Soal 1
Himpunan penyelesaian persamaan \(|x\:-\:2|\:-\:|5x| + |2x + 7| = 5\) adalah …
(A) \(\lbrace -\dfrac{2}{3}, 0 \rbrace\)
(B) \(\lbrace -\dfrac{2}{3}, 1 \rbrace\)
(C) \(\lbrace -\dfrac{2}{3}, 5 \rbrace\)
(D) \(\lbrace 0, 1 , 5\rbrace\)
(E) \(\lbrace 0, -\dfrac{2}{3}, 1, 5 \rbrace\)
Jawaban: B
\begin{align}
|x\:-\:2|=
\begin{cases}
x\:-\:2, & \text{if $x \geq 2$} \\[2ex]-(x\:-\:2), & \text{if $x<2$}
\end{cases}
\end{align}
\begin{align}
|5x|=
\begin{cases}
5x, & \text{if $x \geq 0$} \\[2ex]-5x, & \text{if $x<0$}
\end{cases}
\end{align}
\begin{align}
|2x+7|=
\begin{cases}
2x+7, & \text{if $x \geq -\dfrac{7}{2}$} \\[2ex]-(2x+7), & \text{if $x<-\dfrac{7}{2}$}
\end{cases}
\end{align}
| $x<-\dfrac{7}{2}$ |
$-\dfrac{7}{2}\leq x < 0$ |
$0\leq x < 2$ |
$x\geq 2$ |
| \(-(x\:-\:2)\:-\:(-5x) + [-(2x + 7)] = 5\)
\(-x + 2+5x \:-\:2x\:-\:7 = 5\)
\(2x\:-\:5= 5\)
\(2x= 10\)
\(x= 5\)
Karena \(x = 5\) tidak terletak di dalam interval \(x<-\dfrac{7}{2}\) maka \(x = 5\) bukan solusi
|
\(-(x\:-\:2)\:-\:(-5x) + (2x + 7) = 5\)
\(-x + 2 + 5x + 2x + 7 = 5\)
\(6x + 9 = 5\)
\(6x = -4\)
\(x = -\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}\)
Karena \(-\dfrac{2}{3}\) terletak di dalam interval \(-\dfrac{7}{2}\leq x < 0\) maka \(-\dfrac{2}{3}\) merupakan solusi
|
\(-(x\:-\:2)\:-\:(5x) + (2x + 7) = 5\)
\(-x + 2\:-\:5x + 2x + 7 = 5\)
\(-4x + 9 = 5\)
\(-4x = 5\:-\:9\)
\(-4x = -4\)
\(x = 1\)
Karena \(x = 1\) terletak di dalam interval \(0\leq x < 2\) maka \(x = 1\) adalah solusi
|
\((x\:-\:2)\:-\:(5x) + (2x + 7) = 5\)
\(-2x + 5 = 5\)
\(-2x = 0\)
\(x = 0\)
Karena \(x = 0\) tidak terletak di dalam interval \(x\geq 2\) maka \(x = 50\) bukan solusi
|
| \(\lbrace \rbrace\) |
\(\lbrace -\dfrac{2}{3} \rbrace\) |
\(\lbrace 1 \rbrace\) |
\(\lbrace \rbrace\) |
Gabungan semua solusi adalah \(\lbrace -\dfrac{2}{3}, 1 \rbrace\)
Soal 2
Himpunan penyelesaian persamaan \(|x^2\:-\:x + 2| = 4\) adalah …
(A) \(\lbrace -2, 1 \rbrace\)
(B) \(\lbrace -2, 2 \rbrace\)
(C) \(\lbrace -1, 2 \rbrace\)
(D) \(\lbrace 1, 2 \rbrace\)
(E) \(\lbrace 1, 2, 3 \rbrace\)
Jawaban: C
\(|x^2\:-\:x + 2| = 4\)
Karena kedua ruas bernilai positif, maka kuadratkan kedua ruas
\((x^2\:-\:x + 2)^2 = 4^2\)
\((x^2\:-\:x + 2)^2 \:-\: 4^2 = 0\)
\(\color{blue} a^2\:-\:b^2 = (a + b)(a\:-\:b)\)
\((x^2 \:-\:x + 2 + 4)(x^2\:-\:x + 2\:-\: 4) = 0\)
\((x^2 \:-\:x + 6)(x^2\:-\:x \:-\:2) = 0\)
\((x^2 \:-\:x + 6)(x\:-\:2)(x + 1) = 0\)
\(x^2 \:-\:x + 6 = 0\)
Persamaan kuadrat di atas tidak memiliki akar real karena nilai diskriminannya negatif.
\(x\:-\:2 = 0 \rightarrow x_1 = 2\)
\(x + 1 = 0 \rightarrow x_2 = -1\)
Jadi solusi persamaan di atas adalah \(\lbrace -1, 2 \rbrace\)
Soal 3
Himpunan penyelesaian persamaan \(|2x + 5| = -|x\:-\:4| + 11\) adalah …
(A) \(\lbrace -4, 2 \rbrace\)
(B) \(\lbrace -4, 4 \rbrace\)
(C) \(\lbrace -4, 0, 6 \rbrace\)
(D) \(\lbrace 2, 4, 6 \rbrace\)
(E) \(\lbrace 5, 6, 10 \rbrace\)
Jawaban: A
\begin{align}
|2x + 5|=
\begin{cases}
2x + 5, & \text{if $x \geq -\dfrac{5}{2}$} \\[2ex]-(2x + 5), & \text{if $x<-\dfrac{5}{2}$}
\end{cases}
\end{align}
\begin{align}
|x\:-\:4|=
\begin{cases}
x\:-\:4, & \text{if $x \geq 4$} \\[2ex]-(x\:-\:4), & \text{if $x<4$}
\end{cases}
\end{align}
| $x<-\dfrac{5}{2}$ |
$ -\dfrac{5}{2}\leq x < 4$ |
$x \geq 4$ |
|
\(-(2x + 5)= -[-(x\:-\:4)] + 11\)
\(-2x\:-\:5= x \:-\: 4 + 11\)
\(-2x\:-\:5= x + 7\)
\(-2x\:-\:x= x + 7+5\)
\(-3x = 12\)
\(x = -\dfrac{12}{3} = -4\)
Karena \(x = -4\) terletak di dalam interval \(x<-\dfrac{5}{2}\) maka \(x =-4\) adalah solusi
|
\(2x + 5 = -[-(x\:-\:4)] + 11\)
\(2x + 5 = x \:-\: 4 + 11\)
\(2x \:-\: x = 7 \:-\: 5\)
\(x = 2\)
Karena \(x = 2\) terletak di dalam interval \( -\dfrac{5}{2}\leq x < 4\) maka \(x = 2\) adalah solusi
|
\(2x + 5 = -(x\:-\:4) + 11\)
\(2x + 5 = -x + 4 + 11\)
\(2x + 5 = -x + 15\)
\(2x + x = 15 \:-\: 5\)
\(3x = 10\)
\(x = \dfrac{10}{3}\)
Karena \(\dfrac{10}{3}\) tidak terletak di dalam interval \( x \geq 4\) maka \(\dfrac{10}{3}\) bukan solusi
|
| \(\lbrace -4 \rbrace\) |
\(\lbrace 2 \rbrace\) |
\(\lbrace \rbrace\) |
Gabungan dari semua solusi adalah \(\lbrace -4, 2 \rbrace\)