Kategori: Matematika Dasar

Jawaban: D

Langkah 1: Sederhanakan bentuk \(5^{10x} = 1600\)

\(5^{10x} = 1600\)

\((5^{5x})^2 = 40^2\)

\(5^{5x}= 40\)

Langkah 2: Menghitung \(\dfrac{(5^{x-1})^5}{8^{(-\sqrt{y})}}\)

\(\dfrac{(5^{x \:-\: 1})^5}{8^{(-\sqrt{y})}}\)

\(\dfrac{5^{5x \:-\: 5}}{2^{-3\sqrt{y}}}\)

\(\dfrac{5^{5x}\cdot 5^{-5}}{(2^{\sqrt{y}})^{-3}}\:\:\:\:\:\color{blue}\text{ganti } 5^{5x} = 40, \text{ dan } 2^{\sqrt{y}} = 25\)

\(\dfrac{40\cdot \frac{1}{5^5}}{25^{-3}}\)

\(\dfrac{\frac{40}{5^5}}{\frac{1}{(5^2)^3}}\)

\(\dfrac{40}{\cancel{5^5}}\cdot \dfrac{\cancelto{5}{5^6}}{1}\)

\(40 \times 5\)

\(200\)

Jawaban: E

\(^4\log x \:-\: ^x\log 16 = \dfrac{7}{6} – ^x\log 8\)

\(\color{blue}\text{ingat  } ^a\log b = \dfrac{1}{^b\log a}\)

\(^{2^2}\log x^1 \:-\: \dfrac{1}{^{2^4}\log x^1}= \dfrac{7}{6} \:-\: \dfrac{1}{^{2^3}\log x^1}\)

\(\color{blue}\text{ingat  } ^{a^m}\log b^n = \frac{n}{m} ^a\log b\)

\(\color {red}\text{Misal } ^2\log x = p\)

\(\frac{1}{2}p \:-\: \frac{4}{p} = \frac{7}{6} – \frac{3}{p}\)

\(\color{blue}\text{ kalikan kedua ruas dengan } 6p\)

\(3p^2 \:-\: 24 = 7p \:-\: 18\)

\(3p^2 \:-\: 7p \:-\: 6 = 0\)

\((3p + 2)(p \:-\: 3) = 0\)

\(3p + 2 = 0 \rightarrow p = -\frac{2}{3}\)

\(^2\log x = -\frac{2}{3}\)

\(x_1 = 2^{-\frac{2}{3}}\)

\(p – 3 = 0 \rightarrow p = 3\)

\(^2\log x = 3\)

\(x_2 = 2^3\)

\(x_1\cdot x_2 = 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^3\)

\(2^{-\frac{2}{3} + 3} = 2^{\frac{7}{3}}\)

\(4\sqrt[3] {2}\)

Jawaban: C

\((f(x))^2 \:-\: 3(f(x)) + 2 = 0\)

\((f(x) \:-\: 2)(f(x) \:-\: 1) = 0\)

\(f(x) – 2 = 0\)

\(2x – 1 – 2 = 0\)

\(2x – 3 = 0\)

\(2x = 3\)

\(x_2 = \frac{3}{2}\)

\(f(x) \:-\: 1 = 0\)

\(2x \:-\: 1 \:-\: 1 = 0\)

\(2x \:-\: 2 = 0\)

\(2x = 2\)

\(x_1 = 1\)

Cara menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1\) dan \(x_2\) adalah:

$$\bbox[yellow, 5px] {(x \:-\: x_1)(x \:-\: x_2) = 0}$$

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

• \(x_1 + 2 = 1 + 2 = 3 \text{ dan }\)
• \(x_2 \:-\: 2 = \frac{3}{2} \:-\: 2 = -\frac{1}{2}\)

adalah:

\((x \:-\: 3)(x – (-\frac{1}{2}))=0 \)

\((x \:-\: 3)(x +\frac{1}{2})=0 \)

\(x^2 + \frac{1}{2}x \:-\: 3x \:-\: \frac{3}{2} = 0\)

\(\color{blue}\text{kalikan kedua ruas dengan 2}\)

\(2x^2 + x \:-\: 6x \:-\: 3 = 0\)

\(2x^2 \:-\: 5x \:-\: 3 = 0\)

Jawaban: \(- \dfrac{26}{3}\)

Langkah 1: Menyederhanakan \(3^{2x + y \:-\: z} = (\dfrac{1}{27})^{(x \:-\: y + 2z +2)}\)

\(3^{2x + y \:-\: z} = 3^{-3(x \:-\: y + 2z +2)}\)

\(3^{2x + y \:-\: z} = 3^{-3x + 3y \:-\: 6z \:-\: 6}\)

\(2x + y \:-\: z = -3x + 3y \:-\: 6z \:-\: 6\)

\(5x \:-\: 2y + 5z = – 6\dotso\dotso(1)\)

Langkah 2: Menyederhanakan \(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{1 + ^2\log 5}\)

\(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{^2\log 2 + ^2\log 5}\)

\(\log (x \:-\: y + z) = \dfrac{1}{^2\log 10}\)

\(\log (x \:-\: y + z) = \log 2\)

\(x \:-\: y + z = 2\dotso\dotso(2)\)

Langkah 3: Menyederhanakan \(\left \vert \begin{array}{c}x &\frac{1}{2}\\2y & 2\end{array}\right \vert  = 2\)

\(2x \:-\: \frac{1}{2}\cdot 2y = 2\)

\(2x \:-\: y = 2 \dotso\dotso(3)\)

Langkah 4: Eliminasi persamaan (1), (2), dan (3)

\(5x \:-\: 2y + 5z = – 6\dotso\dotso(1)\)

\(x \:-\: y + z = 2\dotso\dotso(2)\)

\(2x \:-\: y = 2 \dotso\dotso(3)\)

Diperoleh:

\(x = -\dfrac{5}{3}\)

\(y = -\dfrac{16}{3}\)

\(z = – \dfrac{5}{3}\)

\(x + y + z = -\dfrac{5}{3} -\dfrac{16}{3} \:-\: \dfrac{5}{3} = – \dfrac{26}{3}\)

Jawaban: 6

\(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}} \leq 0\)

Untuk \(x^2 + x + 1\) tidak difaktorkan karena definit positif (nilainya selalu positif)

Syarat definit positif:

• \(a > 0\)
• \(b^2 \:-\: 4ac < 0\)

Syarat bentuk akar:

\(5 \:-\: x \geq 0\)

\(-x \geq -5\)

\(x \leq 5\)

\(x + 1 > 0\)

\(x > -1\)

Gambar semua pembuat nol di garis bilangan dan cek tanda setiap interval

Cara cek tanda:
Pada interval 1 sampai 5 ambil angka 4 kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)

\(\dfrac{(3(4) \:-\: 1)(4 \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: 4}}{(+++)\sqrt{4 + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya positif}\)

Jadi pada interval 1 sampai 5 bernilai positif

Pada interval \(\frac{1}{3}\) sampai \(1\) ambil angka \(\frac{1}{2}\) kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)

\(\dfrac{(3(\frac{1}{2}) \:-\: 1)(\frac{1}{2} \:-\: 1)\sqrt{5 – \frac{1}{2}}}{(+++)\sqrt{\frac{1}{2} + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya negatif}\)

Jadi pada interval \(\frac{1}{3}\) sampai \(1\) bernilai negatif

Pada interval \(-1\) sampai \(\frac{1}{3}\) ambil angka \(0\) kemudian disubstitusikan ke \(\dfrac{(3x \:-\: 1)(x \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: x}}{(x^2 + x + 1)\sqrt{x + 1}}\)

\(\dfrac{(3(0) \:-\: 1)(0 \:-\: 1)\sqrt{5 \:-\: 0}}{(+++)\sqrt{0 + 1}}\:\:\:\:\:\text{Hasilnya positif}\)

Jadi pada interval \(-1\) sampai \(\frac{1}{3}\) bernilai positif

Karena pertidaksamaan kurang dari atau sama dengan nol, maka ambil daerah yang bernilai negatif

Solusi:

\((\dfrac{1}{3} \leq x \leq 1) \text{ atau } x = 5\)

Bilangan bulat pada solusi di atas adalah 1 dan 5, jadi penjumlahannya adalah 1 + 5 = 6

Jawaban: D

\(\text{det}(A + 2tB)^{-1} = \dfrac{1}{10}\)

\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 & 1 \\-3 & 2 \end{bmatrix}+2t\begin{bmatrix}-1 & 1 \\-2 & 1 \end{bmatrix})^{-1} = \dfrac{1}{10}\)

\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 & 1 \\-3 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2t & 2t \\-4t & 2t\end{bmatrix})^{-1} = \dfrac{1}{10}\)

\(\text{det}(\begin{bmatrix}1 \:-\: 2t & 1+2t \\-3 \:-\: 4t &2+2t\end{bmatrix})^{-1}= \dfrac{1}{10}\)

\(\dfrac{1}{\text{det}\begin{bmatrix}1 \:-\: 2t & 1+2t \\-3 \:-\: 4t &2+2t\end{bmatrix}}= \dfrac{1}{10}\)

\(\color{blue} \text{det } A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det } A}\)

\(\dfrac{1}{(1 \:-\: 2t)(2 + 2t) \:-\: (1+2t)(-3 \:-\: 4t)} = \dfrac{1}{10}\)

\((1 \:-\: 2t)(2 + 2t) – (1+2t)(-3 \:-\: 4t) = 10\)

\(2 + 2t \:-\: 4t \:-\: 4t^2 – (-3 \:-\: 4t \:-\: 6t \:-\: 8t^2)\)

\(= 10\)

\(2 + 2t \:-\: 4t \:-\: 4t^2 + 3 + 4t + 6t + 8t^2 = 10\)

\(4t^2 + 8t \:-\: 5 = 0\)

\((2t – 1)(2t + 5) = 0\)

\(t_1 = \dfrac{1}{2}\)

\(t_2 = -\dfrac{5}{2}\)

\(t^2_1 + t^2_2 = (\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{5}{2})^2 \)

\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{25}{4} = \dfrac{26}{4}\)

\(\dfrac{13}{2}\)

Jawaban: D

Langkah 1: Menentukan sudut-sudut segitiga dan melengkapi perbandingan sisi-sisi segitiga

(1)  Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi sehingga setiap sudut besarnya 60°

(2)  Segitiga ECD adalah segitiga sama kaki, panjang CD = CE, perbandingan CD : CE = 1 : 1

(3)  Segitiga AFE adalah segitiga siku-siku, perbandingan AE : AF : FE = \(1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

(4)  Gunakan aturan cosinus pada segitiga ECD untuk menghitung panjang ED

\(\text{ED}^2 = \text{CD}^2 + \text{CE}^2 \:-\: 2\cdot\text{CD}\cdot\text{CE}\cdot\cos 120^{\circ}\)

\(\text{ED}^2 = 1^2 + 1^2 \:-\: 2(1)(1)(\frac{1}{2})\)

\(\text{ED} = \sqrt{3}\)

Langkah 2: Menghitung ukuran sisi sebenarnya

\(\text{Luas segitiga BDF} = \frac{1}{2}\cdot \text{DF}\cdot \text{BF}\)

\(\frac{81}{\cancel{2}}\cancel{\sqrt{3}}= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \frac{3}{2}\cancel{\sqrt{3}}x\cdot \frac{3}{2}x\)

\(81 = \frac{9}{4}x^2\)

\(81 = \frac{9}{4}x^2\)

\(81 \times \frac{4}{9} = x^2\)

\(x^2 = 36\)

\(x = \sqrt{36} = 6\)

Ukuran sisi sebenarnya adalah ukuran perbandingan sisi dikali dengan 6, sehingga didapatkan ukuran:

• ED = \(\sqrt{3}\times 6 = 6\sqrt{3}\)
• AG = FD = \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\times 6 = 9\sqrt{3}\)
• GD = AF = \(\frac{1}{2}\times 6 = 3\)

Langkah 3: Menghitung luas trapesium AGDE

\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{\text{ED + AG}}{2}\times \text{GD}\)

\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{6\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{2}\times 3\)

\(\text{Luas trapesium AGDE} = \dfrac{45\sqrt{3}}{2}\)

Jawaban: A

\(a + b + c = 18\)

\(a + c = 18 – b\dotso\dotso (1)\)

\(a^2 \:-\: bc, b^2 \:-\: ac, c^2 \:-\: ab\) adalah barisan aritmetika

\(\text{U}_2 \:-\: \text{U}_1 = \text{U}_3 \:-\: \text{U}_2\)

\(b^2 \:-\: ac \:-\: (a^2 \:-\: bc) = c^2 \:-\: ab \:-\: (b^2 \:-\: ac)\)

\(b^2 \:-\: ac \:-\: a^2 + bc = c^2 \:-\: ab \:-\: b^2 + ac\)

\(2b^2 + ab + bc = a^2 + 2ac + c^2\)

\(2b^2 + b(a + c) = (a + c)^2\)

\(\color{blue}\text{substitusikan }a + c = 18 – b \)

\(2b^2 + b(18 \:-\: b) = (18 \:-\: b)^2\)

\(2b^2 + 18b \:-\: b^2 = 324 \:-\: 36b + b^2\)

\(\cancel{b^2} + 54b  = 324 + \cancel{b^2}\)

\(b = \dfrac{324}{54}\)

\(b = 6\)

\(a + c = 18 \:-\: b\)

\(a + c = 18 \:-\: 6 = 12\)

\(\dfrac{a + c}{b} = \dfrac{12}{6} = 2\)

Jawaban: C

\((p^2 \:-\: 1)x + y = 0\dotso\dotso(\times\: \color{red}  -2)\)

\(-2x + (p^2 \:-\: 4)y = 0\dotso\dotso(\times\: \color{red} p^2 \:-\: 1)\)

\(-2(p^2 \:-\: 1)x \:-\: 2y = 0\)

\(-2(p^2 \:-\: 1)x + (p^2 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)y = 0\)

Kurangkan kedua persamaan di atas, sehingga diperoleh:

\(-2y \:-\: (p^2 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)y = 0\)

\(-2\cancel{y} = (p^4 \:-\: 4)(p^2 \:-\: 1)\cancel{y}\)

\(-2 = p^4 \:-\: p^2 \:-\: 4p^2 + 4\)

\(0 = p^4 \:-\: 5p^2 + 6\)

\(0 = (p^2 \:-\: 3)(p^2 \:-\: 2)\)

\(p^2 = 3\:\:\:\:\:\color{blue}\text{nilai terbesar}\)

\(p^2 = 2\)

Jawaban: B

Dari 10 orang yang pergi ke tempat wisata ada 3 orang yang menjadi pemilik mobil dan sekaligus menjadi sopir. Tersisa 7 orang yang akan ditempatkan untuk mengisi 3 mobil yang tersedia, dengan minimal ada satu penumpang selain pengemudi.

Kemungkinan 1 (komposisi 3-3-1)

Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga hanya diisi 1 orang penumpang

Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua hanya diisi 1 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang

Mobil pertama hanya diisi 1 orang penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang

\(\text{Banyak cara} = 3\times ^7\text{C}_3 \times ^4\text{C}_3 \times ^1\text{C}_1 = 420\)

Kemungkinan 2 (komposisi 3-2-2)

Mobil pertama diisi oleh 3 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 2 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 2 orang penumpang

Mobil pertama diisi oleh 2 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 2 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 3 orang penumpang

Mobil pertama diisi oleh 2 penumpang, selanjutnya mobil kedua diisi oleh 3 orang penumpang, dan mobil yang ketiga diisi oleh 2 orang penumpang

\(\text{Banyak cara} = 3\times ^7\text{C}_3 \times ^4\text{C}_2 \times ^2\text{C}_2 = 630\)

Banyaknya cara keseluruhan = \(420 + 630 = 1050\)

Jawaban: C

\((g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x \:-\: 1\)

\(\color{blue}(g^{-1} \circ f^{-1})(x) =(f \circ g)^{-1}(x)\)

\((f \circ g)^{-1}(x) = 3x \:-\: 1\)

\(\color{blue}[(f \circ g)^{-1}]^{-1}(x) = (f \circ g)(x)\)

\(y = 3x \:-\: 1\)

\(-3x = -1 \:-\: y\)

\(x = \dfrac{1 + y}{3}\)

\((f \circ g)(y) = \dfrac{1 + y}{3}\)

\((f \circ g)(x) = \dfrac{1 + x}{3}\)

\(f(g(x)) = \dfrac{1 + x}{3}\)

\(\dfrac{g(x) \:-\: 2}{g(x) + 1} = \dfrac{1 + x}{3}\)

\(3g(x) \:-\: 6 = (g(x) + 1)(1 + x)\)

\(3g(x) \:-\: 6 = g(x) + xg(x) + 1 + x\)

\(2g(x) \:-\: xg(x) = x + 7\)

\((2 \:-\: x)g(x) = x + 7\)

\(g(x) = \dfrac{x + 7}{2 \:-\: x}\)

\(g(a \:-\: 2) = \dfrac{a – 2 + 7}{2 \:-\: (a \:-\: 2)}\)

\(g(a \:-\: 2) = \dfrac{a + 5}{4 \:-\: a} =\dfrac{-(a + 5)}{a \:-\: 4} \)

Jawaban: E

Dari 6 wanita (W) dan 4 pria (P) yang melamar pekerjaan akan dipilih 4 orang untuk menjadi karyawan baru. Paling banyak 2 wanita yang akan diterima di perusahaan tersebut.

Banyak cara memilih r object dari n object yang tersedia

$$\bbox[yellow, 5px]{^nC_r = \dfrac{n!}{(n – r)!r!}}$$

Kemungkinan 1: tidak ada wanita yang terpilih (P, P, P, P)

\(\text{Peluang} = \dfrac{^4C_4}{^{10}C_4} = \dfrac{1}{210}\)

Kemungkinan 2: terpilih 1 orang wanita (W, P, P, P)

\(\text{Peluang} = \dfrac{^6C_1\cdot^4C_3}{^{10}C_4} = \dfrac{24}{210}\)

Kemungkinan 3: terpilih 2 orang wanita (W, W, P, P)

\(\text{Peluang} = \dfrac{^6C_2\cdot^4C_2}{^{10}C_4} = \dfrac{90}{210}\)

\(\text{Peluang keseluruhan} = \dfrac{1}{210} + \dfrac{24}{210} + \dfrac{90}{210}\)

\(\dfrac{115}{210} = \dfrac{23}{42}\)

\((g \circ f)(x \:-\: 1) = 4x^2 \:-\: 14 x + 11\)

\(\text{Misal } x \:-\: 1 = a \rightarrow x = 1 + a\)

\((g \circ f)(a) = 4(1 + a)^2 \:-\: 14(1 + a) + 11\)

\(4(1 + 2a + a^2) – 14 \:-\: 14a + 11\)

\( 4 + 8a + 4a^2 \:-\: 14 \:-\: 14a + 11\)

\( 4a^2 \:-\: 6a +1\)

\((g \circ f)(x) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)

\(g(f(x)) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)

\(g(2x^2 \:-\: 3x + 1) = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)

\(a(2x^2 \:-\: 3x + 1) + b = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)

\(2ax^2 \:-\: 3ax + a + b = 4x^2 \:-\: 6x + 1\)

\(\text{Menyamakan koefisien}\)

\(2a = 4 \rightarrow \color{blue} a = 2\)

\(a + b = 1 \rightarrow \color{blue} b = -1\)

\(g(x) = 2x \:-\: 1\)

\((f \circ g)(1) = f(g(1))\)

\(f(g(1))= f(2(1) \:-\: 1)\)

\(f(g(1))=f(1)\)

\(f(g(1))=2(1)^2 \:-\: 3(1) + 1 \)

\(\color{red} f(g(1) = 0\)

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{2x^2 \:-\: 3x + 1}{2x \:-\: 1}\)

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\cancel{(2x \:-\: 1)}(x \:-\: 1)}{\cancel{2x \:-\: 1}}\)

\(\color{red} \dfrac{f(x)}{g(x)} = x \:-\: 1\)

Dari perhitungan di atas, disimpulkan:

• Pernyataan pertama benar
• Pernyataan kedua benar
• Pernyataan ketiga salah
• Pernyataan keempat salah

Jawaban: C

Dari data terurut \(x \:-\: 1, 2x \:-\: 1, 2x, 3x, 5x \:-\: 3, 4x + 2, 6x + 3\) diperoleh:

• Nilai tengah/median/kuartil kedua \((\text{Q}_2) = 3x\)
• Kuartil pertama \((\text{Q}_1) = 2x \:-\: 1\)
• Kuartil ketiga \((\text{Q}_3) = 4x + 2\)

Jangkauan antar kuartil = \(\text{Q}_3 \:-\: \text{Q}_1\)

\(11 = 4x + 2 \:-\: (2x \:-\: 1)\)

\(11 = 2x + 3\)

\(8 = 2x\)

\(x = 4\)

Jadi data terurutnya adalah: 3, 7, 8, 12, 17, 18, 27

Dari data di atas:

(1)  Median = 12

(2)  Rata-rata = \(\dfrac{3 + 7 + 8 + 12 + 17 + 18 + 27}{7} = 13,14\)

(3)  Kuartil ketiga = 18

(4) Jangkauan = data terbesar − data terkecil = \(27 \:-\: 3 = 24\)

Kesimpulan:

(1) Pernyataan 1 salah

(2) Pernyataan 2 salah

(3) Pernyataan 3 salah

(4) Pernyataan 4 benar

Jawaban: A

Misal \(\sqrt[3]{x} = p\)

\(p = \dfrac{2}{1 + p}\)

\(p + p^2 = 2\)
\(p^2 + p – 2 = 0\)
\((p + 2)(p – 1) = 0\)
\(p = -2 \rightarrow \sqrt[3]{x} = -2 \rightarrow x_1 = -8\)

\(p = 1 \rightarrow \sqrt[3]{x} = 1\rightarrow x_2 = 1\)

Hasil perkalian semua solusi bilangan realnya adalah \(x_1 \times x_2 = -8 \times 1 = -8\)

Jawaban: C

\(^7\log(^3\log(^2\log x)) = 0\)

\(^7\log(^3\log(^2\log x)) = ^7\log 1\)

\(^3\log(^2\log x) = 1\)

\(^3\log(^2\log x) = ^3\log 3\)

\(^2\log x = 3\)

\(x = 2^3\)

\(x = 8\)

Nilai \(2x + ^4\log x^2 = 2(8) + ^4\log 8^2\)

\(= 16 + ^4\log 4^3\)

\(= 16 + 3\)

\(= 19\)

Jawaban: E

Persamaan kuadrat memiliki akar yang saling berkebalikan maka \(x_1\cdot x_2 = \cancel{x_1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{x_1}}\) dengan \(x_1 < 0 \text{ dan } x_2 < 0\)

\(x_1\cdot x_2 = 1\)

\(\dfrac{c}{a} = 1\)

\(q = 1\)

Jumlah akar persamaan kuadrat:

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = p\)

\(x_1 + \dfrac{1}{x_1} = p\)

Agar \(p  –  q\) maksimum, maka \(p\) harus maksimum,

\(p’ = 0\)

\(1 \:-\: \dfrac{1}{x^2_1} = 0\)

\(x^2_1 \:-\: 1 = 0\)

\((x_1 + 1)(x_1 \:-\: 1) = 0\)

\(x_1 = -1 \:\:\:\:\color{blue}\text{memenuhi karena }x_1 < 0\)

\(x_1 = 1 \:\:\:\:\color{red}\text{tidak memenuhi}\)

\(p = x_1 + \dfrac{1}{x_1}\)

\(p = -1 + \dfrac{1}{-1}\)

\(p = -2\)

Jadi nilai maksimum \(p – q = -2 – 1 = – 3\)

Jawaban: E

Kedua persamaan di atas merupakan persamaan garis, agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi maka kedua garis tersebut harus sejajar (tidak berpotongan), sehingga \(m_1 = m_2\)

Ubah persamaan di atas menjadi bentuk umum persamaan garis \(y = mx + c\) dengan \(m = \text{ gradien}\)

Garis pertama:

\(a^2x\:-\: 3y=1\)

\(-3y = 1\:-\: a^2x\)

\(y = \dfrac{1\:-\: a^2x}{-3}\)

\(y = \dfrac{a^2x}{3} \:-\: \dfrac{1}{3}\)

\(m_1 = \dfrac{a^2}{3}\)

Garis kedua:

\(\dfrac{4}{3}(a + \dfrac{3}{2})x + (\dfrac{1}{a} + 1)y=6\)

\((\dfrac{1}{a} + 1)y = – \dfrac{4}{3}(a + \dfrac{3}{2})x +6\)

\((\dfrac{1+a}{a})y = (-\dfrac{4}{3}a \:-\: 2)x + 6\)

\(y = (\dfrac{-\frac{4}{3}a \:-\: 2}{\frac{1+a}{a}})x + \dfrac{6}{\frac{1+a}{a}}\)

\(y = (\dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a})x + \dfrac{6a}{1+a}\)

\(m_2 = \dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a}\)

Kedua garis saling sejajar, maka \(m_1 = m_2\)

\(\dfrac{a^2}{3} = \dfrac{-\frac{4}{3}a^2 \:-\: 2a}{1+a}\)

\(a^3 + a^2 = -4a^2 \:-\: 6a\)

\(a^3 + 5a^2 + 6a = 0\)

\(a(a^2 + 5a + 6) = 0\)

\(a(a + 3)(a + 2) = 0\)

\(a = 0\:\:\:\color{red} \text{ tidak memenuhi}\)
\(a_1 = -3\)
\(a_2 = -2\)

\(\lbrace a \in \Re;  a = -2 \text{ dan } a = -3 \rbrace\)

Jawaban: A

Langkah 1: Syarat terdefinisi bentuk akar

\(x^2 \:-\: 4 \geq 0\)

\((x + 2)(x \:-\: 2) \geq 0\)

\(\color{red} x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2\dotso\dotso (1)\)

Langkah 2: Syarat tambahan

Karena \(\sqrt{x^2 \:-\: 4}\) terdefinisi untuk \(x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2\) maka nilainya akan positif atau sama dengan nol, sehingga \(3 \:-\: x\) juga harus positif atau sama dengan nol

\(3 \:-\: x \geq 0\)

\(-x \geq – 3\)

\(\color{purple} x \leq 3 \dotso\dotso (2)\)

Langkah 3: Kuadratkan kedua ruas 

\(x^2 – 4 \leq (3 \:-\: x)^2\)

\(\cancel{x^2} \:-\: 4 \leq 9\:-\: 6x + \cancel{x^2}\)

\(6x \leq 13\)

\(\color{blue}x \leq \dfrac{13}{6}\dotso\dotso (3)\)

Himpunan penyelesaiannya adalah irisan solusi (1), (2), dan (3)

\(\lbrace a \in \Re;  x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \rbrace\)

Jawaban: C

Jawaban: E

Kalikan kedua ruas dengan matriks \(\color{blue}A\)

\( \color{black}A\cdot \color{blue} A \color{black}= A^{-1}\cdot \color{blue}A\)

\( \color{black}A^{-1}\cdot \color{blue}A \color{black}= I\)

\(\begin{bmatrix}a & -3 \\1 & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & -3 \\1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}a^2 – 3 & -3a \:-\: 3d \\a+d & -3+d^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(a + d = 0 \rightarrow a = -d\)

\(a^2 \:-\: 3 = 1 \rightarrow a = \pm 2\)

Untuk \(a = 2\) maka \(d = -2\), sehingga \(|a – d| = |2 \:-\: (-2)| = 4\)

Jawaban: C

Titik pada daerah \(R\) yang berada di atas garis \(y = \dfrac{3}{2}x – 5\) adalah titik-titik yang berada di daerah trapezium \(\text{AECD}\)

\(\text{Luas AECD} = \dfrac{(\text{AE + DC})}{2} \cdot \text{AD}\)

\(\text{Luas AECD} = \dfrac{(1 + 5)}{2} \cdot 6 = 18\)

\(\text{Luas ABCD} = \text{AB}\cdot \text{BC} = 5 \times 6 = 30\)

Jadi, peluang akan terpilih titik yang berada di atas garis \(y = \dfrac{3}{2}x\:-\: 5\) dari daerah \(R\) adalah:

\(\text{P(A)} = \dfrac{n(\text{A})}{n(\text{S})}\)

\(\text{P(A)} = \dfrac{\text{luas AECD}}{\text{luas ABCD}} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\)

Jawaban: E

Misalkan \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

\(f'(x) = 2ax + b\)

Gradien garis singgung adalah turunan pertama kurva di titik \(x = 1\)

\(m_{gs} = f'(-1) = -2a + b = -1\dotso\dotso (1)\)

\(f'(1) = 3\)

\(f'(1) = 2a + b = 3\)

\(2a + b = 3\dotso\dotso (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga didapatkan nilai \(a = 1\) dan \(b = 1\)

Titik singgungnya \((-1, 2)\) dilalui oleh \(f(x) = x^2 + x + c\) sehingga:
\(2 = (-1)^2 + (-1) + c\)

\(2 = 1 \:-\: 1 + c\)

\(c = 2\)

\(\text{Sehingga} f(x) = x^2 + x + 2\)

\(f(4) = 4^2 + 4 + 2 = 22\)

Jawaban: A

Supaya ada 2 bola hitam diantara 2 bola merah yang berdekatan maka bola merah harus diapit oleh bola hitam (H M H). Jumlah ikatan (H M H) yang dapat dibuat sebanyak 3 ikatan, sehingga ada 6 object yang akan disusun secara melingkar.

• Banyak cara menyusun 6 object secara melingkar = \((6 – 1)!\)
• Banyak cara memilih 6 bola hitam dari 9 bola hitam yang ada untuk mengapit bola merah kemudian menyusunnya: \(^9\text{C}_6\cdot 6!\)

Jadi banyaknya cara ada:

\((6 – 1)! \cdot ^9\text{C}_6\cdot 6!\)

\(5!\cdot \dfrac{9!}{(9 – 6)! \cancel{6!}}\cdot \cancel{6!}\)

\(5!\cdot \dfrac{9!}{3!}\)

\(\cancelto{20}{120}\cdot \dfrac{9\times 8! }{\cancel{6}}\)

\(180\times 8!\)

Jawaban: C

Luas PMNQ = luas segitiga ABC − luas segitiga PBQ − luas segitiga APM − luas segitiga NQC

Luas PMNQ = \(\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 – \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 4 – \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{4}{3} – \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4\)

Luas PMNQ = \(7\frac{1}{3}\)

Jawaban: D

\((g \circ h)(3) = g(h(3))\)

\(g(\dfrac{4(3) \:-\: 3}{-3 + a})\)

\(g(\dfrac{9}{-3 + a})\)

\(\dfrac{-a(\frac{9}{-3 + a}) – 3}{-(\frac{9}{-3 + a})\:-\: 4}\)

\(\dfrac{\frac{-9a\:-\: 3(-3 + a)}{-3 + a}}{\frac{-9 \:-\: 4(-3 + a)}{-3 + a}}\)

\(\dfrac{-9a + 9 \:-\: 3a}{-9 + 12\:-\: 4a}\)

\(\dfrac{-12a + 9}{-4a + 3}\)

\(\dfrac{-3\cancel{(4a\:-\: 3)}}{-\cancel{(4a\:-\: 3)}}\)

\(3\)

\(f(x + 1) = \dfrac{2x \:-\: 7}{x + 1}\)

\(\text{Misal } p = x + 1 \rightarrow x = p – 1\)

\(f(p) = \dfrac{2(p \:-\: 1) \:-\: 7}{p \:-\: 1 + 1}\)

\(f(p) = \dfrac{2p \:-\: 9}{p}\)

\(f(x) = \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

Membuktikan pernyataan 1

\(f(-1) = \dfrac{2(-1)\:-\: 9}{-1} = 11\)

Pernyataan 1 benar

Membuktikan pernyataan 2

\(f(x) = \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

\(y= \dfrac{2x \:-\: 9}{x}\)

\(xy = 2x\:-\: 9\)

\(xy \:-\: 2x = -9\)

\(x(y \:-\: 2) = -9\)

\(x = \dfrac{-9}{y – 2}\)

\(f^{-1}(y) = \dfrac{-9}{y \:-\: 2}\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{-9}{x\:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-1) = \dfrac{-9}{-1 \:-\: 2} = 3\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\((f \circ f)(x) = f(f(x))\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{2(\frac{2x\:-\: 9}{x}) \:-\: 9}{\frac{2x\:-\: 9}{x}}\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{\frac{4x \:-\: 18 \:-\: 9x}{x}}{\frac{2x \:-\: 9}{x}}\)

\((f \circ f)(x) = \dfrac{-5x\:-\: 18}{2x \:-\: 9}\)

$$\bbox[yellow, 5px]{f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1}(x) = \dfrac{dx  \:-\:  b}{-cx + a}}$$

\((f \circ f)^{-1}(x) = \dfrac{-9x + 18}{-2x \:-\: 5}\)

\((f \circ f)^{-1}(-1) = \dfrac{-9(-1) + 18}{-2(-1) \:-\: 5}\)

\((f \circ f)^{-1}(-1) = \dfrac{27}{-3} = -9\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(f^{-1}(x) = \dfrac{-9}{x \:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-2) = \dfrac{-9}{-2 \:-\: 2}\)

\(f^{-1}(-2) = \dfrac{9}{4}\)

\(\dfrac{1}{f^{-1}(x)} = \dfrac{1}{\frac{9}{4}} = \dfrac{4}{9}\)

Pernyataan 4 benar

Membuktikan pernyataan 1

\(f\) terdefinisi di setiap \(x \in \Re\) karena nilainya selalu positif

Pernyataan 1 salah

Membuktikan pernyataan 2

Turunan pertama fungsi \(f\):

\(f'(x) = \frac{2}{3}(x – 1)^{-\frac{1}{3}}\)

\(f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}\)

\(f'(2) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{2-1}} = \dfrac{2}{3}\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\(\text{Titik singgung (2, 1)}\)

\(\text{m}_{gs} = f'(2) = \frac{2}{3}\)

Persamaan garis singgung di titik \((x_1, y_1)\) dan bergradien \(m\):

\(\bbox[yellow, 5pt] {y \:-\:  y_1 = m(x\:-\: x_1)}\)

\(y \:-\: 1 = \frac{2}{3}(x \:-\: 2)\)

\(y \:-\: 1 = \frac{2}{3}x \:-\: \frac{4}{3}\)

\(y = \frac{2}{3}x \:-\: \frac{1}{3}\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x\:-\: 1}}\)

\(\text{pilih  } x = 1\)

\(f'(1) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{1\:-\: 1}}\:\:\:\color{red} \text{tidak terdefinisi}\)

Sehingga \(f\) tidak selalu mempunyai turunan di setiap titik

Pernyataan 4 salah

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah \(a, b, c\) dengan \(a < b < c\).

Median = \(b\) = 14

Rata-rata tiga bilangan adalah 10 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil

\(\dfrac{a + 14 + c}{3} = a + 10\)

\(a + 14 + c = 3a + 30\)

\(-2a + c = 16\dotso\dotso(1)\)

Rata-rata tiga bilangan adalah 8 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar

\(\dfrac{a + 14 + c}{3} = c – 8\)

\(a + 14 + c = 3c – 24\)

\(a – 2c = -38\dotso\dotso(2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh nilai \(a = 2 \text{ dan } c = 20\)

Membuktikan pernyataan 1

Jangkauan = data terbesar − data terkecil

Jangkauan = 20 − 2 = 18

Pernyataan 1 benar

Membuktikan pernyataan 2

\(\text{Rata-rata } = \dfrac{2 + 14 + 20}{3} = 12\)

\(\text{Variansi sampel} = \dfrac{(2\:-\: 12)^2 + (14 \:-\: 12)^2 + (20 \:-\: 12)^2}{3 \:-\: 1} = 84\)

Pernyataan 2 benar

Membuktikan pernyataan 3

\(a + b + c = 2 + 14 + 20 = 36\)

Pernyataan 3 benar

Membuktikan pernyataan 4

\(\text{Simpangan rata-rata } = \dfrac{|2 \:-\: 12| + |14 \:-\: 12| + |20 \:-\: 12|}{3} = \frac{20}{3}\)

Pernyataan 4 benar

Jawaban: D

Jawaban: B

Jawaban: B

Jawaban: C

Jawaban: D