Rumus yang digunakan dalam gerak vertikal adalah:
$$\bbox[yellow, 5px] {h = h_0 + v_0\: t\: – \: \dfrac{1}{2} gt^2}$$
$$\bbox[yellow, 5px] {v_t = v_0\: – \:gt}$$
$$\bbox[yellow, 5px] {v_t ^2 = v_0 ^2\: – \:2g(h\: – \:h_0)}$$
Keterangan:
\(h\) = ketinggian akhir
\(h_0\) = ketinggian awal
\(v_0\) = kecepatan awal
\(v_t\) = kecepatan akhir
\(g\) = percepatan gravitasi
\(t\) = waktu gerak
Contoh Soal
Sebuah batu dilempar vertikal ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 19,62 m/s. Jika percepatan gravitasi di tempat tersebut 9,81 m/s². Tentukan:
a. Waktu yang diperlukan batu sampai ketinggian maksimum
b. Ketinggian maksimum yang dicapai batu
c. Waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah
a. Menghitung waktu yang diperlukan batu sampai ketinggian maksimum
Pada saat mencapai ketinggian maksimum, kecepatan batu adalah nol \(v_y = 0\)
\(v_t = v_0\: – \:gt\)
\(0 = 19,62\: – \: 9,81 t\)
\(9,81t = 19,62\)
\(t = \dfrac{19,62}{9,81}\)
\(t_{\text{max}} = 2 \text{ sekon}\)
b. Menghitung ketinggian maksimum yang dicapai batu
\(h = h_0 + v_0\: t \: – \: \dfrac{1}{2} gt^2\)
Karena acuan geraknya adalah permukaan tanah, maka ketinggian awalnya adalah nol
\(h_{\text{max}} = 0 + 19,62(2) \: – \: \dfrac{1}{2} (9,81)(2)^2\)
\(h_{\text{max}} = 39,24 \: – \:19,62\)
\(h_{\text{max}} = 19,62 \text{ m}\)
c. Menghitung waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah
Karena lintasan gerak batu saat naik ke atas, kemudian turun ke bawah adalah sama dan simetris maka waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah adalah 2 kali dari waktu sampai ketinggian maksimum.
Jadi, waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah adalah 4 sekon
Sebuah batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal 29,43 m/s, dari atas sebuah gedung yang memiliki ketinggian 10 meter. Jika percepatan gravitasi di tempat tersebut 9,81 m/s². Tentukan:
a. Waktu yang diperlukan batu sampai ketinggian maksimum
b. Ketinggian maksimum yang dicapai batu diukur dari permukaan tanah
c. Waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah
a. Menghitung waktu yang diperlukan batu sampai ketinggian maksimum
Pada saat mencapai ketinggian maksimum, kecepatan batu adalah nol \(v_y = 0\)
\(v_t = v_0 \: – \: gt\)
\(0 = 29,43 \: – \: 9,81 t\)
\(9,81t = 29,43\)
\(t = \dfrac{29,43}{9,81}\)
\(t_{\text{max}} = 3 \text{ sekon}\)
b. Menghitung ketinggian maksimum yang dicapai batu
\(h = h_0 + v_0\: t\: – \: \dfrac{1}{2} gt^2\)
Karena acuan geraknya adalah permukaan tanah, maka ketinggian awalnya sama dengan ketinggian gedung yaitu 10 meter
\(h_{\text{max}} = 10 + 29,43(3) \: – \: \dfrac{1}{2} (9,81)(3)^2\)
\(h_{\text{max}} = 10 + 88,29 \: – \: 44,145\)
\(h_{\text{max}} = 54,145 \text{ m}\)
c. Menghitung waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah
\(h = h_0 + v_0\: t \: – \: \dfrac{1}{2} gt^2\)
Note:
Ketinggian akhir batu \(h\) adalah nol karena berada di atas permukaan tanah
Ketinggian awal batu \(h_0\) sama dengan ketinggian gedung yaitu 10 meter
\(0 = 10 + 29,43t\: – \: \dfrac{1}{2} (9,81)t^2\)
\(0 = 10 + 29,43t \: – \: 4,905t^2\)
Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh hasil \(t = 6,32 \text{ sekon}\)
Jadi waktu yang diperlukan batu untuk kembali ke permukaan tanah adalah 6,32 sekon
Buah apel jatuh bebas dari ketinggian 5 meter dari pohonnya sampai ke permukaan tanah. Jika percepatan gravitasi di tempat tersebut 9,81 m/s², tentukan:
a. Waktu buah apel tersebut sampai ke permukaan tanah
b. Kecepatan buah apel sesaat sebelum menumbuk tanah
a. Menghitung waktu buah apel tersebut sampai ke permukaan tanah
\(h = h_0 + v_0\: t\: – \: \dfrac{1}{2} gt^2\)
Note:
Ketinggian akhir batu \(h\) adalah nol karena berada di atas permukaan tanah
Ketinggian awal batu \(h_0\) sama dengan 5 meter
Karena jatuh bebas maka \(v_0 = 0\)
\(0 = 5 + 0 \: – \: \dfrac{1}{2}(9,81)t^2\)
\(0 = 5\: – \: 4,905 t^2\)
\(4,905 t^2 = 5\)
\(t^2 = \dfrac{5}{4,905}\)
\(t = \sqrt{\dfrac{5}{4,905}}\)
\(t = 1,01 \text{ s}\)
Jadi buah apel tersebut sampai di permukaan tanah dalam waktu 1,01 sekon
b. Menghitung kecepatan buah apel sesaat sebelum menumbuk tanah
\(v_t = v_0\: – \: gt\)
\(v_t = 0 \: – \:9.81(1,01)\)
\(v_t = – 9,91 \text{ m/s}\)
Tanda minus menunjukkan arah kecepatan akhir ke bawah
Jadi buah apel memiliki kecepatan sebesar 9,91 m/s sesaat sebelum menumbuk tanah
Eksperimen gerak vertikal ke atas dengan senapan mainan dan dua bola. Bola A ditembak vertikal ke atas dengan kecepatan 40 m/s dan selang waktu 1 detik kemudian dari posisi awal yang sama, bola B ditembakkan ke atas dengan kecepatan 60 m/s. Tentukan posisi bola B saat menumbuk bola A.
Diketahui:
\(v_a = 40 \text{ m/s}\)
\(v_b = 60 \text{ m/s}\)
Bola A terlebih dahulu ditembakkan vertikal ke atas, selang 1 detik baru bola B yang ditembakkan
\(t_a = t_b + 1\)
Pada saat bola B tepat menumbuk bola A, maka posisi kedua bola adalah sama jika diukur dari atas tanah (acuan).
\(h_a = h_b\)
\(h_0 + v_0\:t_a\: – \: \dfrac{1}{2}\:g\:t_a ^2 = h_0 + v_0\:t_b \: – \:\dfrac{1}{2}\:g\:t_b ^2 \)
\(0 + 40t_a\: – \: \dfrac{1}{2}(9,81) t_a ^2 = 0 + 60t_b \: – \: \dfrac{1}{2}(9,81) t_b ^2 \)
Substitusikan \(t_a = t_b + 1\)
\(40(t_b + 1) \: – \:\dfrac{1}{2}(9,81) (t_b + 1) ^2 = 60t_b \: – \: \dfrac{1}{2}(9,81) t_b ^2 \)
\(40t_b + 40 \: – \: 4.905 (t_b ^2 + 2t_b + 1) = 60t_b\: – \: 4.905t_b ^2 \)
\(40t_b + 40\: – \: \cancel{4.905 t_b ^2} -9,81t_b \: – \: 4,905 = 60t_b \: – \: \cancel{4.905t_b ^2} \)
\(30,19t_b + 35,095 = 60t_b \)
\(35,095 = 60t_b \: – \:30,19t_b \)
\(35,095 = 29,81t_b \)
\(t_b = \dfrac{35,095}{29,81} = 1,177 \text{ s}\)
Waktu yang dibutuhkan bola B tepat menumbuk bola A adalah \(1,177 \text{ s}\)
Substitusikan nilai \(t_b = 1,177 \text{ s}\) ke persamaan \(h_b\)
\(h_b = h_0 + v_0\:t_b \: – \: \dfrac{1}{2}\:g\:t_b ^2 \)
\(h_b = 0 + 60(1,177)\: – \: \dfrac{1}{2}(9,81)(1,177)^2 \)
\(h_b = 70,62 \: – \: 6,795\)
\(h_b = 63,825 \text{ m}\)
Jadi bola B tepat menumbuk bola A pada ketinggian \(63,825 \text{ m}\)