Gambar di atas menunjukkan sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan awal \(\text{v}_0\) pada sudut elevasi sebesar \(\alpha\). Lintasan gerak benda tersebut berbentuk parabola.
Gerak parabola dianalisa dalam arah sumbu x dan sumbu y. Vektor kecepatan awal \(\text{v}_0\), diuraikan menjadi \(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\) dan \(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \sin \alpha\)
Gerak dalam arah sumbu x
Kecepatan dalam arah sumbu x di setiap titik lintasan selalu tetap
Untuk mengukur jarak horizontal dapat menggunakan rumus:
\(\color{blue} \text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)
Gerak dalam arah sumbu y
Kecepatan dalam arah sumbu y di setiap titik lintasan berubah secara teratur
Rumus-rumus yang digunakan:
\(\color{blue} \text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)
\(\color{blue} \text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)
Untuk menghitung kecepatan gerak digunakan rumus resultan vektor,
Besar kecepatan
\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)
Arah kecepatan
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)
Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\), sehingga pada titik tertinggi tersebut benda memiliki kecepatan sebesar \(\text{v}_x\)
Contoh 1
Sebuah bola ditendang kiper ke tengah lapangan dengan kecepatan awal 30 m/s pada sudut elevasi 37°. Jika dianggap nilai percepatan gravitasi di tempat tersebut 10 m/s², maka tentukan:
a. Waktu bola mencapai ketinggian maksimum
b. Ketinggian maksimum yang dicapai bola
c. Jarak terjauh yang dapat dicapai bola
d. Kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk tanah
Pembahasan:
Komponen kecepatan awal:
\(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)
\(\text{v}_{x} = 30 \cdot \cos 37^{\circ}\)
\(\text{v}_{x} = 30 \cdot 0,8 = 24 \text{ m/s}\)
\(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \sin\alpha\)
\(\text{v}_{0y} = 30 \cdot \sin 37^{\circ}\)
\(\text{v}_{0y} = 30 \cdot 0,6 = 18\text{ m/s}\)
a. Menghitung waktu bola mencapai ketinggian maksimum
Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\)
\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)
\(0 = 18 \:-\:10\text{t}\)
\(10\text{t} = 18\)
\(\text{t} = 1,8 \text{ s}\)
b. Menghitung ketinggian maksimum
\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 0 + 18\cdot 1,8\:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot (1,8)^2\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 32,4\:-\: 16,2\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 16,2 \text{ m}\)
c. Menghitung jarak terjauh
Karena bola ditendang dari permukaan tanah dan jatuh kembali ke tanah, maka lintasannya berbentuk parabola simetris.
Lama bola di udara sama dengan 2 kali waktu bola mencapai ketinggian maksimum yaitu sebesar \(2\times 1,8 = 3,6 \text{ s}\)
\(\text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)
\(\text{x} = 24\cdot 3,6\)
\(\text{x} = 86,4 \text{ m}\)
d. Menghitung kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk tanah
Komponen vektor kecepatannya adalah:
\(\text{v}_x = 24 \text{ m/s}\)
\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)
\(\text{v}_y = 18 \:-\:10\cdot 3,6\)
\(\text{v}_y = -18 \text{ m/s}\)
Tanda minus menunjukkan arah kecepatan ke bawah
Besar kecepatan
\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)
\(\text{v} = \sqrt{24^2 + (-18)^2 }\)
\(\text{v} = \sqrt{576 + 324 }\)
\(\text{v} = \sqrt{900 }\)
\(\text{v} = 30 \text{ m/s}\)
Arah kecepatan
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)
\(\tan \alpha = -\dfrac{18}{24}\)
\(\tan \alpha = -\dfrac{3}{4}\)
\(\alpha = -37^{\circ}\)
Contoh 2
Sebuah peluru ditembakkan dari ketinggian 105 meter, dengan kecepatan awal 40 m/s pada sudut elevasi 30°, seperti pada gambar di bawah ini.
Jika dianggap nilai percepatan gravitasi di tempat tersebut adalah 10 m/s², maka tentukan:
a. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru
b. Posisi peluru pada detik ke-3
c. Kecepatan peluru pada detik ke-3
Pembahasan:
Komponen kecepatan awal:
\(\text{v}_{x} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)
\(\text{v}_{x} = 40 \cdot \cos 30^{\circ}\)
\(\text{v}_{x} = 40 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ m/s}\)
\(\text{v}_{0y} = \text{v}_0\cdot \cos \alpha\)
\(\text{v}_{0y} = 40 \cdot \sin 30^{\circ}\)
\(\text{v}_{0y} = 40 \cdot 0,5 = 20\text{ m/s}\)
a. Menghitung ketinggian maksimum
Pada titik tertinggi \(\text{v}_y = 0\)
\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)
\(0 = 20 \:-\:10\text{t}\)
\(10\text{t} = 20\)
\(\text{t} = 2 \text{ s}\)
\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 105 + 20\cdot 2\:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot (2)^2\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 145\:-\:20\)
\(\text{y}_{\text{max}} = 125 \text{ m}\)
b. Menentukan posisi peluru pada detik ke-3
Ketinggian peluru:
\(\text{y} = \text{y}_0 + \text{v}_{0y}\cdot \text{t} \:-\: \frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{t}^2\)
\(\text{y} = 105 + 20\cdot 3 \:-\: \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 3^2\)
\(\text{y} = 165 \:-\: 45\)
\(\text{y} = 120 \text{ m}\)
Jarak mendatar:
\(\text{x} = \text{v}_x\cdot \text{t}\)
\(\text{x} = 20\sqrt{3}\cdot 3\)
\(\text{x} = 60\sqrt{3} \text{ m}\)
Jadi posisi peluru pada detik ke-3 berada pada koordinat \((60\sqrt{3}, 120)\) meter
c. Menentukan kecepatan peluru pada detik ke-3
Komponen vektor kecepatannya adalah:
\(\text{v}_x = 20\sqrt{3} \text{ m/s}\)
\(\text{v}_y = \text{v}_{0y} \:-\:\text{g}\cdot \text{t}\)
\(\text{v}_y = 20 \:-\:10\cdot 3\)
\(\text{v}_y = -10 \text{ m/s}\)
Tanda minus menunjukkan arah kecepatan ke bawah
Besar kecepatan
\(\text{v} = \sqrt{(\text{v}_x)^2 + (\text{v}_y)^2 }\)
\(\text{v} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + (-10)^2 }\)
\(\text{v} = \sqrt{1200 + 100 }\)
\(\text{v} = \sqrt{1300 }\)
\(\text{v} = 10\sqrt{13} \text{ m/s}\)
Arah kecepatan
\(\tan \alpha = \dfrac{\text{v}_y}{\text{v}_x}\)
\(\tan \alpha = -\dfrac{10}{20\sqrt{3}}\)
\(\tan \alpha = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \times \color{red} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\tan \alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
\(\alpha = \tan^{-1} {\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)}\)
