Kategori: Matematika IPA

Matematika IPA 2019
Soal 1

Diketahui persamaan lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) berturut-turut adalah \(x^2 + y^2 = 25\) dan \((x-a)^2 + y^2 = r^2\). Lingkaran \(\text{C}_1\) dan \(\text{C}_2\) bersinggungan di titik \((5, 0)\). Jika garis \(l\) adalah garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran \(\text{C}_2\) di titik \(\text{ (m, n)}\), nilai \(\text{ m + n} = \dotso\)

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Mencari persamaan garis singgung lingkaran \(\text{C}_1\) di titik \((3, 4)\)

Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) adalah \(x_1\cdot x + y_1\cdot y = 25\). Kemudian substitusikan titik \((3, 4)\) nya.

Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) adalah \(3x +4y = 25\).

Persamaan garis singgung di \(\text{C}_1\) juga dapat dicari dengan cara lain, yaitu menggunakan rumus persamaan garis yang melalui dua buah titik yaitu titik (3, 4) dan titik (m, n)

\(\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

\(\dfrac{y – 4}{n – 4} = \dfrac{x – 3}{m – 3}\)

\((y – 4)(m – 3) = (n – 4)(x – 3)\)

\(my – 3y – 4m + 12 = nx – 3n – 4x + 12\)

\((m – 3)y – 4m = (n – 4)x – 3n\)

\((m – 3)y – (n – 4)x = 4m – 3n\dotso\dotso (1)\)

\(3x +4y = 25\dotso\dotso (2)\)

Samakan koefisien \(x\) dan \(y\) pada kedua persamaan di atas

\(m – 3 = 4\)

\(m = 7\)

\(-(n – 4) = 3\)

\(-n + 4 = 3\)

\(-n = 3 – 4\)

\(n = 1\)

Jadi nilai \(m + n = 7 + 1 = 8\)

Soal 2

Jika grafik fungsi kuadrat \(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\) selalu berada di bawah sumbu \(x\) untuk \(a < m\), nilai \(3m = …\)

A. \(4 + \sqrt{2}\)

B. \(3 + \sqrt{2}\)

C. \(3 – \sqrt{2}\)

D. \(4 – \sqrt{2}\)

E. \(-3-\sqrt{2}\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: D

Karena grafik fungsi selalu berada di bawah sumbu \(x\) maka fungsi tersebut definit negatif artinya fungsinya selalu bernilai negatif.

Syarat definit negatif:
1. a < 0
2. b² − 4ac < 0, (nilai diskriminan negatif)
\(f(x) = (a – \sqrt{2})x^2 + (a- \sqrt{2})x + a – 1\)
- a \(= a – \sqrt{2}\)
- b \(= a – \sqrt{2}\)
- c \(= a – 1\)
Syarat 1: a < 0

\(a – \sqrt{2} < 0\)

\(a < \sqrt{2}\)

Syarat 2: b² − 4ac < 0

\((a – \sqrt{2})^2 – 4(a – \sqrt{2})(a – 1) < 0\)

\(a^2 – 2a\sqrt{2} + 2 -4(a^2 -a-a\sqrt{2} + \sqrt{2}) < 0\)

\(a^2 – 2a\sqrt{2}+ 2 -4a^2 +4a + 4a\sqrt{2} -4\sqrt{2}) < 0\)

\(a^2 -4a^2 – 2a\sqrt{2}+ 4a\sqrt{2} + 4a + 2 -4\sqrt{2} < 0\)

\(-3 a^2 + (2\sqrt{2}+ 4)a + 2 – 4\sqrt{2} < 0\)

\((-3a + 4 – \sqrt{2})(a – \sqrt{2}) < 0\)

\(\text{Pembuat nol:}\)

\(a = \sqrt{2} \text{ atau } a = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)

Iris penyelesaian dari syarat 1 dan syarat 2

Penyelesaian: \(a < \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\), sehingga \(m = \frac{4}{3} – \frac{\sqrt{2}}{3}\)

\(3m = 4 – \sqrt{2}\)
Soal 3

Jika \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\) merupakan penyelesaian sistem persamaan berikut:

\(\begin{cases}4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x \\\\2x=1+5y \end{cases}\)

Nilai \(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = \dotso\)

A. −7

B. −6

C. −5

D. −4

E. −3

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Substitusikan \(x = \dfrac{1 + 5y}{2}\) ke dalam persamaan \(4x^2+15y+3=9xy+2y^2+8x\)

\(4(\dfrac{1+5y}{2})^2 + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + 8(\dfrac{1 + 5y}{2})\)

\(\cancel{4}\cdot\dfrac{(1+5y)^2}{\cancel{4}} + 15y + 3 = 9(\dfrac{1 + 5y}{2})y + 2y^2 + \cancelto{4}{8}(\dfrac{1 + 5y}{\cancelto{1}{2}})\)

\(1 + 10y + 25y^2 + 15y + 3 = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + 4 + 20y\)

\( 25y^2 + 25y + \cancel{4} = \frac{9}{2}(y + 5y^2) + 2y^2 + \cancel{4} + 20y\)

\( 23y^2 + 5y = \frac{9}{2}(y + 5y^2)\)

\( 46y^2 + 10y = 9(y + 5y^2)\)

\( 46y^2 + 10y = 9y + 45y^2\)

\( y^2 + y = 0\)

\(y(y + 1) = 0\)

\(y_1 = 0, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(0)}{2} = \dfrac{1}{2}\)

\(y_2 = -1, \rightarrow x_1 = \dfrac{1 + 5(-1)}{2} = -2\)

\(2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2 = 2(\frac{1}{2}) + 0 + 2(-2) – 1 = -4\)

Soal 4

Jika suku banyak \(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10\), sisa pembagian suku banyak \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah…

A. \(f(1)(2-x) – 10(x – 1)\)

B. \(f(1)(x – 2) + 10(x – 1)\)

C. \(f(1)(x – 2) – 10(x + 1)\)

D. \(f(1)(2-x) + 10(x – 1)\)

E. \(f(1)(2-x) – 10(x + 1)\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: D

\(f(x)\) dibagi oleh \((x – 2)\) menghasilkan sisa \(10 \rightarrow f(2) = 10\)

Misalkan sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x^2 – 3x + 2\) adalah \(ax+b\)
\(f(x)= \text{pembagi} \times \text{ hasil bagi + sisa}\)
\(f(x) = (x^2 – 3x + 2)\text{H}(x) + (ax+ b)\)

\(f(x) = (x – 2)(x – 1)\text{H}(x) + (ax+ b)\)
- Untuk \(x = 2 \rightarrow f(2) = (2 – 2)(x – 1)\text{H}(2) + (2a+ b)\)
\(f(2) = 2a + b\)

\(10 = 2a + b\dotso\dotso (1)\)
- Untuk \(x = 1 \rightarrow f(1) = (x – 2)(1- 1)\text{H}(1) + (a+ b)\)
\(f(1) = a + b \dotso \dotso (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh:

\(a = 10 – f(1) \)

\(b = 2f(1) – 10\)

Substitusikan nilai \(a\) dan \(b\) ke dalam persamaan sisa = \(ax+b\)

Sisa = \((10 – f(1))x + 2f(1) – 10\)

Sisa = \(10x – f(1)x + 2f(1) – 10\)

Sisa = \(2f(1)- f(1)x + 2f(1) + 10x – 10\)

Sisa = \(f(1)(2 – x) + 10(x – 1)\)
Soal 5

Penyelesaian dari pertidaksamaan:

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \leqslant x\) adalah…

A. \(x \geqslant \sqrt{5} – 2\)

B. \(x \geqslant \sqrt{5} – 1\)

C. \(x \geqslant \sqrt{5}\)

D. \(x \geqslant \sqrt{5} + 1\)

E. \(x \geqslant \sqrt{5} + 2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\sqrt{(x + 2)^2}} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\sqrt{a^2} = \lvert a\lvert\)

\(\dfrac{\lvert1 – 2x\lvert}{\lvert x + 2 \lvert} \leqslant x\:\:\:\:\:\color{blue}\frac{\lvert a\lvert}{\lvert b\lvert} = \lvert\frac{a}{b}\lvert \)

\(\lvert \dfrac{1 – 2x}{x + 2 }\lvert \leqslant x\)

\(\color{blue}\lvert x \lvert \leqslant a \Leftrightarrow -a \leqslant x \leqslant a\)

\(-x \leqslant \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x \text{ dan } \dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2}\geqslant -x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} + x \geqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x + x(x + 2)}{x + 2}\geqslant 0\)

\(\dfrac{x^2 + 1}{x + 2} \geqslant 0\)

\(x^2 + 1 \text{ definit positif (selalu bernilai positif)}\)

\(x > -2\dotso\dotso (1)\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} \leqslant x\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x + 2} – x \leqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x – x(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{1 – 2x – x^2 – 2x}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{-(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \leqslant 0\)

\(\dfrac{(x^2 + 4x – 1)}{x + 2} \geqslant 0\)

\(\text{Akar-akar } x^2 + 4x – 1 \) adalah \(-2 – \sqrt{5}\) dan \(-2 + \sqrt{5}\)

\(-2 – \sqrt{5} \leqslant x < – 2\text{ atau } x \geqslant -2 + \sqrt{5}\dotso\dotso (2)\)

Irisan penyelesaian (1) dan (2) adalah \(x \geqslant -2 + \sqrt{5}\)

Soal 6

Diberikan deret geometri

\(1-(a + 3) + (a + 3)^2 – (a + 3)^3 + \dotso = 2a + 9\) dengan \(-4 < a < -2\). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a + b = \dotso\)

A. 7

B. 0

C. −7

D. −14

E. −21

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1: Menghitung rasio dari deret geometri

\(r = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1}\)
\(r = \dfrac{-(a + 3)}{1} = -a – 3\)

Langkah 2: Menghitung nilai \(a\)

Nilai \(a\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga

\(s_{\infty} = \dfrac{a}{1 – r}\)

\(2a + 9 = \dfrac{1}{1 – (-a – 3)}\)

\(2a + 9 = \dfrac{1}{a + 4}\)

\((2a + 9)(a + 4) = 1\)

\(2a^2 + 8a + 9a + 36 = 1\)

\(2a^2 + 17a + 35 = 0\)

\((2a + 7)(a + 5) = 0\)

\(2a + 7 = 0 \rightarrow a = -\frac{7}{2}\)

\(a + 5 = 0 \rightarrow a = -5\)

Tidak memenuhi karena -4 < a < -2

Langkah 3: Menghitung nilai \(b\)

\(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru

\(\dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\text{U}_3}{\text{U}_2}\)

\(\dfrac{-7}{a} = \dfrac{b}{-7}\)

\(\dfrac{-7}{-\frac{7}{2}} = \dfrac{b}{-7}\)

\(\dfrac{2}{1} = \dfrac{b}{-7}\)

\( b = -14\)

Langkah 4: Menghitung nilai \(2a + b\)

\(2a + b = 2(-\frac{7}{2}) + (-14) = -21\)

Soal 7

Jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan:

\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\) untuk \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\)

adalah…

A. \(-\frac{\pi}{2}\)

B. \(-\frac{\pi}{3}\)

C. \(0\)

D. \(\frac{\pi}{3}\)

E. \(\frac{\pi}{2}\)

Pembahasan Antiruwet
Jawaban: A
Ubah \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)

\(6\cos x – 2\cos x \sin 2x – 4 \cos^2 x + 3\sin 2x – 2\sin x – 2 = 0\)

\(6\cos x – 2\cos x (2 \sin x \cos x) – 4 \cos^2 x + 3(2 \sin x \cos x)- 2\sin x – 2 = 0\)

\(6\cos x – 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)

\(- 4\cos^2 x \sin x – 4 \cos^2 x + 6\cos x + 6 \sin x \cos x- 2\sin x – 2 = 0\)

\(- 4\cos^2 x (\sin x + 1) + 6\cos x(\sin x + 1)- 2(\sin x + 1) = 0\)

\((\sin x + 1)(- 4\cos^2 x + 6\cos x – 2) = 0\)

\((\sin x + 1)(- 4\cos x + 2)(\cos x – 1) = 0\)

\(\sin x + 1 = 0 \rightarrow \sin x = -1 \rightarrow x = -\frac{\pi}{2}\)

\(- 4\cos x + 2 = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\)

\(\cos x – 1 = 0 \rightarrow \cos x = 1 \rightarrow x = 0\)

Jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi =

\(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{3} + 0 = -\frac{\pi}{2}\)
Soal 8

Jika \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\), maka

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}= \dotso\)

A. −4

B. −2

C. −1

D. 0

E. 1

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(f(x) – 3)((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{((f(x)^2 +f(x) – 12)(x – 1)}\)

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{\cancel{(f(x) – 3)}((f(x)^2 – 4f(x) + 1)(x + 5)}{\cancel{(f(x)-3)}(f(x) + 4)(x – 1)}\)

\(\lim_{x \to 2} \dfrac{(3^2 – 4(3) + 1)(x + 5)}{(3 + 4)(x – 1)}\)

\(\dfrac{-2(2 + 5)}{7(2 -1)}\)

\(\dfrac{-14}{7}\)

\(-2\)

Soal 9

Jika \(\int_a^b f'(x)f(x)\:\mathrm{d}x = 10\) dan \(f(a) = 2 + f(b)\), nilai \(f(b) = \dotso\)

A. −2

B. −4

C. −6

D. −8

E. −10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

$$\bbox[yellow, 5px]{\int [f(x)]^n \:\mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}\cdot \frac{1}{f'(x)} [f(x)]^{n + 1} + \text{c}}$$

\(\int_a^b f'(x)[f(x)]^1\:\mathrm{d}x = 10\)

\(\left. \cancel{f'(x)}\cdot \dfrac{1}{1 + 1} \cdot \dfrac{1}{\cancel{f'(x)}} \cdot [f(x)]^{1 + 1}\right|_a^b= 10\)

\(\left. \dfrac{1}{2}[f(x)]^2\right|_a^b= 10\)

\(\frac{1}{2}[f(b)]^2 – \frac{1}{2}[f(a)]^2 = 10\)

\([f(b)]^2 – [f(a)]^2 = 20\)

\([f(b)]^2 – [2 + f(b)]^2 = 20\)

\(\cancel{[f(b)]^2} – (4 + 4f(b) + \cancel{[f(b)]^2}) = 20\)

\(-4 – 4f(b) = 20\)

\(-4f(b) = 24\)

\(f(b) = -\dfrac{24}{4}\)

\(f(b) = -6\)

Soal 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah dari EH, FG, AD, dan BC. Jika bidang PQRS dan ACH berpotongan di garis MN, perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus adalah…

A. \(\sqrt{3} : 16\)

B. \(\sqrt{3} : 18\)

C. \(\sqrt{3} : 24\)

D. \(\sqrt{3} : 48\)

E. \(\sqrt{3} : 50\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Segitiga AMN adalah segitiga sama sisi, karena panjang AM dan AN adalah setengah panjang diagonal bidang kubus = \(\sqrt{2}\)

Sedangkan MN dapat dicari menggunakan pythagoras dari segitiga siku-siku MRN

\(\text{MN}^2 = \text{RN}^2 + \text{RM}^2\)

\(\text{MN}^2 = 1^2 + 1^2\)

\(\text{MN} = \sqrt{2}\)

Perhatikan segitiga AMN,

Tinggi segitiga AMN dapat dicari menggunakan rumus pythagoras

\(\text{MO}^2 + t^2 = \text{AM}^2\)

\((\frac{1}{2}\sqrt{2})^2 + t^2 = (\sqrt{2})^2\)

\(\frac{1}{2} + t^2 = 2\)

\( t^2 = 2 – \frac{1}{2}\)

\( t^2 = \frac{3}{2}\)

\(t = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(t = \frac{1}{2}\sqrt{6}\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \text{MN}\cdot t\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{6}\)

\(\text{Luas segitiga AMN} = \frac{1}{4}\sqrt{12} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot r^2\)

\(\text{Luas permukaan kubus} = 6\cdot 2^2 = 24\)

Perbandingan luas AMN dengan luas permukaan kubus = \(\frac{1}{2}\sqrt{3} : 24 = \sqrt{3} : 48\)

Soal 11

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6. Titik P adalah titik tengah rusuk AB. Jika titik Q adalah titik perpotongan BE dan PF, jarak antara titik Q dan titik C adalah…

A. \(4\sqrt{11}\)

B. \(3\sqrt{11}\)

C. \(2\sqrt{11}\)

D. \(\sqrt{11}\)

E. \(\frac{1}{2}\sqrt{11}\)

Pembahasan Antruwet

Jawaban: C

Langkah 1: Perhatikan kesebangunan antara segitiga PBQ dengan segitiga FEQ

\(\dfrac{\text{PB}}{\text{FE}} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{BQ}}{\text{EQ}}\)

\(\text{BQ} : \text{EQ} = 1 : 2\)

\(\text{BQ} = \dfrac{1}{1 + 2}\cdot \text{BE}\)

\(\text{BQ} = \dfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

Langkah 2: Perhatikan segitiga siku-siku QBC

Panjang CQ dapat dihitung dengan rumus pythagoras

\(\text{BQ}^2 + \text{BC}^2 = \text{CQ}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 + 6^2 = \text{CQ}^2\)

\(8 + 36 = \text{CQ}^2\)

\(44 = \text{CQ}^2\)

\(\text{CQ} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\text{ cm}\)

Soal 12

Diketahui \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 – 5x + c = 0, a \neq 0\). Jika \(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri dan \(^a\log 18 + ^a\log p = 1\), nilai \(a + c = \dotso\)

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. 3

D. 5

E. 7

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1: Menyelesaikan persamaan logaritma

\(^a\log 18 + ^a\log p = 1\)

\(^a\log 18p = 1\)

\(18p = a\)

\(p = \dfrac{a}{18}\)

Langkah 2: Menghitung nilai \(q\)

\(p, q, \dfrac{1}{8pq}\) membentuk barisan geometri

\(\dfrac{q}{p} = \dfrac{\frac{1}{8pq}}{q}\)

\(q^2 = \dfrac{\cancel{p}}{8\cancel{p}q}\)

\(q^3 = \dfrac{1}{8}\)

\(q = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{2}\)

Langkah 3: Menyelesaikan persamaan kuadrat

\(ax^2 – 5x + c = 0\) memiliki akar-akar \(p\) dan \(q\)

\(p + q = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{5}{a}\)

\(\dfrac{a}{18} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{a}\)

\(\dfrac{a + 9}{18} = \dfrac{5}{a}\)

\(a^2 + 9a = 90\)

\(a^2 + 9a – 90 = 0\)
\((a + 15)(a – 6) = 0\)

\(a = -15 \:\:\:\color{red} \text{ tidak memenuhi}\)
\(a = 6 \:\:\:\color{blue}\text{ memenuhi}\)

Karena \(q = \dfrac{1}{2}\) adalah akar dari persamaan kuadrat \(6x^2 – 5x + c = 0\) maka:

\(6(\dfrac{1}{2})^2 – 5(\dfrac{1}{2}) + c = 0\)

\(\dfrac{3}{2} – \dfrac{5}{2} + c = 0\)

\(-1 + c = 0\)

\(c = 1\)

\(a + c = 6 + 1 = 7\)

Soal 13

Diketahui vektor

\(\text{u} = (1, 0, 2), \text{v} = (-1, 2, 0), \text{w} = (3, 1, 1),\text {dan } \text{x} = (6, -1, 5)\). Jika \(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\) dan \(\text{y} = (k + l)\text{u}\)

maka…

(1) \(k + l + m = 2\)

(2) cosinus sudut antara u dan v adalah \(-\frac{1}{5}\)

(3) \(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = 4\)

(4) \(|\text{y}| = |\text{u}|\), tetapi y berlawanan arah dengan u

Pembahasan Antiruwet

Membuktikan pernyataan ke-1

\(\text{x} = k\text{u} + l\text{v} + m\text{w}\)

\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right) + l\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+ m\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}k-l+3m\\ 0+2l+m\\ 2k+0+m\end{array}\right)\)

\(\begin{cases}k-l+3m=6 & \dotso(1)\\\\2l+m = -1 & \dotso (2)\\\\2k+m = 5&\dotso (3)\end{cases}\)

Eliminasi ketiga persamaan di atas untuk mendapatkan nilai \(m = 1, l = -1, \text{ dan } k = 2\)

\(k + l + m = 2 – 1 + 1 = 2\)

Pernyataan ke-1 benar

Membuktikan pernyataan ke-2

\(\cos \theta = \dfrac{\text{u}\cdot \text{v}}{|\text{u}|\cdot |\text{v}|}\)

\(\cos \theta = \dfrac{\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2 \\ 0\end{array}\right)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2}\cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2}}\)

\(\cos \theta = \dfrac{-1 + 0 + 0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\)
\(\cos \theta = \dfrac{1}{5}\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(\text{y} = (k + l)\text{u}\)

\(\text{y} =(2-1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)

\(\text{y} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 2\end{array}\right)\)

\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{\left(\begin{array}{c}6\\-1\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\2\end{array}\right)}=\sqrt{6 + 0 + 10}\)

\(\sqrt{\text{x}\cdot \text{y}} = \sqrt{16} = 4\)

Pernyataan ke-3 benar

Membuktikan pernyataan ke-4

\(|\text{y}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)

\(|\text{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)

\(\text{Jadi, } |\text{y}| = |\text{u}|\)

y dan u adalah vektor yang sama, sehingga besar dan arahnya sama

Pernyataan ke-4 salah

Soal 14

Jika \(\sin 3^{\circ} = a\), maka…

(1) \(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = \sqrt{3 – 3a^2}\)

(2) \(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)

(3) \(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = a – \sqrt{3 – 3a^2}\)

(4) \(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)

Pembahasan Antiruwet

$$\bbox[yellow, 5px]{\sin (a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b}$$

\( \sin 63^{\circ} = \sin (60^{\circ} + 3^{\circ}) = \sin 60^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ} + \cos 60^{\circ}\cdot \sin 3^{\circ}\)

\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot \sqrt{1- a^2} + \frac{1}{2}\cdot a\)

\( \sin 63^{\circ} = \frac{1}{2}(\sqrt{3 – 3a^2} + a)\)

Membuktikan pernyataan ke-1

\(\sin 3^{\circ} – 2 \sin 63^{\circ} = a – \cancel{2}\cdot\frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-1 salah

Membuktikan pernyataan ke-2

\(2\sin 63^{\circ} + \sin 3^{\circ} = \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) + a = 2a + \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(3 \sin 3^{\circ} – 2\sin 63^{\circ} = 3a – \cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) \neq a – \sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-3 salah

Membuktikan pernyataan ke-4

\(2 \sin 3^{\circ} – 4\sin 63^{\circ} = 2a – \cancelto{2}{4}\cdot \frac{1}{\cancel{2}}(\sqrt{3 – 3a^2} + a) = -2\sqrt{3 – 3a^2}\)

Pernyataan ke-4 benar

Soal 15

Jika \(f(x) = 2x – 3x^{\frac{2}{3}}\) dengan \(x \in[-1, 3]\) maka…

(1) nilai minimum \(f\) adalah \(-5\)

(2) nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)

(3) \(f\) naik pada interval (-1,0) atau (1,3)

(4) \(f\) turun pada interval (0, 1)

Pembahasan Antiruwet

Membuktikan pernyataan ke-1

Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(2- 3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} – 1} = 0\)

\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} = 0\)

\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) = 0\)

\(1 = x^{-\frac{1}{3}}\)
\(x = 1\)

\(f(1) = 2(1) – 3(1)^{\frac{2}{3}} = -1\)

cek juga nilai ujung-ujung interval [-1, 3]

\(f(-1) = 2(-1) – 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -5\:\:\:\color{blue}\text{ nilai minimum}\)

\(f(3) = 2(3) – 3(3)^{\frac{2}{3}} = 6 – 3(3)^{\frac{2}{3}}\)

Pernyataan ke-1 benar

Membuktikan pernyataan ke-2

Nilai minimum \(f\) terjadi saat \(x = -1\)

Pernyataan ke-2 benar

Membuktikan pernyataan ke-3

\(f\) naik jika \(f'(x) > 0\)

\(2 – 2x^{-\frac{1}{3}} > 0\)

\(2(1-x^{-\frac{1}{3}}) > 0\)

\(1-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}>0\)

\(\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}>0\)

Karena \(x \in[-1, 3]\) maka \(f\) naik pada interval [-1,0) atau (1, 3].

Sehingga, pada interval (-1,0) atau (1, 3) fungsi \(f\) juga naik

Pernyataan ke-3 benar

Membuktikan pernyataan ke-4

\(f\) turun jika \(f'(x) < 0\)

\(f\) turun pada interval (0, 1)

Pernyataan ke-4 benar
03/09/2022
Matematika IPA 2018

Soal 1

Diketahui suku banyak f(x) dibagi x² + x − 2 bersisa ax + b dan dibagi x² − 4x + 3 bersisa 2bx + a − 1. Jika f(−2) = 7, maka a² + b² = …

(A) 12

(B) 10

(C) 9

(D) 8

(E) 5

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(f(x) = (x^2 + x \:-\:2)\cdot \text{H(x)} + ax + b\)

\(f(x) = (x + 2)(x\:-\:1)\cdot \text{H(x)} + ax + b\)

\(f(-2) = 0 + -2a + b \)

\(7 = -2a + b\dotso\dotso \color{blue} (1)\)

\(f(1) = a + b\dotso\dotso \color{blue} (2)\)

\(f(x) = (x^2 \:-\:4x + 3)\cdot \text{H(x)} + 2bx + a \:-\:1\)

\(f(x) = (x \:-\: 3)(x\:-\:1)\cdot \text{H(x)} + 2bx + a \:-\:1\)

\(f(1) = 0 + 2b + a \:-\:1\)

\(f(1) = 2b + a \:-\:1\dotso\dotso \color{blue} (3)\)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)

\(a + b = 2b + a \:-\:1\)

\(b = 1\)

Substitusikan nilai \(b = 1\) ke persamaan (1)

\(7 = -2a + b\)

\(7 = -2a + 1\)

\(-2a = 6\)

\(a = -3\)

\(a^2 + b^2 = (-3)^2 + 1^2\)

\(a^2 + b^2 = 9 + 1\)

\(a^2 + b^2 = 10\)

Soal 2

Jika b > a, nilai x yang memenuhi |x − 2a| + a ≤ b adalah…

(A) 3a ≤ x ≤ 2b + a

(B) x ≥ −b + 3a

(C) x ≤ b + a

(D) b − 3a ≤ x ≤ −b + a

(E) −b + 3a ≤ x ≤ b + a

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(|x \:-\:2a| \leq b \:-\:a\)

\(-(b\:-\:a) \leq x \:-\:2a \leq b \:-\:a\)

\(-b + a + 2a \leq x \leq b \:-\:a + 2a\)

\(-b + 3a \leq x \leq b + a\)

Soal 3

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) memenuhi persamaan \(2 \sin^2 x \:-\:\cos x = 1\), \(0 \leq x \leq \pi\), nilai \(x_1 + x_2\) adalah…

(A) \(\dfrac{\pi}{3}\)

(B) \(\dfrac{2\pi}{3}\)

(C) \(\pi\)

(D) \(\dfrac{4\pi}{3}\)

(E) \(2\pi\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(2 \sin^2 x \:-\:\cos x = 1\)

\(2(1\:-\:\cos^2x \:-\:\cos x \:-\: 1 = 0\)

\(2 \:-\:2\cos^2x \:-\:\cos x \:-\:1 = 0\)

\(-2\cos^2x \:-\:\cos x + 1 = 0\)

\(2\cos^2x + \cos x \:-\: 1 = 0\)

\((2\cos x \:-\: 1)(\cos x + 1) = 0\)

\(2\cos x \:-\: 1 = 0\)

\(\cos x = \dfrac{1}{2}\)

\(x_1 = \dfrac{\pi}{3}\)

\(\cos x + 1 = 0\)

\(\cos x = -1\)

\(x_2 = \pi\)

\(x_1 + x_2 = \dfrac{\pi}{3} + \pi\)

\(x_1 + x_2 = \dfrac{4\pi}{3}\)

Soal 4

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9} \dfrac{\sqrt{x}\:-\:\sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{x^2 \:-\:81}= \dotso\)

(A) \(\dfrac{1}{18}\)

(B) \(\dfrac{1}{48}\)

(C) \(\dfrac{1}{124}\)

(D) \(\dfrac{1}{324}\)

(E) \(\dfrac{1}{400}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9} \dfrac{\sqrt{x}\:-\:\sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{x^2 \:-\:81}\times \color{blue} \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}{\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3}}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {x \:-\: (4\sqrt{x}\:-\:3)}{(x + 9)(x\:-\:9)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {x \:-\: 4\sqrt{x} + 3}{(x + 9)((\sqrt{x})^2\:-\:3^2)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {(\sqrt{x}\:-\:3)(\sqrt{x} \:-\:1)}{(x + 9)((\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x}\:-\:3)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {\cancel{(\sqrt{x}\:-\:3)}(\sqrt{x} \:-\:1)}{(x + 9)((\sqrt{x} + 3)\cancel{(\sqrt{x}\:-\:3)}(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 9}\dfrac {\sqrt{x} \:-\:1}{(x + 9)(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + \sqrt{4\sqrt{x}\:-\:3})}\)

\(\dfrac {\sqrt{9} \:-\:1}{(9 + 9)(\sqrt{9} + 3)(\sqrt{9} + \sqrt{4\sqrt{9}\:-\:3})}\)

\(\dfrac {3 \:-\:1}{18(3+ 3)(3 + \sqrt{12\:-\:3})}\)

\(\dfrac {2}{18(6)(3 + 3)}\)

\(\dfrac {2}{18(6)(6)}\)

\(\dfrac {2}{648}\)

\(\dfrac {1}{324}\)

Soal 5

Jika \(\int_{-2}^{0} \left(\cos (-\pi k x) + \dfrac{6x^2\:-\:10x + 7}{k + 2}\right) \text{d}x = (k\:-\:2)(k + 7)\) untuk nilai \(k\) bilangan bulat, maka \(k + 5 = \dotso\)

(A) 10

(B) 9

(C) 8

(D) 7

(E) 6

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Langkah 1: Menghitung integral

\(\int_{-2}^{0} \left(\cos (-\pi k x) \text{d}x + \int_{-2}^{0}\dfrac{6x^2\:-\:10x + 7}{k + 2}\right) \text{d}x\)

\(\int_{-2}^{0} \cos (-\pi k x) \text{d}x + \dfrac{1}{k + 2}\int_{-2}^{0} 6x^2\:-\:10x + 7 \text{d}x\)

\(\left.-\pi x \sin (-\pi k x)\right|_{-2}^0 + \dfrac{1}{k + 2} \left. 2x^3\:-\:5x^2 + 7x\right|_{-2}^0\)

\(0 + \dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (2(-2)^3\:-\:5(-2)^2 + 7(-2))\)

\(\dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (-16\:-\:20 \:-\:14)\)

\(\dfrac{1}{k + 2} (0\:-\: (-50)\)

\(\dfrac{50}{k + 2}\)

Langkah 2: Menghitung nilai k

\(\dfrac{50}{k + 2} = (k\:-\:2)(k + 7)\)

\(50 = (k\:-\:2)(k + 2)(k + 7)\)

\(k = 3\)

\(k + 5 = 3 + 5\)

\(k + 5 = 8\)

Soal 6

Pada balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6, BC = 3, dan CG = 2, titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika 3EM = EH, FN = 2NG, 3DO = 2DA, dan α adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, O, perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok adalah…

(A) \(\dfrac{\sqrt{35}}{36}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt{37}}{36}\)

(C) \(\dfrac{\sqrt{38}}{36}\)

(D) \(\dfrac{\sqrt{39}}{36}\)

(E) \(\dfrac{\sqrt{41}}{36}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Bidang \(\alpha\) = bidang MOPN

Langkah 1: Menghitung panjang OP

\(\text{OP}^2 = \text{OR}^2 + \text{RP}^2\)

\(\text{OP}^2 = 6^2 + 1^2\)

\(\text{OP}^2 = 37\)

\(\text{OP} = \sqrt{37}\)

Langkah 2: Menghitung luas bidang α

\(\text{Luas} = \text{OP} \times \text{PN}\)

\(\text{Luas} = \sqrt{37}\times 2\)

\(\text{Luas} = 2\sqrt{37}\)

Langkah 3: Menghitung luas permukaan balok

\(\text{LP} = 2(pl + pt + lt)\)

\(\text{LP} = 2(6(3) + 6(2) + 3(2))\)

\(\text{LP} = 2(18 + 12 + 6)\)

\(\text{LP} = 2(36)\)

\(\text{LP} = 72\)

Langkah 4: Menghitung perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok

Perbandingan luas bidang α dengan luas permukaan balok adalah:

\(2\sqrt{37} : 72\)

\(\sqrt{37} : 36\)

Soal 7

Jika θ adalah sudut antara bidang BEG dan DEG pada kubus ABCD.EFGH, maka \(\sin 2 \theta = \dotso\)

(A) \(\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(B) \(\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(C) \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)

(D) \(\dfrac{5\sqrt{2}}{9}\)

(E) \(0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Sudut yang dibentuk antara bidang BEG dengan bidang DEG adalah sudut DTB (θ).

Langkah 1: Menghitung panjang BT

\(\text{BT}^2 = \text{BF}^2 + \text{FT}^2\)

\(\text{BT}^2 = 1^2 + (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2\)

\(\text{BT}^2 = 1 + \frac{1}{2}\)

\(\text{BT} = \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Langkah 2: Menghitung cos θ

\(\text{DB}^2 = \text{TB}^2 + \text{TD}^2 \:-\:2\cdot\text{TB}\cdot\text{TD}\cos \theta\)

\((\sqrt{2})^2 = \left(\sqrt\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\sqrt\frac{3}{2}\right)^2 \:-\:2\cdot \sqrt\frac{3}{2} \cdot \sqrt\frac{3}{2}\cos \theta\)

\(2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \:-\:2\cdot \frac{3}{2}\cos \theta\)

\(2 \:-\:\frac{3}{2} \:-\: \frac{3}{2} = – 3\cos \theta\)

\(-1 = – 3\cos \theta\)

\(\cos \theta = \frac{1}{3}\)

Langkah 2: Menghitung sin 2θ

\(\cos \theta = \frac{1}{3}\)

\(\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\color{blue} \sin 2\theta = 2\sin \theta \cdot \cos \theta\)

\(\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3}\)

\(\sin 2\theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}\)

Soal 8

Jika \(3^x + 5^y = 18\), nilai maksimum \(3^x\cdot 5^y\) adalah…

(A) 72

(B) 80

(C) 81

(D) 86

(E) 88

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(3^x + 5^y = 18\)

\(5^y = 18 \:-\:3^x\)

\(\text{L} = 3^x\cdot 5^y\)

\(\text{L} = 3^x(18 \:-\:3^x)\)

\(\text{L} = 18\cdot 3^x \:-\: (3^x)^2\)

Misal \(3^x = p\)

\(\text{L} = 18p \:-\: p^2\)

Agar L maksimum maka L’ = 0

\(18\:-\:2p = 0\)

\(-2p = -18\)

\(p = 9\)

\(3^x = 9\)

\(x = 2\)

\(5^y = 18 \:-\:3^2\)

\(5^y = 9\)

\(y = \:^5 \log 9\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 3^2\cdot 5^{^5 \log 9}\)

\(\text{note:} \color{blue} a^{^a\log b} = b\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 9\cdot 9\)

\(\text{L}_{\text{max}} = 81\)

Soal 9

Diketahui \(sx\:-\:y = 0\) adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu-x. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-x dan titik pusatnya dilalui garis \(x = -2\), nilai \(3s\) adalah…

(A) \(\dfrac{1}{6}\)

(B) \(\dfrac{4}{3}\)

(C) \(3\)

(D) \(4\)

(E) \(6\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Karena pusat lingkaran dilalui garis x = −2, berjarak 1 satuan ke sumbu-x, dan terletak di kuadran III, maka pusat lingkaran berada di titik (−2, −1) dan jari-jari lingkarannya adalah 1.

Jarak pusat lingkaran (−2, −1) ke garis singgung \(sx\:-\:y = 0\) sama dengan jari-jari lingkaran.

\(r = \left|\dfrac{sx\:-\:y}{\sqrt{s^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(1 = \left|\dfrac{-2s + 1}{\sqrt{s^2 + 1}}\right|\)

kuadratkan kedua ruas,

\(1 = \dfrac{4s^2 \:-\: 4s + 1}{s^2 + 1}\)

Kali silang,

\(s^2 + 1 = 4s^2 \:-\: 4s + 1\)

\(0 = 3s^2 \:-\: 4s\)

\(0 = s(3s \:-\: 4)\)

\(s = 0 \text{ atau } s = \frac{4}{3}\)

\(3s = 3\cdot \frac{4}{3}\)

\(3s = 4\)

Soal 10

Jika kurva \(y = (a\:-\:2)x^2 + \sqrt{3}(1\:-\:a)x + (a\:-\:2)\) selalu berada di atas sumbu-x, bilangan bulat terkecil \(a\:-\:2\) yang memenuhi adalah…

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Kurva selalu berada di atas sumbu-x, maka fungsi tersebut definit positif (selalu bernilai positif)

Syarat fungsi definit positif:

(1) \(\color{blue} a > 0\)

(2) \(\color{blue} b^2 \:-\:4ac < 0\)

Langkah 1

\(a\:-\:2 > 0\)

\(a > 2\)

Langkah 2

\(b^2 \:-\:4ac < 0\)

\((\sqrt{3}(1\:-\:a))^2 \:-\:4(a\:-\:2)(a\:-\:2) < 0\)

\(3(1 \:-\:2a + a^2) \:-\:4(a^2\:-\:4a + 4) < 0\)

\(3 \:-\:6a + 3a^2 \:-\:4a^2 + 16a \:-\:16 < 0\)

\(-a^2 + 10a \:-\:13 < 0\)

pembuat nol:

\(x_1 = 5\:-\:2\sqrt{3}\)

\(x_2 = 5 + 2\sqrt{3}\)

Langkah 3

Irisan dari solusi langkah 1 dan 2 adalah:

\(\lbrace x | x > 5 + 2\sqrt{3}, \: x \in R \rbrace\)

\(\lbrace x | x > 8,46, \: x \in R \rbrace\)

Bilangan bulat terkecil \(a\) yang memenuhi adalah 9

\(a\:-\:2 = 9\:-\:2\)

\(a\:-\:2 = 7\)

Soal 11

Jika diberikan \(\sqrt{3}a + b \:-\:c = 2\), \(bc = -1,5a^2\), dan \(b^2 + c^2 = \sqrt{3}a\), nilai \(a\) adalah…

(A) \(\dfrac{2\sqrt{3}}{15}\)

(B) \(\dfrac{4\sqrt{3}}{15}\)

(C) \(\dfrac{7\sqrt{3}}{15}\)

(D) \(\dfrac{8\sqrt{3}}{15}\)

(E) \(\dfrac{11\sqrt{3}}{15}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\sqrt{3}a + b \:-\:c = 2\)

\(b \:-\:c = 2\:-\:\sqrt{3}a\)

Kuadratkan kedua ruas,

\((b \:-\:c)^2 = (2\:-\:\sqrt{3}a)^2\)

\(b^2 \:-\:2bc + c^2 = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(b^2 + c^2 \:-\:2bc = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(\sqrt{3}a\:-\:2(-1,5a^2) = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + 3a^2\)

\(\sqrt{3}a + \cancel{3a^2} = 4 \:-\:4\sqrt{3}a + \cancel{3a^2}\)

\(5\sqrt{3}a = 4\)

\(a = \dfrac{4}{5\sqrt{3}}\)

\(a = \dfrac{4}{5\sqrt{3}} \times \color{blue} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(a = \dfrac{4\sqrt{3}}{15}\)

Soal 12

Diketahui sebuah barisan \(0, \dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{36}, \dfrac{35}{216}, \dotso\). Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah…

(A) \(\dfrac{1}{2^{11}}\:-\:\dfrac{1}{3^{11}}\)

(B) \(\dfrac{1}{2^{11}}\:-\:\dfrac{2}{3^{11}}\)

(C) \(\dfrac{3}{2^{11}}\:-\:\dfrac{1}{3^{11}}\)

(D) \(\dfrac{1}{2^{11}} + \dfrac{1}{3^{11}}\)

(E) \(\dfrac{2}{2^{11}} + \dfrac{3}{3^{11}}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\text{U}_1 = 0 = \dfrac{1}{2^0}\:-\:\dfrac{1}{3^0} = \dfrac{1}{2^{1\:-\:1}} + (-1)^1\cdot \dfrac{1}{3^{1\:-\:1}}\)

\(\text{U}_2 = \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{3^1} = \dfrac{1}{2^{2\:-\:1}} + (-1)^2\cdot \dfrac{1}{3^{2\:-\:1}}\)

\(\text{U}_3 = \dfrac{5}{36} = \dfrac{1}{2^2}\:-\:\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{2^{3\:-\:1}} + (-1)^3\cdot \dfrac{1}{3^{3\:-\:1}}\)

\(\text{U}_4 = \dfrac{35}{216} = \dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3} = \dfrac{1}{2^{4\:-\:1}} + (-1)^4\cdot \dfrac{1}{3^{4\:-\:1}}\)

\(\dotso\)

\(\text{U}_n = \dfrac{1}{2^{n\:-\:1}} + (-1)^n \cdot \dfrac{1}{3^{n\:-\:1}}\)

\(\text{U}_{12} = \dfrac{1}{2^{12\:-\:1}} + (-1)^{12} \cdot \dfrac{1}{3^{12\:-\:1}}\)

\(\text{U}_{12} = \dfrac{1}{2^{11}} + \dfrac{1}{3^{11}}\)

Soal 13

Jika vektor \(\textbf{a} = (3, -2, -5)\), \(\textbf{b} = (1, 4, -4)\), dan \(\textbf{c} = (0, 3, 2)\), maka…

(1) \(\textbf{a, b, c}\) membentuk jajargenjang

(2) \(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = (\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a}\)

(3) Volume jajargenjang = 49

(4) \(\textbf{a} \times \textbf{b} = -(\textbf{b} \times \textbf{a})\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(\textbf{b} \times \textbf{c} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1 & 4 & -4\\0 & 3 & 2\end{vmatrix}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =\begin{vmatrix}4 & -4\\ 3 & 2\end{vmatrix}\textbf{i}\:-\:\begin{vmatrix}1 & 0\\ -4 & 2\end{vmatrix}\textbf{j} + \begin{vmatrix}1 & 4\\ 0 & 3\end{vmatrix}\textbf{k}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =(4\cdot 2\:-\:(-4)\cdot 3)\textbf{i}\:-\:(1\cdot 2\:-\:(-4)\cdot 0)\textbf{j} + (1\cdot 3\:-\:4\cdot 0)\textbf{k}\)

\(\textbf{b} \times \textbf{c} =20\textbf{i}\:-\:2\textbf{j} + 3\textbf{k}\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = (3, -2, -5) \cdot (20, -2, 3)\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = 3(20) + (-2)(-2) + (-5)(3)\)

\(\textbf{a}\cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = 60 + 4 \:-\:15 = 49\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = (20, -2, 3) \cdot (3, -2, -5)\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = 20(3) + (-2)(-2) + 3(-5)\)

\((\textbf{b} \times \textbf{c})\cdot \textbf{a} = 60 + 4 \:-\:15 = 49\)

Pernyataan (2) benar

Pernyataan (4) benar

\(\textbf{a} \times \textbf{b} = -(\textbf{b} \times \textbf{a})\)

Jadi, pernyataan (2) dan (4) benar

Soal 14

Jika \(f(x) = (2x\:-\:3)^7\:-\:(2x\:-\:3)^5 + (2x\:-\:3)^3\), maka…

(1) \(f\) selalu naik pada R

(2) \(f\) tidak pernah turun

(3) \(f\) tidak memiliki maksimum relatif

(4) \(f\) minimum relatif pada \(x = \dfrac{3}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(f(x) = (2x\:-\:3)^7\:-\:(2x\:-\:3)^5 + (2x\:-\:3)^3\)

Menentukan titik stasioner, \(f'(x) = 0\)

\(f'(x) = 7(2)(2x\:-\:3)^6\:-\:5(2)(2x\:-\:3)^4 + 3(2)(2x\:-\:3)^2\)

\(0 = 14(2x\:-\:3)^6\:-\:10(2x\:-\:3)^4 + 6(2x\:-\:3)^2\)

\(0 = 2(2x\:-\:3)^2(7(2x\:-\:3)^4\:-\:5(2x\:-\:3)^2 + 3)\)

Hanya terdapat satu buah titik stasioner di \(x = \dfrac{3}{2}\)

(1) \(f\) selalu naik pada R (benar)

(2) \(f\) tidak pernah turun (benar)

(3) \(f\) tidak memiliki maksimum relatif (benar)

(4) \(f\) minimum relatif pada \(x = \dfrac{3}{2}\) (salah) harusnya titik belok

Soal 15

Jika \(\alpha = \dfrac{\pi}{12}\), maka…

(1) \(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = \dfrac{7}{8}\)

(2) \(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \dfrac{11}{16}\)

(3) \(\cos^4\alpha = \dfrac{7}{16}\:-\:\dfrac{1}{4}\sqrt{3}\)

(4) \(\sin^4 \alpha = \dfrac{3}{8} \:-\:\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\color{blue}\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}\:-\:\sqrt{2}}{4}\)

\(\color{blue}\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

\(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha\)

\((\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2\)

\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2\:-\:2\sin^2 \alpha\cdot \cos^2\alpha\)

\(1^2\:-\:2(\sin\alpha\cdot \cos\alpha)^2\)

\(1\:-\:2\left[ \left(\dfrac{\sqrt{6}\:-\:\sqrt{2}}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)\right]^2\)

\(1\:-\:2\left[ \dfrac{6\:-\:2}{16}\right]^2\)

\(1\:-\:2\left[ \dfrac{1}{4}\right]^2\)

\(1\:-\:\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{7}{8}\)

Pernyataan 1 benar

\(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha\)

\((\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3\)

\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha \:-\:\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)\)

\(1\cdot (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \:-\: (\sin\alpha \cos\alpha)^2)\)

\(\dfrac{7}{8} \:-\:\left (\dfrac{1}{4}\right)^2\)

\(\dfrac{14}{16} \:-\: \dfrac{1}{16}\)

\(\dfrac{13}{16}\)

Pernyataan 2 salah

\(\cos^4\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^4\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{36 + 4\cdot 6\sqrt{6}\cdot \sqrt{2} + 6\cdot 6 \cdot 2 + 4\cdot \sqrt{6}\cdot 2\sqrt{2} + 4}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{36 + 24\sqrt{12} + 72 + 8\sqrt{12} + 4}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112 + 32\sqrt{12}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112 + 64\sqrt{3}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{112}{256} + \dfrac{64\sqrt{3}}{256}\)

\(\cos^4\alpha = \dfrac{7}{16}\:-\:\dfrac{1}{4}\sqrt{3}\)

Pernyataan 3 benar

03/09/2022
Matematika IPA 2017

Soal 1

Jika lingkaran \(x^2 + y^2\:-\:2ax + b = 0\) berjari-jari 2 menyinggung garis \(x \:-\:y = 0\), maka jumlah kuadrat semua nilai \(a\) yang mungkin adalah…

(A) 2

(B) 8

(C) 12

(D) 16

(E) 18

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Jarak titik pusat \((a, 0)\) ke garis singgung \(x\:-\:y = 0\) sama dengan jari-jari lingkaran.

Ingat rumus jarak titik \((x_1, y_1)\) ke garis \(ax + by + c = 0\)

\(\color{blue} r = \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{x\:-\:y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{a\:-\:0}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}\right|\)

\(2 = \left|\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right|\)

Kemungkinan 1:

\(-\dfrac{a}{\sqrt{2}} = 2\)

\(\dfrac{a}{\sqrt{2}} = -2\)

\(a_1 = -2\sqrt{2}\)

Kemungkinan 2:

\(\dfrac{a}{\sqrt{2}} = 2\)

\(a_2 = 2\sqrt{2}\)

Jumlah kuadrat semua nilai \(a\) yang mungkin:

\(a^2_1 + a^2_2 = (-2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2\)

\(a^2_1 + a^2_2 = 8 + 8\)

\(a^2_1 + a^2_2 = 16\)

Soal 2

Jika \(6x^2\:-\:6px + 14p\:-\:2 = 0\) memiliki akar \(u\) dan \(v\) tidak bulat dengan \(u, v \geq 1\), maka nilai \(|u \:-\:v|\) adalah…

(A) 14

(B) 15

(C) 16

(D) 17

(E) 18

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: semua benar

Karena \(u, v \geq 1\) dengan \(u\) dan \(v\) bukan bilangan bulat, maka:

Jumlah kedua akar akan lebih besar dari 2

\(u + v > 2\)

\(-\dfrac{b}{a} > 2\)

\(-\dfrac{-6p}{6} > 2\)

\(p > 2\)

Hasil kali kedua akar akan lebih besar dari 1

\(u v > 1\)

\(\dfrac{c}{a} > 1\)

\(\dfrac{14p\:-\:2}{6} > 1\)

\(\dfrac{14p\:-\:2}{6} \:-\:\dfrac{6}{6}> 0\)

\(\dfrac{14p\:-\:8}{6}> 0\)

\(14p \:-\:8 > 0\)

\(p > \dfrac{8}{14}\)

\(p > \dfrac{4}{7}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{b^2\:-\:4ac}}{a}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{(-6p)^2\:-\:4(6)(14p\:-\:2)}}{6}\)

\(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{36p^2\:-\:336p + 48}}{6}\)

Syarat terdefinisi bentuk akar:

\(36p^2\:-\:336p + 48 \geq 0\)

\(9p^2\:-\:84p + 12 \geq 0\)

\(p_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{-(-84) \pm \sqrt{(-84)^2 \:-\:4(9)(12)}}{2(9)}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm \sqrt{7056 \:-\:432}}{18}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm \sqrt{6624}}{18}\)

\(p_{1,2} = \dfrac{84\pm 12\sqrt{46}}{18}\)

\(p_{1} = \dfrac{84 + 12\sqrt{46}}{18} = 9,20\)

\(p_{2} = \dfrac{84 \:-\: 12\sqrt{46}}{18} = 0,15\)

Himpunan penyelesaian:

\(\lbrace x | \:p \leq 0,15 \text{ atau } p \geq 9,20; \: x\in R \rbrace\)

Irisan dari \(p > 2\), \(p > \dfrac{4}{7}\), dan \(\lbrace x | \:p \leq 0,15 \text{ atau } p \geq 9,20, \: x\in R \rbrace\) adalah \(p \geq 9,20\)

Untuk setiap nilai \(p \geq 9,20\) yang dipilih, \(|u \:-\:v| = \dfrac{\sqrt{36p^2\:-\:336p + 48}}{6}\) akan dapat menghasilkan jawaban A, B, C, D, dan E

Soal 3

Jika x, y, z bilangan bulat yang memenuhi 4x − 5y + 6z = 4A dan 2x − 2y + 2z = 10, dengan y < 2x dan y − 2z < 0, maka bilangan asli A terbesar yang memenuhi adalah…

(A) 25

(B) 27

(C) 29

(D) 40

(E) 41

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Kurangkan persamaan 1 dengan 6 kali persamaan 2 untuk elimininasi z.

\(4x\:-\:5y + 6z = A\dotso \color{blue} (1)\)

\(6x\:-\:6y + 6z = 30\dotso \color{blue} (2)\)

\(-2x + y = 4A\:-\:30\dotso \color{blue} (3)\)

\(y\:-\:2x = A\:-\:30\)

Karena \(y\:-\:2x < 0\), maka:

\(A\:-\:30 < 0\)

\(A < 30\)

Kurangkan persamaan 1 dengan 2 kali persamaan 2 untuk elimininasi x.

\(4x\:-\:5y + 6z = A\dotso \color{blue} (1)\)

\(4x\:-\:4y + 4z = 20\dotso \color{blue} (2)\)

\(-y + 2z = A\:-\:20\)

\(y\:-\:2z = -A + 20\dotso \color{blue} (4)\)

Karena \(y\:-\:2z < 0\), maka:

\(-A + 20 < 0\)

\(-A < -20\)

\(A > 20\)

Iris pertidaksamaan \(A < 30\) dan \(A > 20\)

Diperoleh solusi \(20 < A < 30\)

Bilangan asli A terbesar antara 20 dan 30 adalah 29

Soal 4

Diketahui suku banyak \(f(x)\) dibagi \(x^2\:-\:4\) mempunyai sisa \(ax + a\) dan suku banyak \(g(x)\) dibagi \(x^2\:-\:9\) mempunyai sisa \(ax + a \:-\:5\). Jika sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x + 2\) sama nilainya dengan sisa pembagian \(g(x)\) oleh \(x\:-\:3\) dan \(f(-3) = g(2) = -2\), maka sisa pembagian \(f(x)g(x)\) oleh \(x^2 + x \:-\:6\) adalah…

(A) \(4x\:-\:2\)

(B) \(-4x\:-\:2\)

(C) \(4x + 2\)

(D) \(-4x + 2\)

(E) \(-4x\:-\:1\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Dengan menggunakan teorema sisa,

\(f(x)\) dibagi \((x + 2)(x\:-\:2)\) mempunyai sisa \(ax + a\)

\(f(-2) = -2a + a = -a\)

\(f(2) = 2a + a = 3a\)

\(g(x)\) dibagi \((x + 3)(x\:-\:3)\) mempunyai sisa \(ax + a \:-\:5\)

\(g(-3) = -3a + a\:-\:5 = -2a\:-\:5\)

\(g(3) = 3a + a \:-\:5 = 4a \:-\:5\)

Sisa pembagian \(f(x)\) oleh \(x + 2\) = sisa pembagian \(g(x)\) oleh \(x \:-\: 3\)

\(f(-2) = g(3)\)

\(-a = 4a\:-\:5\)

\(-5a = -5\)

\(a = 1\)

\(f(-3) = g(2) = -2\)

\(f(x)\cdot g(x)\) dibagi oleh \((x + 3)(x\:-\:2)\) memiliki sisa \(px + q\)

\(f(x)\cdot g(x) = (x + 3)(x\:-\:2)\cdot H(x) + (px + q)\)

Untuk x = 2,

\(f(2)\cdot g(2) = 0 + 2p + q\)

\(3a \cdot (-2) = 2p + q\)

\(-6 = 2p + q \cdot \color{blue} (1)\)

Untuk x = −3,

\(f(-3)\cdot g(-3) = 0 \:-\:3p + q\)

\(-2 \cdot -2a\:-\:5 = -3p + q\)

\((-2)(-7) = -3p + q\)

\(14 = -3p + q\cdot \color{blue} (2)\)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai \(p = -4\) dan \(q = 2\)

Jadi, sisa pembagiannya adalah \(-4x + 2\)

Soal 5

jika \(f(x) = \dfrac{5x\:-\:1}{2}\) dan \(g(x) = \dfrac{2x + 3}{3}\), maka bilangan bulat \(x\) terbesar yang memenuhi \(|f(x) \:-\: g(x)| < 2\) adalah…

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 1

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(|f(x) \:-\: g(x)| < 2\)

\(\left|\dfrac{5x\:-\:1}{2}\:-\:\dfrac{2x + 3}{3}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{3(5x\:-\:1)\:-\:2(2x + 3)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{15x\:-\:3\:-\:(4x + 6)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{15x\:-\:3\:-\:4x \:-\:6}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{11x \:-\:9}{6}\right| < 2\)

\(-2 < \dfrac{11x \:-\:9}{6} < 2\)

\(-12 < 11x \:-\:9 < 12\)

\(-12 + 9 < 11x < 12 + 9\)

\(-3 < 11x < 21\)

\(-\dfrac{3}{11} < x < \dfrac{21}{11}\)

Bilangan bulat terbesar x yang memenuhi adalah 1

Soal 6

Nilai x yang memenuhi \(1 + (x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 2 \:-\:x\) adalah…

(A) \(\dfrac{-3 + \sqrt{3}}{2}\)

(B) \(0\)

(C) \(\dfrac{3\:-\:\sqrt{3}}{2}\)

(D) \(1\)

(E) \(\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\((x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 2 \:-\:x\:-\:1\)

\((x\:-\:1)^2 + (x\:-\:1)^3 + (x\:-\:1)^4 + \dotso = 1 \:-\:x\)

Dengan menggunakan rumus deret tak hingga, \(s_{\infty} = \dfrac{a}{1\:-\:r}\)

\(\dfrac{(x\:-\:1)^2}{1\:-\:(x\:-\:1)} = 1 \:-\:x\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x} = 1\:-\:x\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x}\:-\:\dfrac{(1\:-\:x)(2\:-\:x)}{2\:-\:x} = 0\)

\(\dfrac{x^2\:-\:2x + 1}{2\:-\:x}\:-\:\dfrac{2\:-\:3x + x^2}{2\:-\:x} = 0\)

\(\dfrac{x\:-\:1}{2\:-\:x} = 0\)

\(x\:-\:1 = 0\)

\(x = 1\)

Soal 7

Nilai x yang memenuhi \(\dfrac{\sin x}{1\:-\:\cos x}= \dfrac{1 + \cos x}{\cos \frac{1}{2}x}\) adalah…

(A) \(\lbrace \frac{\pi}{2} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(B) \(\lbrace \frac{\pi}{2} + 4k\pi; \frac{5}{4}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(C) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 3k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(D) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 3k\pi; \frac{4}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

(E) \(\lbrace \frac{\pi}{3} + 4k\pi; \frac{5}{3}\pi + 4k\pi \rbrace_{k \in Z}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(\dfrac{\sin x}{1\:-\:\cos x}\:-\: \dfrac{1 + \cos x}{\cos \frac{1}{2}x} = 0\)

\(\dfrac{\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1 + \cos x)(1\:-\:\cos x)}{(1\:-\:\cos x)(\cos \frac{1}{2}x)}= 0\)

\(\dfrac{\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1\:-\:\cos^2 x)}{(1\:-\:\cos x)(\cos \frac{1}{2}x)} = 0\)

\(\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:(1\:-\:\cos^2 x) = 0\)

\(\sin x\cdot \cos \frac{1}{2}x\:-\:\sin^2 x = 0\)

\(\sin x (\cos \frac{1}{2}x\:-\:\sin x) = 0\)

\(\sin x (\cos \frac{1}{2}x\:-\:2\sin \frac{1}{2} x \cos \frac{1}{2} x) = 0\)

\(\sin x = 0\)

\(x_1 = 0 + k\cdot 2\pi\)

\(x_2 = \pi + k\cdot 2\pi\)

\(\cos \frac{1}{2}x\:-\:2\sin \frac{1}{2} x \cos \frac{1}{2} x = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x(1\:-\:2\sin \frac{1}{2}x) = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x = 0\)

\(\cos \frac{1}{2}x = \cos \frac{\pi}{2}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \pi + k\cdot 4\pi\)

\(\frac{1}{2}x = -\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x =-\pi + k\cdot 4\pi\)

\(1\:-\:2\sin \frac{1}{2}x = 0\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin \frac{\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{3} + k\cdot 4\pi\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin (\pi\:-\:\frac{\pi}{6})\)

\(\sin \frac{1}{2}x = \sin \frac{5\pi}{6}\)

\(\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{5\pi}{3} + k\cdot 4\pi\)

Soal 8

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x\:-\:\tan 5x}{x^3}\)

(A) \(\dfrac{125}{3}\)

(B) \(\dfrac{115}{3}\)

(C) \(\dfrac{125}{6}\)

(D) \(\dfrac{-125}{6}\)

(E) \(\dfrac{-125}{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x\:-\:\tan 5x}{x^3}\)

Gunakan L’hopital’s rule

Turunan dari \(y =\tan ax\) adalah \(y’ = a \sec^2 ax\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5\:-\:5\sec^2 5x}{3x^2}\)

Gunakan identitas \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{5\:-\:5(1 + \tan^2 5x)}{3x^2}\)

\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{-5\tan^2 5x)}{3x^2}\)

\(\dfrac{-5}{3}\cdot (5)^2\)

\(\dfrac{-125}{3}\)

Soal 9

Jika \(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\), maka \(g(\frac{c}{2}) = \dotso\)

(A) \(\dfrac{10}{16}\)

(B) \(\dfrac{12}{16}\)

(C) \(\dfrac{14}{16}\)

(D) \(\dfrac{15}{16}\)

(E) \(\dfrac{17}{16}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\)

\(3x^5 \:-\:3 = G(x)\:-\:G(c)\)

\(G(x) = 3x^5\) dan \(G(c) = 3\)

\(G(c) = 3c^5 = 3\)

\(c^5 = 1\)

\(c = 1\)

\(3x^5 \:-\:3 = \int_c^x g(t)\,\mathrm{d}t\)

turunkan kedua ruas terhadap x

\(15x^4 = g(x)\)

\(g(\frac{c}{2}) = 15(\frac{c}{2})^4\)

\(g(\frac{1}{2}) = 15(\frac{1}{2})^4\)

\(g(\frac{1}{2}) = \frac{15}{16}\)

Soal 10

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \(5a\). Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP : PG = 2 : 3. Bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian dengan perbandingan volume…

(A) 1 : 14

(B) 1 : 13

(C) 1 : 12

(D) 1 : 11

(E) 1 : 10

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{3}\cdot \text{ luas BCD } \cdot \text {CP}\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 5a \cdot 5a \cdot 2a\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{1}{6}\cdot 50a^3\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{50}{6}a^3\)

Volume limas P.BCD = \(\dfrac{25}{3}a^3\)

Volume kubus ABCD.EFGH = \((5a)^3\)

Volume kubus ABCD.EFGH = \(125a^3\)

Volume di luar limas P.BCD = \(125a^3 \:-\: \dfrac{25}{3}a^3\)

Volume di luar limas P.BCD = \(\dfrac{350}{3}a^3\)

Perbandingan volume limas P.BCD dengan volume di luar limas P.BCD adalah:

\(\dfrac{25}{3}a^3\) : \(\dfrac{350}{3}a^3\)

\(25 : 350\)

\(1 : 14\)

Soal 11

Diketahui sebuah limas T.ABC dengan rusuk TA, TB, dan TC saling tegak lurus satu sama lain pada titik T. Jika AB = AC = \(2\sqrt{2}\) dan AT = 2 dan α adalah sudut antara bidang ABC dan TBC, maka tan α adalah…

(A) \(\sqrt{2}\)

(B) \(2\sqrt{2}\)

(C) \(3\sqrt{2}\)

(D) \(2\sqrt{3}\)

(E) \(3\sqrt{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

TA dan TC saling tegak lurus, sehingga segitiga ATC merupakan segitiga siku-siku di T.

\(\text{AC}^2 = \text{TA}^2 + \text{TC}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 = 2^2 + \text{TC}^2\)

\(8 = 4 + \text{TC}^2\)

\(4 = \text{TC}^2\)

\(\text{TC} = \sqrt{4}\)

\(\text{TC} = 2\)

\(\text{TB} = \text{TC} = 2\)

Sudut antara bidang ABC dan TBC adalah sudut TRA

Perhatikan segitiga siku-siku TRA

\(\text{TC}^2 = \text{RC}^2 + \text{TR}^2\)

\(2^2 = (\sqrt{2})^2 + \text{TR}^2\)

\(4 = 2 + \text{TR}^2\)

\(2 = \text{TR}^2\)

\(\text{TR} = \sqrt{2}\)

Pada segitiga siku-siku ARC

\(\text{AC}^2 = \text{AR}^2 + \text{RC}^2\)

\((2\sqrt{2})^2 = \text{AR}^2 + (\sqrt{2})^2\)

\(8 = \text{AR}^2 + 2\)

\(6 = \text{AR}^2\)

\(\text{AR} = \sqrt{6}\)

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga TRA,

\(\text{TA}^2 = \text{TR}^2 + \text{RA}^2 \:-\:2\cdot \text{TR}\cdot \text{RA} \cos \angle \text{TRA}\)

\(2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 \:-\:2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{6} \cos \angle \text{TRA}\)

\(4 = 2 + 6 \:-\:2\sqrt{12}\cos \angle \text{TRA}\)

\(4 = 8 \:-\:2\sqrt{12}\cos \angle \text{TRA}\)

\(-4 = -\:4\sqrt{3}\cos \angle \text{TRA}\)

\(\cos \angle \text{TRA} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\tan \angle \text{TRA} = \sqrt{2}\)

Soal 12

Jika \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3\:-\:2x^2 + 3x\) dengan \(-1 \leq x \leq 2\) mempunyai titik maksimum di \((a, b)\), maka nilai \(\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x\) adalah…

(A) \(\dfrac{16}{18}\)

(B) \(\dfrac{15}{81}\)

(C) \(\dfrac{12}{81}\)

(D) \(\dfrac{9}{81}\)

(E) \(\dfrac{8}{81}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(f(x) = \dfrac{1}{3}x^3\:-\:2x^2 + 3x\)

titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(x^2\:-\:4x + 3 = 0\)

\((x\:-\:3)(x\:-\:1) = 0\)

\(x_1 = 3\) tidak berada dalam interval

\(x_2 = 1 \rightarrow y_2 = \dfrac{4}{3}\dotso \color{blue} \text{max}\)

Cek juga nilai ujung-ujung interval

\(f(-1) = \dfrac{1}{3}(-1)^3\:-\:2(-1)^2 + 3(-1)\)

\(f(-1) = -\dfrac{16}{3}\dotso \color{blue} \text{min}\)

\(f(2) = \dfrac{1}{3}(2)^3\:-\:2(2)^2 + 3(2)\)

\(f(2) = \dfrac{2}{3}\)

Titik maksimum berada di titik \((1, \dfrac{4}{3})\)

Nilai \(a = 1\) dan \(b = \dfrac{4}{3}\)

\(\int_a^b f'(x)\,\mathrm{d}x\)

\(\left.f(x)\right|_a^b\)

\(f(b) \:-\:f(a)\)

\(f( \dfrac{4}{3})\:-\:f(1)\)

\(\dfrac{100}{81}\:-\:\dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{100}{81}\:-\:\dfrac{108}{81}\)

\(-\dfrac{8}{81}\)

Soal 13

Jika sebuah kubus memiliki 8 buah titik sudut O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 2), E(2, 0, 2), F(2, 2, 2), G(0, 2, 2), maka…

(1) \(||\overrightarrow{OF}|| = 4\)

(2) \(\overrightarrow{OF}\) merupakan diagonal bidang kubus

(3) \(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} = \sqrt{8}\)

(4) Sinus sudut antara \(\overrightarrow{OF}\) dan \(\overrightarrow{AG}\) adalah \(\dfrac{\sqrt{8}}{3}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(\overrightarrow{OF} = (2, 2, 2)\:-\:(0, 0, 0) = (2, 2, 2)\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{4 + 4 + 4}\)

\(||\overrightarrow{OF}|| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{AG} = (0, 2, 2)\:-\:(2, 0, 0) = (-2, 2, 2)\)

\(||\overrightarrow{AG}|| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2}\)

\(||\overrightarrow{AG}|| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

\(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} =(2, 2, 2)\cdot (-2, 2, 2)\)

\(\overrightarrow{OF}\cdot \overrightarrow{AG} = -4 + 4 + 4 =4\)

\(\cos \theta = \dfrac{\overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{AG}}{||\overrightarrow{OF}||\cdot ||\overrightarrow{AG}||}\)

\(\cos \theta = \dfrac{4}{ 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}\)

\(\cos \theta = \dfrac{4}{ 12}\)

\(\cos \theta = \dfrac{1}{ 3}\)

\(\sin \theta = \dfrac{\sqrt{8}}{ 3}\)

Pernyataan (1) salah

Pernyataan (2) salah

Pernyataan (3) salah

Pernyataan (4) benar

Soal 14

Jika \(\sin 10^{\circ} = a\), maka…

(1) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\:4\sin 70^{\circ} = 2\)

(2) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} + 4\sin 70^{\circ} = 2a\)

(3) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} \:-\: 8\sin 70^{\circ} = 4\:-\:\dfrac{1}{a}\)

(4) \(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} \:-\: 16\sin 70^{\circ} = 8\:-\:\dfrac{1}{a}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

Pernyataan (1) benar

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\:4\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1\:-\:4\sin70^{\circ}\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2(\cos 80^{\circ}\:-\:\cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2(\cos 80^{\circ}\:-\:\frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 2\cos 80^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\cos (90^{\circ}\:-\:10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\cancel{\sin 10^{\circ}}}{\cancel{\sin 10^{\circ}}}\)

\(2\)

Pernyataan (2) salah

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}} + 4\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1 + 4\sin 70^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2(\cos 80^{\circ}\:-\: \cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2(\cos 80^{\circ}\:-\: \frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 \:-\:2\cos 80^{\circ} + 1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\:-\:2\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{2\:-\:2a}{a}\)

Pernyataan (3) benar

\(\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}\:-\: 8\sin 70^{\circ}\)

\(\dfrac{1\:-\:8\sin 70^{\circ}\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4(\cos 80^{\circ}\:-\:\cos 60^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4(\cos 80^{\circ}\:-\:\frac{1}{2})}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{1 + 4\cos 80^{\circ}\:-\:2}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4\cos 80^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4\sin 10^{\circ}\:-\:1}{\sin 10^{\circ}}\)

\(\dfrac{4a\:-\:1}{a}\)

\(4 \:-\:\dfrac{1}{a}\)

Soal 15

Jika \(f(x) = \dfrac{x^2\:-\:2}{x + 2}\), maka pernyataan berikut yang BENAR adalah…

(1) \(f'(-2) = 0\)

(2) \(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = 0\)

(3) Maksimum di \(x = -2\)

(4) Memiliki titik ekstrem di \(x = -2 + \sqrt{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(f(x) = \dfrac{x^2\:-\:2}{x + 2}\)

\(u = x^2 \:-\:2\)

\(u’ = 2x\)

\(v = x + 2\)

\(v’ = 1\)

\(f'(x) = \dfrac{u’v\:-\:uv’}{v^2}\)

\(f'(x) = \dfrac{2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2)(1)}{(x + 2)^2}\)

Pernyataan (1) benar

\(f'(-2) = \dfrac{2(-2)(-2 + 2)\:-\:((-2)^2\:-\:2)(1)}{(-2 + 2)^2}\)

\(f'(-2) = 0\)

Pernyataan (2) benar

\(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = \dfrac{2(-2\:-\:\sqrt{2})(-2\:-\:\sqrt{2} + 2)\:-\:((-2\:-\:\sqrt{2})^2\:-\:2)(1)}{(-2\:-\:\sqrt{2} + 2)^2}\)

\(f'(-2\:-\:\sqrt{2}) = 0\)

Pernyataan (3) salah

Pernyataan (4) benar

Titik stasioner diperoleh jika \(f'(x) = 0\)

\(\dfrac{2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2)(1)}{(x + 2)^2} = 0\)

\(2x(x + 2)\:-\:(x^2\:-\:2) = 0\)

\(2x^2 + 4x\:-\:x^2 + 2 = 0\)

\(x^2 + 4x + 2 = 0\)

\(x_1 = -2 + \sqrt{2}\)

\(x_2 = -2\:-\:\sqrt{2}\)

03/09/2022
Matematika IPA 2016

Soal 1

Jika \(O_1S = 4 \text { cm}\), \(O_2Q = \sqrt{3} \text{ cm}\), dan \(TP = 4 \text{ cm}\), maka panjang tali busur \(QR\) adalah… cm

(A) \(\sqrt{3}\)

(B) \(\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\)

(C) \(2\sqrt{3}\)

(D) \(3\)

(E) \(4\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Perhatikan segitiga sama kaki \(\text{QO}_2\text{R}\)

Gunakan aturan cosinus untuk menghitung panjang tali busur QR

\(\text{QR}^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2\:-\:2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 120^{\circ}\)

\(\text{QR}^2 = 3 + 3\:-\:6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\text{QR}^2 = 6 + 3\)

\(\text{QR}^2 = 9\)

\(\text{QR} = \sqrt{9} = 3\)

Soal 2

Misalkan α, β berturut-turut adalah banyak bilangan bulat k dan perkalian semua bilangan bulat k yang memenuhi \(f(x) = (-k + 2)x^2 + kx\:-\:2\) dan \(g(x) = 2x^2 + 2x \:-\:k + 2\) sehingga grafik kedua fungsi tersebut berpotongan di dua titik berbeda. Jika \(-3 \leq k \leq 1\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya α² + β dan β² + α adalah…

(A) \(x^2 \:-\:20x + 64 = 0\)

(B) \(x^2\:-\:42x + 117 = 0\)

(C) \(x^2\:-\:30x + 125 = 0\)

(D) \(x^2 \:-\:48x + 380 = 0\)

(E) \(x^2 \:-\:50x + 400 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Grafik kedua fungsi berpotongan, maka \(f(x) = g(x)\)

\((-k + 2)x^2 + kx\:-\:2 = 2x^2 + 2x \:-\:k + 2\)

\(-kx^2 + (k\:-\:2)x + k \:-\:4 = 0\)

Persamaan kuadrat ini memiliki dua akar real yang berbeda, maka berlaku:

\(\color{blue} b^2 \:-\:4ac > 0\)

\((k\:-\:2)^2 \:-\:4(-k)(k\:-\:4) > 0\)

\(k^2\:-\:4k + 4 + 4k(k \:-\:4) > 0\)

\(k^2\:-\:4k + 4 + 4k^2\:-\:16k > 0\)

\(5k^2\:-\:20k + 4 > 0\)

Pembuat nol:

Rumus abc, \(\color{blue} k_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 \:-\:4(5)(4)}}{2(5)}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 \:-\:80}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{320}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{20 \pm 8\sqrt{5}}{10}\)

\(k_{1,2} = \dfrac{10 \pm 4\sqrt{5}}{5}\)

\(k_1 = 3,79\)

\(k_2 = 0,21\)

Solusi:

\(k < 0,21 \text{ atau } k > 3,79\)

Solusi ini diiris dengan \(-3 \leq k \leq 1\)

Hasil irisannya adalah \(-3 \leq k < 0,21\)

Bilangan bulat yang terletak di dalam interval ini adalah −3, −2, −1, 0

α = 4 (ada empat buah bilangan bulat yang memenuhi)

β = 0 (hasil kali semua bilangan bulat yang memenuhi bernilai nol)

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4² + 0 = 16 dan 0² + 4 = 4 adalah:

\(x^2 \:-\:\text{JA}x + \text{HA} = 0\)

\(x^2 \:-\:(16 + 4)x + (16 \times 4) = 0\)

\(x^2 \:-\:20x + 64 = 0\)

Soal 3

Banyak pasangan \((x, y)\) yang memenuhi persamaan \(2x^2\:-\:|xy| + 1 = 0\) dan \((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\) adalah…

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(2x^2\:-\:|xy| + 1 = 0\)

\(|xy|\: \begin{cases}xy, & xy \geq 0\\-xy, & xy < 0\end{cases}\)

Kemungkinan 1

\(2x^2\:-\:xy + 1 = 0\dotso \color{blue} (1)\)

\(xy = 2x^2 + 1 \dotso \color{blue} (1)\)

\((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\dotso \color{blue} (2)\)

\(16x^2 \:-\:8xy + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 \:-\:8(2x^2 + 1) + 2y^2\:-\: 8 = 0\)

\(2y^2 \:-\: 16 = 0\)

\(y^2 \:-\: 4 = 0\)

\((y + 2)(y \:-\:2) = 0\)

\(y_1 = -2\)

\(y_2 = 2\)

Untuk \(y_1 = -2\)

\(-2x = 2x^2 + 1\)

\(0 = 2x^2 + 2x + 1\)

Karena nilai diskriminannya negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi

Untuk \(y_2 = 2\)

\(2x = 2x^2 + 1\)

\(0 = 2x^2 \:-\: 2x + 1\)

Karena nilai diskriminannya negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi

Kemungkinan 2

\(2x^2 + xy + 1 = 0\dotso \color{blue} (3)\)

\(xy = -2x^2 \:-\:1 \dotso \color{blue} (3)\)

\((4x\:-\:y)^2 + y^2 = 8\dotso \color{blue} (2)\)

\(16x^2 \:-\:8xy + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 \:-\:8(-2x^2 \:-\:1) + y^2 + y^2 = 8\)

\(16x^2 + 16x^2 + 8 + 2y^2 \:-\:8 = 0\)

\(32x^2 + 2y^2 = 0\)

\(16x^2 + y^2 = 0\)

\((4x + y)(4x\:-\:y) = 0\)

\(4x + y = 0 \rightarrow y = -4x\)

\(4x\:-\:y = 0 \rightarrow y = 4x\)

Untuk \(y = 4x\) substitusikan ke persamaan (3)

\(x(4x) = -2x^2 \:-\:1\)

\(4x^2 = -2x^2 \:-\:1\)

\(6x^2 = -1\)

\(x^2 = -\dfrac{1}{6}\)

Tidak ada nilai x yang memenuhi

Untuk \(y = -4x\) substitusikan ke persamaan (3)

\(x(-4x) = -2x^2 \:-\:1\)

\(-4x^2 = -2x^2 \:-\:1\)

\(-2x^2 = -1\)

\(x^2 = \dfrac{1}{2}\)

\(x = \pm \sqrt{1}{2}\)

\(x = \pm \dfrac{1}{2} \sqrt{2}\)

\(x_1 = \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \rightarrow y_1 = -2\sqrt{2}\)

\(x_2 = -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \rightarrow y_2 = 2\sqrt{2}\)

Jadi, terdapat 2 pasang (x, y) yang memenuhi

Soal 4

Jika suku banyak \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) dibagi \(x^2\:-\:x\) bersisa \(x + 2\) dan jika \(xf(x) + g(x)\) dibagi \(x^2 + x \:-\:2\) bersisa \(x\:-\:4\), maka \(f(1) = \dotso\)

(A) \(\dfrac{3}{4}\)

(B) \(\dfrac{1}{2}\)

(C) \(0\)

(D) \(-\dfrac{1}{2}\)

(E) \(-\dfrac{3}{4}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\dfrac{g(x)}{f(x)} = x(x\:-\:1)\cdot H(x) + (x + 2)\)

Untuk \(x = 1\)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 0 + (1 + 2)\)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3\dotso \color{blue} (1)\)

\(xf(x) + g(x) = (x + 2)(x\:-\:1) \cdot H(x) + (x\:-\:4)\)

Untuk \(x = 1\)

\(1\cdot f(1) + g(1) = 0 + (1\:-\:4)\)

\(f(1) + g(1) = -3\)

\(g(1) = 3\:-\:f(1)\dotso \color{blue} (2)\)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

\(\dfrac{g(1)}{f(1)} = 3\)

\(\dfrac{3\:-\:f(1)}{f(1)} = 3\)

\(3\:-\:f(1) = 3f(1)\)

\(3 = 4f(1)\)

\(f(1) = \dfrac{3}{4}\)

Soal 5

Jika \(f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\) dan \(g(x) = \dfrac{2x\:-\:1}{3}\), maka nilai \(x\) yang memenuhi \(|f(x)\:-\:g(x)| < 2\) adalah …

(A) \(-7 \leq x \leq 17\)

(B) \(x < -7 \text{ atau } x > 17\)

(C) \(x \leq -7 \text{ atau } x \geq 17\)

(D) \(-7 < x < 17\)

(E) \(-17 < x < 7\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(|f(x)\:-\:g(x)| < 2\)

\(\left|\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\:-\:\dfrac{2x\:-\:1}{3}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{3x + 3\:-\:(4x\:-\:2)}{6}\right| < 2\)

\(\left|\dfrac{-x + 5}{6}\right| < 2\)

\(-2<\dfrac{-x + 5}{6}< 2\)

\(-12 < -x + 5 < 12\)

\(-12\:-\:5 < -x < 12\:-\:5\)

\(-17 < -x < 7\)

\(17 > x > -7\)

\(-7 < x < 17\)

Soal 6

Misalkan \(a, b, c\) berturut-turut adalah tiga bilangan asli yang membentuk barisan geometri dengan \(\dfrac{b}{a}\) bilangan bulat. Jika rata-rata dari \(a, b, c\) adalah \(b + 1\), maka \(4\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + \dfrac{b}{a}\:-\:a + 1 = \dotso\)

(A) \(-2\)

(B) \(-1\)

(C) \(0\)

(D) \(1\)

(E) \(2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

Misal tiga bilangan tersebut adalah \(a, ar, ar^2\)

Rata-rata dari ketiga bilangan tersebut adalah:

\(\dfrac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 1\)

\(a + ar + ar^2 = 3ar + 3\)

\(a \:-\:2ar + ar^2 = 3\)

Misalkan \(a = 3\)

\(3 \:-\:6r + 3r^2 = 3\)

\(3r^2\:-\:6r = 0\)

\(3r(r\:-\:2) = 0\)

\(r = 2\)

Ketiga bilangan tersebut adalah \(3, 6, 12\)

\(4\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 + \dfrac{b}{a}\:-\:a + 1\)

\(4\left(\dfrac{3}{6}\right)^2 + \dfrac{6}{3}\:-\:3 + 1\)

\(1 + 2 \:-\:3 + 1\)

\(1\)

Soal 7

Untuk \(0 < x < \pi\), jika \(\lbrace x \in R\:| \: a < x < b \rbrace\) adalah himpunan penyelesaian dari \(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < \sec^2 x\), maka \(b \:-\:a = \dotso\)

(A) \(\dfrac{2\pi}{8}\)

(B) \(\dfrac{3\pi}{8}\)

(C) \(\dfrac{4\pi}{8}\)

(D) \(\dfrac{6\pi}{8}\)

(E) \(\pi\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Identitas trigonometri yang digunakan:

\(\color{blue} 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\color{blue} \cos 2x = 2\cos^2 x \:-\:1\)

\(\color{blue} \cos 2x = 1\:-\:2\sin^2 x \)

\(\color{blue} \sin 2x = 2\sin x \cos x\)

\(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < \sec^2 x\)

\(2\cos x(\cos x \:-\: \sin x) + \tan^2 x < 1 + \tan^2 x\)

\(2\cos^2 x \:-\:2\sin x \cos x \:-\:1 < 0\)

\(2\cos^2 x \:-\:1 \:-\:\sin 2x < 0\)

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x < 0\)

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x < 0\)

Pembuat nol:

\(\cos 2x \:-\:\sin 2x = 0\)

\(\cos 2x = \sin 2x\)

\(\cos 2x = \cos (\frac{\pi}{2}\:-\:2x)\)

\(2x = \frac{\pi}{2}\:-\:2x + k\cdot 2\pi\)

\(4x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{8} + k \cdot \frac{\pi}{2}\)

\(k = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{8}\)

\(k = 1 \rightarrow x = \frac{5\pi}{8}\)

Himpunan penyelesaian:

\(\lbrace x \in R\:| \: a < x < b \rbrace\)

\(\lbrace x \in R\:| \: \dfrac{\pi}{8} < x < \dfrac{5\pi}{8} \rbrace\)

\(b \:-\:a = \dfrac{5\pi}{8}\:-\:\dfrac{\pi}{8}\)

\(b \:-\:a = \dfrac{4\pi}{8}\)

Soal 8

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \left(\dfrac{a}{t^2}\:-\: \dfrac{\sin 6t}{t^3 \cos^2 3t}\right) = -18\), maka \(a = \dotso\)

(A) 6

(B) 12

(C) 18

(D) 24

(E) 30

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \left(\dfrac{a}{t^2}\:-\: \dfrac{\sin 6t}{t^3 \cos^2 3t}\right)\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at\cos^2 3t \:-\:2 \sin 3t \cos 3t}{t^3 \cos^2 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{\cos 3t (at \cos 3t \:-\:2\sin 3t)}{t^3 \cos^2 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at \cos 3t \:-\:2\sin 3t}{t^3 \cos 3t}\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{at\:-\:2\tan 3t}{t^3}\)

Gunakan L’hopital’s rules

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{a\:-\:2\cdot 3\cdot \sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{a\:-\:6\sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

Pilih \(a = 6\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{6\:-\:6\sec^2 3t}{3t^2}=-18\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{6(1\:-\:\sec^2 3t)}{3t^2}=-18\)

Note: \(\color{blue} 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow 0} \dfrac{2(-\tan^2 3x)}{t^2}=-18\)

\(-2(3)^2=-18\)

\(-18 =-18\)

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi adalah 6

03/09/2022
Matematika IPA 2015

Soal 1

Diketahui \(f(x) = \sin[\sin^3(\cos (x))]\). Jika \(\dfrac{f^{”}(0)}{\sin (2)} = A\cos (\sin^3(1))\sin (1)\), maka \(A = \dotso\)

(A) \(\dfrac{3}{2}\)

(B) \(\dfrac{1}{2}\)

(C) \(0\)

(D) \(-\dfrac{1}{2}\)

(E) \(-\dfrac{3}{2}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

\(f(x) = \sin[\sin^3(\cos (x))]\)

\(f'(x) = \cos[\sin^3(\cos (x))]\cdot 3\sin^2(\cos (x)) \cdot \cos (\cos (x))(-\sin (x))\)

\(f'(x) = -3\cdot \cos (\cos (x)) \cdot \sin (x)\cdot \cos[\sin^3(\cos (x))]\cdot \sin^2(\cos (x))\)

\(f'(x) = -3[u\cdot v \cdot w \cdot z]\)

\(f^{”}(x) = -3[u’\cdot v \cdot w \cdot z + u\cdot v’ \cdot w \cdot z + u\cdot v \cdot w’ \cdot z + u\cdot v \cdot w \cdot z’]\)

\(\color{blue} u = \cos (\cos (x))\)

\(\color{blue} u’ = -\sin (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} u'(0) = -\sin (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(\color{blue} v = \sin (x)\)

\(\color{blue} v’ = \cos (x)\)

\(\color{blue} v'(0) = \cos 0 = 1\)

\(\color{blue} w = \cos[\sin^3(\cos (x))]\)

\(\color{blue} w’ = -\sin [\sin^3(\cos (x))]\cdot 3\sin^{2}(\cos (x)) \cdot \cos (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} w’ (0) = -\sin [\sin^3(\cos (0))]\cdot 3\sin^{2}(\cos (0)) \cdot \cos (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(\color{blue} z = \sin^2(\cos (x))\)

\(\color{blue} z’ = 2\sin (\cos (x))\cdot \cos (\cos (x)) \cdot (-\sin (x))\)

\(\color{blue} z'(0) = 2\sin (\cos (0))\cdot \cos (\cos (0)) \cdot (-\sin (0)) = 0\)

\(f^{”}(0) = -3[u'(0)\cdot v(0) \cdot w(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v'(0) \cdot w(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v(0) \cdot w'(0) \cdot z(0) + u(0)\cdot v(0)\cdot w(0)\cdot z'(0)]\)

\(f^{”}(0) = -3[0 + u(0)\cdot 1 \cdot w(0) \cdot z(0) + 0 + 0]\)

\(f^{”}(0) = -3[u(0)\cdot w(0) \cdot z(0)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos (\cos (0))\cdot \cos(\sin^3(\cos (0))) \cdot \sin^2(\cos (0))]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos (1)\cdot \cos(\sin^3(1)) \cdot \sin^2(1)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \sin (1) \cdot \cos (1)]\)

\(f^{”}(0) = -3[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \sin (2)]\)

\(f^{”}(0) = -\dfrac{3}{2}[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)\cdot \sin (2)]\)

\(\dfrac{f^{”}(0) }{\sin (2)} = -\dfrac{3}{2}[\cos(\sin^3(1)) \cdot \sin (1)]\)

Karena, \(\dfrac{f^{”}(0)}{\sin (2)} = A\cos (\sin^3(1))\sin (1)\), maka \(A = -\dfrac{3}{2}\)

Soal 2

Banyaknya \(\theta\) dengan \(0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}\) yang memenuhi \(^2\log {(3\sin \theta)} = 2\cdot ^2\log {(-3 \cos \theta)} + 1\) adalah …

(A) 4

(B) 3

(C) 2

(D) 1

(E) 0

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

\(^2\log {(3\sin \theta)} = 2\cdot ^2\log {(-3 \cos \theta)} + 1\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {(-3 \cos \theta)^2} + \:^2\log {2}\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {2(9 \cos^2\theta)}\)

\(^2\log {(3\sin \theta)} = \:^2\log {(18 \cos^2\theta)}\)

\(3\sin \theta = 18 \cos^2\theta\)

\(\cancel{3}\sin \theta = \cancelto{6}{18}(1\:-\:\sin^2\theta)\)

\(\sin \theta = 6\:-\:6\sin^2\theta\)

\(6\sin^2\theta + \sin \theta \:-\:6 = 0\)

Gunakan rumus abc untuk menentukan akar-akar persamaan kuadratnya.

\(\sin \theta = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 \:-\:4(6)(-6)}}{2(6)}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 144}}{12}\)

\(\sin \theta = \dfrac{-1 \pm \sqrt{145}}{12}\)

\(\sin \theta = -1,086\)

\(\sin \theta = +0,92\)

Karena \(-1 \leq \sin \theta \leq 1\), maka yang memenuhi adalah \(\sin \theta = +0,92\)

Karena \(\sin \theta\) bernilai positif, maka \(\theta\) dapat berada di kuadran I dan II, sehingga banyaknya \(\theta\) yang memenuhi ada 2.

Soal 3

Jika bilangan \(\log {(a^3b^7)}, \log {(a^5b^{12})}\), dan \(\log {(a^8b^{15})}\) merupakan tiga suku pertama dari barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah \(\log {(b^n)}\), maka nilai \(n\) adalah …

(A) 82

(B) 108

(C) 112

(D) 146

(E) 152

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Suku-suku yang berturutan dalam barisan aritmetika memiliki beda yang sama.

\(\text{U}_3 \:-\: \text{U}_2 = \text{U}_2 \:-\: \text{U}_1\)

\(\log {(a^8b^{15})} \:-\: \log {(a^5b^{12})} = \log {(a^5b^{12})} \:-\: \log {(a^3b^7)}\)

\(\log \left(\dfrac{a^8b^{15}}{a^5b^{12}}\right) = \log \left(\dfrac{a^5b^{12}}{a^3b^7} \right)\)

\(\log \left( a^3b^3\right) = \log \left(a^2 b^5\right)\)

\(a^3b^3 = a^2 b^5\)

\(a = b^2\)

\(\color{blue}\text{U}_{\text{n}} = \text{a} + (\text{n} \:-\:1)\text{b}\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log {(a^5b^{12})}\:-\:\log {(a^3b^7)}\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log \left(\dfrac{a^5b^{12}}{a^3b^7}\right)\)

\(\color{blue} \text{beda} = \log (a^2b^5)\)

\(\text{U}_{12} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} + (12\:-\:1)\log (a^2b^5) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} + (11)\log (a^2b^5) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} +\log (a^2b^5)^{11} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7)} +\log (a^{22}b^{55}) = \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^3b^7\cdot a^{22}b^{55})}= \log {(b^n)}\)

\(\log {(a^{25}b^{62})} = \log {(b^n)}\)

Substitusi nilai \(a = b^2\)

\(\log {[(b^2)^{25}b^{62}]} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(b^{50}b^{62})} = \log {(b^n)}\)

\(\log {(b^{112)}} = \log {(b^n)}\)

\(n = 112\)

Soal 4

Jika \(k\) adalah bilangan asli terkecil sedemikian sehingga dua fungsi kuadrat \(f(x) = (k\:-\:1)x^2 + kx \:-\:1\) dan \(g(x) = (k\:-\:2)x^2 + x + 2k\) berpotongan di dua titik yang berbeda \((x_1, y_1)\) dan \((x_2, y_2)\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1 + x_2\) dan \(y_1 + y_2\) adalah …

(A) \(x^2 \:-\:1 = 0\)

(B) \(x^2 + 4x \:-\:5 = 0\)

(C) \(x^2 \:-\:10x = 0\)

(D) \(x^2 \:-\:6x \:-\:7 = 0\)

(E) \(x^2 \:-\:26x \:-\:56 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Kedua fungsi berpotongan,

\(f(x) = g(x)\)

\((k\:-\:1)x^2 + kx \:-\:1 = (k\:-\:2)x^2 + x + 2k\)

\((k\:-\:1)x^2 \:-\: (k\:-\:2)x^2 + kx \:-\:x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\((k\:-\:1\:-\:k + 2)x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\(\color{red} x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

Karena kedua fungsi berpotongan di dua titik yang berbeda, maka \(\text{D} > 0\)

\(\text{b}^2\:-\:4\text{a}\text{c} > 0\)

\((k\:-\:1)^2 \:-\:4(1)(-1\:-\:2k) > 0\)

\(k^2 \:-\:2k + 1 + 4 + 8k > 0\)

\(k^2 + 6k + 5 > 0\)

\((k + 1)(k + 5) > 0\)

\(\text{HP} = \lbrace x | x < -5 \text{ atau } x > -1, x \in \text{R} \rbrace\)

Karena \(k\) adalah bilangan asli terkecil sehingga \(f(x)\) dan \(g(x)\) adalah fungsi kuadrat, maka pilih \(k = 3\)

Note:

Jika pilih \(k = 1\) maka \(f(x)\) bukan fungsi kuadrat

Jika pilih \(k = 2\) maka \(g(x)\) bukan fungsi kuadrat

Selanjutnya substitusikan nilai \(k = 3\) pada persamaan \(\color{red} x^2 + (k\:-\:1)x \:-\:1\:-\:2k = 0\)

\(x^2 + 2x \:-\:7 = 0\)

\(x^2 + 2x = 7\)

\(x^2 + 2x + \color{red} 1 \color{black} = 7 + \color{red} 1\)

\((x + 1)^2 = 8\)

\(x + 1 = \pm \sqrt{8}\)

\(x_{1, 2} = -1\pm \sqrt{8}\)

\(x_1 + x_2 = -1 + \sqrt{8} + (-1 \:-\: \sqrt{8})\)

\(\color{blue} x_1 + x_2 = -2\)

Fungsi \(y = f(x) = 2x^2 + 3x \:-\:1\)

Untuk \(x_1 = -1 + \sqrt{8}\) maka \(y_1 = 2(-1 + \sqrt{8})^2 + 3(-1 + \sqrt{8}) \:-\:1\)

\(y_1 = 2(1 \:-\:2\sqrt{8} + 8) \:-\:3 + 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_1 = 2 \:-\:4\sqrt{8} + 16\:-\:3 + 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_1 = 14 \:-\:\sqrt{8}\)

Untuk \(x_2 = -1 \:-\: \sqrt{8}\) maka \(y_2 = 2(-1 \:-\: \sqrt{8})^2 + 3(-1 \:-\: \sqrt{8}) \:-\:1\)

\(y_2 = 2(1 + 2\sqrt{8} + 8) \:-\:3 \:-\: 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_2 = 2 + 4\sqrt{8} + 16\:-\:3 \:-\: 3\sqrt{8} \:-\:1\)

\(y_2 = 14 + \sqrt{8}\)

\(y_1 + y_2 = 14 \:-\:\sqrt{8} + 14 + \sqrt{8}\)

\(\color{blue} y_1 + y_2 = 28\)

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(\color{blue} x_1 + x_2 = -2\) dan \(\color{blue}y_1 + y_2 = 28\) adalah:

\(x^2\:-\:\text{(jumlah akar)}\cdot x + \text{hasil kali akar} = 0\)

\(x^2\:-\:(-2 + 28)x + (-2\times 28) = 0\)

\(x^2 \:-\:26x \:-\:56 = 0\)

Soal 6

Diberikan kubus ABCD. EFGH. Titik P terletak di rusuk CG sedemikian sehingga PG = 2CP. Titik Q dan R berturut-turut berada di tengah rusuk AB dan AD. Bidang Ω adalah bidang yang melalui titik P, Q, dan R. Jika α adalah sudut yang terbentuk antara bidang Ω dan bidang ABCD, maka nilai \(\tan \alpha = \dotso\)

(A) \(\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(B) \(\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(C) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{9}\)

(D) \(-\dfrac{2\sqrt{2}}{9}\)

(E) \(-1\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Anggap panjang rusuk kubus = 1 satuan

Lihat segitiga siku-siku PCT,

\(\angle \text{PTC} = \alpha\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{PC}}{\text{TC}}\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\text{CG}\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\cdot 1\)

\(\text{PC} = \dfrac{1}{3}\)

\(\text{TC} = \dfrac{3}{4}\text{AC}\)
\(\text{TC} = \dfrac{3}{4}\sqrt{2}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{PC}}{\text{TC}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4}{9\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4}{9\sqrt{2}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{4\sqrt{2}}{18}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{2}{9}\sqrt{2}\)

Soal 7

Diberikan sistem persamaan

\(x + y^2 = y^3\)

\(y + x^2 = x^3\)

Banyaknya pasangan bilangan real \((x, y)\) yang memenuhi sistem di atas adalah …

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) tak hingga

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(x + y^2 = y^3 \rightarrow x = y^3\:-\:y^2\)

\(y + x^2 = x^3 \rightarrow y = x^3 \:-\:x^2\)

Pasangan bilangan real \((x, y)\) memiliki beberapa kemungkinan, yaitu:

Kemungkinan 1 : \(x = y\)
\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(y = y^3\:-\:y^2\)

\(0 = y^3\:-\:y^2 \:-\:y\)

\(0 = y(y^2\:-\:y \:-\:1)\)

\(y = 0\) atau \(y^2\:-\:y \:-\:1 = 0\)

Untuk \(y = 0\) maka \(x = 0\), sehingga didapat solusi \((0, 0)\)

Untuk \(y^2\:-\:y \:-\:1 = 0\),

\(y_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 \:-\:4(1)(-1)}}{2(1)}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)

\(y_{1, 2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

sehingga didapat solusi \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) dan \(\left(\dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}\right)\)

Kemungkinan 2 : \(x = -y\)
\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(-y = y^3\:-\:y^2\)

\(0 = y^3\:-\:y^2 + y\)

\(0 = y(y^2 \:-\:y + 1)\)

\(y = 0\) atau \(y^2\:-\:y + 1 = 0\)

Untuk \(y = 0\), maka \(x = 0\), sehingga didapat solusi \((0, 0)\) (sudah ada)

Untuk \(y^2\:-\:y + 1 = 0\), tidak ditemukan solusi real karena nilai diskriminannya kurang dari nol.

Cek:

\(b^2 \:-\:4ac = (-1)^2 \:-\:4(1)(1) < 0\)

Kemungkinan 3 : \(x \neq y\)

Untuk \(x \neq y\) tidak ada solusinya karena tidak memenuhi sifat simetris kedua persamaan.

\(x = y^3\:-\:y^2\)

\(y = x^3 \:-\:x^2\)

Jadi banyaknya pasangan bilangan real ada 3 saja, yaitu \((0, 0)\), \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)\) dan \(\left(\dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 \:-\: \sqrt{5}}{2}\right)\)

Soal 8

Untuk \(a > 0\), luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\), garis \(y = x\:-\:a\) dan garis \(x = a + 2\) adalah …

(A) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 2} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(B) \(\int_{a + 1}^{a + 2} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(C) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 1} (-(x\:-\:a)^2\:-\:(x\:-\:a) + 2),\mathrm{d}x\)

(D) \(\int_{a\:-\:2}^{a + 1} ((x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a) \:-\: 2),\mathrm{d}x\)

(E) \(\int_{a + 1}^{a + 2} ((x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a) \:-\: 2),\mathrm{d}x\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Langkah 1 Menentukan titik potong garis \(y = x\:-\:a\) dan kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\).

Substitusikan \(x\:-\:a = y\) ke persamaan kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\)

\(y = -y^2 + 2\)

\(y^2 + y \:-\:2 = 0\)

\((y + 2)(y\:-\:1) = 0\)

\(y = -2\) atau \(y = 1\)

Untuk \(y = -2\) maka \(x_1 = a\:-\:2\)

Untuk \(y = 1\) maka \(x_2 = a + 1\)

Langkah 2 Menggambar

Kurva \(y = -(x\:-\:a)^2 + 2\) berbentuk parabola yang terbuka ke bawah. Koordinat titik puncak parabola berada di titik \((a, 2)\).

Langkah 3 Menentukan luas daerah yang diarsir warna hijau

Batas integral dari \(a + 1\) sampai dengan \(a + 2\).

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [y_2\:-\:y_1],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [x\:-\:a\:-\:(-(x\:-\:a)^2 + 2)],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [x\:-\:a + (x\:-\:a)^2 \:-\: 2)],\mathrm{d}x\)

\(\int_{a + 1}^{a + 2} [ (x\:-\:a)^2 + (x\:-\:a)\:-\: 2)],\mathrm{d}x\)

03/09/2022
Matematika IPA 2014

Soal 1

Jika \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(2x^2 + x \:-\:2 = 0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) adalah…

(A) \(32x^2 + 101 x \:-\:124 = 0\)

(B) \(32x^2 \:-\:101 x + 124 = 0\)

(C) \(-32x^2 + 101 x \:-\:124 = 0\)

(D) \(-32x^2 \:-\:101x \:-\:124 = 0\)

(E) \(-32x^2 + 101x + 124 = 0\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: –

\(2x^2 + x \:-\:2 = 0\) memiliki akar-akar \(m\) dan \(n\)

\(\color{blue} m + n = -\dfrac{b}{a}\)

\(m + n = -\dfrac{1}{2}\)

\(\color{blue} mn = \dfrac{c}{a}\)

\(mn = \dfrac{-2}{-2} = -1\)

\(\color{blue} m^2 + n^2 = (m + n)^2 \:-\:2mn\)

\(m^2 + n^2 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \:-\:2(-1)\)

\(m^2 + n^2 = \dfrac{1}{4} + 2\)

\(m^2 + n^2 = \dfrac{9}{4}\)

\(\color{blue} m^3 + n^3 = (m + n)^3\:-\:3mn(m + n)\)

\(m^3 + n^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3\:-\:3(-1)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{3}{2}\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{1}{8}\:-\:\dfrac{12}{8}\)

\(m^3 + n^3 = -\dfrac{13}{8}\)

\(\color{blue} m^5 + n^5 = (m^3 + n^3)(m^2 + n^2)\:-\:(mn)^2(m + n)\)

\(m^5 + n^5 = \left( -\dfrac{13}{8}\right)\left(\dfrac{9}{4}\right)\:-\:(-1)^2\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(m^5 + n^5 = -\dfrac{101}{32}\)

Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(m^3 \:-\:n^2\) dan \(n^3\:-\:m^2\) dapat dibentuk dengan rumus:

\(\color{blue} x^2 \:-\:\text{JA}x + \text{HA} = 0\)

\(\text{JA} = m^3 \:-\:n^2 + n^3\:-\:m^2\)

\(\text{JA} = m^3 + n^3 \:-\: (m^2 + n^2)\)

\(\text{JA} = -\dfrac{13}{8} \:-\: \dfrac{9}{4}\)

\(\text{JA} = -\dfrac{31}{8}\)

\(\text{HA} = (m^3 \:-\:n^2)(n^3\:-\:m^2)\)

\(\text{HA} = (mn)^3\:-\:(m^5 + n^5) + (mn)^2\)

\(\text{HA} = (-1)^3\:- \:\left(-\dfrac{101}{32}\right)+ (-1)^2\)

\(\text{HA} = \dfrac{101}{32}\)

Persamaan kuadrat yang baru:

\(x^2 \:-\:\left(-\dfrac{31}{8}\right)x + \dfrac{101}{32} = 0\)

\(32x^2 + 124x + 101 = 0\)

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah \(\color{purple} 32x^2 + 124x + 101 = 0\)

Soal 2

Diketahui \(p(x)\) dan \(g(x)\) adalah dua suku banyak yang berbeda, dengan \(p(10) = m\) dan \(g(10) = n\). Jika \(p(x)\cdot h(x) = \left(\dfrac{p(x)}{g(x)}\:-\:1\right)(p(x) + g(x))\), \(h(10) = -\dfrac{16}{15}\), maka nilai maksimum dari \(|m + n| = \dotso\)

(A) 8

(B) 6

(C) 4

(D) 2

(E) 0

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

\(p(10)\cdot h(10) = \left(\dfrac{p(10)}{g(10)}\:-\:1\right)(p(10) + g(10))\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m}{n}\:-\:1\right)(m + n)\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \left(\dfrac{m\:-\:n}{n}\right)(m + n)\)

\(m\left( -\dfrac{16}{15}\right) = \dfrac{m^2\:-\:n^2}{n}\)

\(-16mn = 15(m^2\:-\:n^2)\)

\(0 = 15m^2 + 16mn \:-\:15n^2\)

\(0 = (5m \:-\: 3n)(3m + 5n)\)

\(5m \:-\: 3n = 0\)

\(5m = 3n\)

\(\dfrac{m}{n} = \dfrac{3}{5}\)

Nilai \(m = 3\) dan \(n = 5\)

\(|m + n| = |3 + 5| = 8\)

\(3m + 5n = 0\)

\(3m = -5n\)

\(\dfrac{m}{n} = -\dfrac{5}{3}\)

Nilai \(m = -5\) dan \(n = 3\)

\(|m + n| = |-5 + 3| = 2\)

Jadi, nilai maksimum \(\color{purple}|m + n| = 8\)

Soal 3

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\) adalah…

(A) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

(B) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{4}{5}\rbrace\)

(C) \(\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}\rbrace\)

(D) \(\lbrace x \in R |\: x \leq -1 \text{ atau } x > \dfrac{1}{2}\rbrace\)

(E) \(\lbrace x \in R |\: x \leq \dfrac{4}{5}, x\neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Syarat numerus:

\(|x + 1| > 0\)

\(x \in R, x \neq 0\)

\(|2x \:-\:1| > 0\)

\(x \in R, x \neq \dfrac{1}{2}\)

\(\log|x + 1| \geq \log 3 + \log |2x \:-\:1|\)

\(\log|x + 1| \geq \log 3|2x \:-\:1|\)

\(|x + 1| \geq 3|2x\:-\:1|\)

kuadratkan kedua ruas,

\((x + 1)^2 \geq 9(2x\:-\:1)^2\)

\(x^2 + 2x + 1 \geq 9(4x^2 \:-\:4x + 1)\)

\(x^2 + 2x + 1 \geq 36x^2\:-\:36x + 9\)

\(0 \geq 35x^2 \:-\:38x + 8\)

\(0 \geq (5x \:-\: 4)(7x \:-\: 2)\)

pembuat nol:

\(5x \:-\: 4 = 0 \rightarrow x = \dfrac{4}{5}\)

\(7x \:-\: 2 = 0 \rightarrow x = \dfrac{2}{7}\)

Daerah penyelesaian di atas kemudian diiris dengan syarat numerus, sehingga diperoleh himpunan penyelesaian:

\(\color{purple}\lbrace x \in R |\: \dfrac{2}{7} \leq x \leq \dfrac{4}{5}, x \neq \dfrac{1}{2}\rbrace\)

Soal 4

Diketahui suatu barisan aritmetika \(\lbrace a_n \rbrace\) memiliki suku awal \(a > 0\) dan \(2a_{10} = 5a_{15}\). Nilai \(n\) yang memenuhi agar jumlah \(n\) suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah…

(A) 16

(B) 17

(C) 18

(D) 19

(E) 20

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah \(\color{blue} \text{U}_n = a + (n\:-\:1)b\)

\(2a_{10} = 5a_{15}\)

\(2(a + 9b) = 5(a + 14b)\)

\(2a + 18b = 5a + 70b\)

\(-3a = 52b\)

\(a = -\dfrac{52}{3}b\)

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{52}{-3}\)

\(a = 52\) dan \(b = -3\)

Barisan aritmetika tersebut adalah: \(52, 49, 46, 43, 40, \dotso\)

Jumlah n suku pertama dari barisan tersebut akan maksimum jika penjumlahannya dari suku pertama sampai dengan suku positif yang terakhir.

Suku positif terakhir:

\(\text{U}_n > 0\)

\(a + (n\:-\:1)b > 0\)

\(52 + (n\:-\:1)(-3) > 0\)

\(52 \:-\:3n + 3 > 0\)

\(55 \:-\:3n > 0\)

\(-3n > -55\)

\(n < \dfrac{55}{3}\)

\(n < 18,333\)

Suku positif terakhir adalah suku ke-18

Jadi, nilai \(n\) yang memenuhi adalah 18

Soal 5

Misalkan diberikan vektor \(\vec{b} = (y, -2z, 3x)\) dan \(\vec{c} = (2z, 3x, -y)\). Diketahui vektor \(\vec{a}\) membentuk sudut tumpul dengan sumbu \(y\) dan \(||\vec{a}|| = 2 \sqrt{3}\). Jika \(\vec{a}\) membentuk sudut yang sama dengan \(\vec{b}\) maupun \(\vec{c}\), dan tegak lurus dengan \(\vec{d} = (1, -1, 2)\), maka \(\vec{a} = \dotso\)

(A) \((1, 0, -1)\)

(B) \((-2, -2, -2)\)

(C) \((2, 0, -2)\)

(D) \((-2, 0, 2)\)

(E) \((2, -2, -2)\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Perhatikan bahwa panjang vektor \(\vec{a}\) haruslah \(2 \sqrt{3}\)

Dari pilihan jawaban yang tersedia terdapat dua opsi jawaban (B) \((-2, -2, -2)\) atau (E) \((2, -2, -2)\), karena vektor-vektor tersebut memiliki panjang \(2 \sqrt{3}\).

Diketahui juga bahwa \(\vec{a}\) tegak lurus dengan \(\vec{d}\)

Syarat dua buah vektor saling tegak lurus adalah \(\vec{a}\cdot \vec{d} = 0\)

Opsi B salah,

\((-2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) \neq 0\)

Opsi E benar,

\((2, -2, -2)\cdot (1, -1, 2) = 0\)

Jadi, vektor \(\color{purple} \vec{a} = (2, -2, -2)\)

Soal 6

Banyaknya nilai x dengan \(0 \leq x \leq 2014\pi\) yang memenuhi \(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\) adalah…

(A) 1006

(B) 1007

(C) 1008

(D) 2012

(E) 2014

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: B

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\cos^2 (\frac{\pi}{2}) = 0\)

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:4\left(\dfrac{\cos x + 1}{2}\right) = 0\)

\(\cos^3 x + \cos^2 x \:-\:2\cos x \:-\: 2 = 0\)

\((\cos x + 1)(\cos^2 x \:-\:2) = 0\)

\(\cos x + 1 = 0\)

\(\cos x = -1\)

\(\cos x = \cos \pi\)

Penyelesaian 1

\(x = \pi + k\cdot 2\pi\)

\(k = 0 \rightarrow x = \pi\)

\(k = 1 \rightarrow x = 3\pi\)

\(k = 2 \rightarrow x = 5\pi\)

\(k = 3 \rightarrow x = 7\pi\)

\(k = 4 \rightarrow x = 9\pi\)

\(\dotso\)

\(k =1006 \rightarrow x = 2013\pi\)

Perhatikan bahwa nilai-nilai x yang memenuhi membentuk barisan aritmetika.

\(\text{U}_n = a + (n \:-\:1)b\)

\(2013\pi = \pi + (n\:-\:1)2\pi\)

\(2013 = 1 + 2n \:-\:2\)

\(2013 = 2n\:-\:1\)

\(2014 = 2n\)

\(n = 1007\)

Penyelesaian 2

\(x = -\pi + k\cdot 2\pi\)

\(k = 1 \rightarrow x = \pi\)

\(k = 2 \rightarrow x = 3\pi\)

\(k = 3 \rightarrow x = 5\pi\)

\(k = 4 \rightarrow x =7\pi\)

\(\dotso\)

\(k =1007 \rightarrow x = 2013\pi\)

solusi yang diperoleh dari penyelesaian 2 ini sudah ada di penyelesaian 1

Jadi, terdapat 1007 nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Soal 7

Semua nilai x yang memenuhi \(^{\sin x}\log \left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right) = 2\) adalah…

(A) \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(B) \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(C) \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(D) \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

(E) \(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi,\:k \text{ bilangan bulat}\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: A

Pada persamaan logaritma, terdapar syarat basis dan syarat numerus.

Syarat basis:

\(\sin x > 0 \text{ dan } \sin x \neq 1\)

Syarat numerus:

\(\sin 2x > 0\)

Selanjutnya, ubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponen.

\(\color{blue} ^a\log b = c \rightarrow b = a^c\)

\(\dfrac{1}{2}\sin 2x = \sin^2 x\)

\(\dfrac{1}{2}\cdot 2 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)

\(\sin x \cdot \cos x = \sin^2 x\)

\(0 = \sin^2 x \:-\: \sin x \cdot \cos x\)

\(0 = \sin x (\sin x \:-\:\cos x)\)

\(\sin x = 0 \text{ tidak memenuhi}\)

\(\sin x = \cos x\)

\(\sin x = \sin (\frac{\pi}{2}\:-\:x)\)

solusi 1

\(x = \frac{\pi}{2}\:-\:x + k\cdot 2\pi\)

\(2x = \frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi\)

\(x = \frac{\pi}{4} + k\cdot \pi\)

Agar memenuhi syarat basis dan numerus, maka dipilih konstanta \(2k\), sehingga solusi persamaan logaritma tersebut adalah \(\color{purple} x = \frac{\pi}{4} + 2k\cdot \pi\)

Soal 8

Jika \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x}{x^3\:-\:2x^2\:-\:8x + 16} = -\dfrac{3}{10}\), maka nilai \(20A + 15B = \dotso\)

(A) 99

(B) 72

(C) 45

(D) 32

(E) 16

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: C

Bentuk awal hasil limit tersebut setelah mengganti x dengan 2 adalah \(\dfrac{0}{0}\), artinya nilai pembilangnya sama dengan nol.

\(\frac{1}{3}Ax^3 + \frac{1}{2}Bx^2 \:-\:3x = 0\)

Substitusi x = 2

\(\frac{1}{3}A(2)^3 + \frac{1}{2}B(2)^2 \:-\:3(2) = 0\)

\(\frac{8}{3}A + 2B \:-\:6 = 0\)

Kali kedua ruas dengan \(\frac{15}{2}\)

\(20A + 15B \:-\:45= 0\)

Jadi, nilai \(\color{purple} 20A + 15B = 45\)

Soal 9

Misalkan \(f(1) = 2, f'(1) = -1, g(1) = 0\) dan \(g'(1) = 1\). Jika \(F(x) = f(x)\cos(g(x))\), maka \(F'(1)=\dotso\)

(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) \(-1\)

(E) \(-2\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: D

\(F(x) = f(x)\cos(g(x))\)

\(F'(x) = f'(x)\cdot \cos (g(x)) + f(x)\cdot \sin (g(x)) \cdot g'(x)\)

\(F'(1) = f'(1)\cdot \cos (g(1)) + f(1)\cdot \sin (g(1)) \cdot g'(1)\)

\(F'(1) = -1_\cdot \cos 0 + 2\cdot \sin 0 \cdot 1\)

\(F'(1) = -1_\cdot 1 + 2\cdot 0 \cdot 1\)

\(F'(1) = -1\)

Soal 10

Diberikan fungsi \(f\) dan \(g\) yang memenuhi sistem

\(\begin{cases}\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3& x = 0\\\\f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x) & x > 0\end{cases}\)

dengan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) \neq 0\). Nilai \(f(1) = \dotso\)

(A) \(-6\)

(B) \(-3\)

(C) \(0\)

(D) \(3\)

(E) \(6\)

Pembahasan Antiruwet

Jawaban: E

Misalkan \(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x) = p\) dengan \(p \neq 0\), maka

\(f(x) = 3x^2+ 4x + \int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\)

\(f(x) = 3x^2+ 4x + p\)

\(\int_{0}^{1} f(x)\: dx + \left(\int_{0}^{2} g(x)\: d(x)\right)^2 = 3\)

\(\int_{0}^{1} (3x^2+ 4x + p)\: dx + p^2 = 3\)

\(\left.x^3 + 2x^2 + px \right|_0^1 + p^2 = 3\)

\(1 + 2 + p + p^2 = 3\)

\(p^2 + p = 0\)

\(p(p + 1) = 0\)

Karena \(p \neq 0\) maka \(p = -1\) yang dipilih

\(f(x) = 3x^2 + 4x\:-\:1\)

\(f(1) = 3(1)^2 + 4(1) \:-\:1\)

Jadi, nilai \(\color{purple}f(1) = 6\)

03/09/2022

0

Robot Pencari

Halo! Materi belajar apa yang ingin kamu cari hari ini?