\frac{1}{4}x^4\:-\:\frac{1}{3}x^3\:-\:x^2)\right |_{-1}^0 \:-\:\left.(\frac{1}{4}x^4\:-\:\frac{1}{3}x^3\:-\:x^2)\right |_0^2\)

\(0\:-\:(\frac{1}{4}(-1)^4\:-\:\frac{1}{3}(-1)^3\:-\:(-1)^2)\:-\:(\frac{1}{4}(2)^4-\frac{1}{3}(2)^3-(2)^2 – 0)\)

\(-\frac{1}{4}\:-\:\frac{1}{3}+1+\frac{8}{3}\)

\(\frac{-3\:-\:4+12+32}{12}\)

\(\frac{37}{12}\text{ satuan luas}\)

Kedua kurva berpotongan di titik (1, 1) dan (3, 3)

Luas daerah yang diarsir = \(\int_{1}^{3}  (y_1 \:-\: y_2) \text{ dx }\)

\(\int_{1}^{3}  x \:-\: (\frac{1}{2}x^2 \:-\: x + \frac{3}{2}) \text{ dx }\)

\(\int_{1}^{3}  (-\frac{1}{2}x^2 + 2x \:-\:\frac{3}{2}) \text{ dx }\)

\(\left.-\frac{1}{6}x^3 + x^2\:-\: \frac{3}{2}x \right |_1^3\)

\( -\frac{1}{6}(3)^3 + 3^2\:-\: \frac{3}{2}(3) \:-\: (-\frac{1}{6}(1)^3 + (1)^2- \frac{3}{2}(1))\)

\( -\frac{27}{6} + 9 \:-\: \frac{9}{2} \:-\: ( -\frac{1}{6} + 1 \:-\: \frac{3}{2})\)

\( -\frac{27}{6} + 9 \:-\: \frac{9}{2} + \frac{1}{6} \:-\: 1 + \frac{3}{2}\)

\( -\frac{13}{3} + 5\)

\( \frac{2}{3}\)

\(\frac{2}{3}\text{ satuan luas}\)

Kedua fungsi berpotongan di titik (1, 4)

Titik potong kurva \(y_2 = -x^2 + 5\) terhadap sumbu \(x\) didapat jika \(y = 0\)

\(0 = -x^2 + 5\)

\(-x^2 =- 5\)

\(x^2 = 5\)

\(x= \pm \sqrt{5}\)

Titik potong kurva \(y_2\) terhadap sumbu \(x\) berada di \((-\sqrt{5}, 0) \text{ dan } (\sqrt{5}, 0)\)

 

\(\text{Luas daerah}= \text{Luas 1 + Luas 2}\)

\(\int_{0}^{1} y_1  \text{ dx} + \int_{1}^{\sqrt{5}} y_2 \text{ dx}\)

\(\int_{0}^{1} 4x \text{ dx} + \int_{1}^{\sqrt{5}}(-x^2 + 5) \text{ dx}\)

\(\left.\frac{4}{2}x^2\right |_0^1 + \left.(-\frac{1}{3}x^3 + 5x)\right |_1^{\sqrt{5}}\)

\(2 + (-\frac{1}{3}(\sqrt{5})^3 + 5\sqrt{5}) \:-\: (-\frac{1}{3}(1)^3 + 5)\)

\(2 + (-\frac{5}{3}\sqrt{5} + 5\sqrt{5})\:-\: \frac{14}{3}\)

\(2 + \frac{10}{3}\sqrt{5} \:-\: \frac{14}{3}\)

\(\frac{10}{3}\sqrt{5} \:-\: \frac{8}{3}\text{ satuan luas}\)