Persamaan Gelombang Berjalan

Rumus Dasar

Frekuensi gelombang

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {f = \dfrac{n}{t}}$$

$n = \text{ banyak gelombang}$

$t = \text{ waktu tempuh gelombang}$

Satuan frekuensi adalah Hz

Periode gelombang

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {T= \dfrac{1}{f}}$$

Satuan periode adalah sekon

Gambar gelombang transversal:

Cepat rambat gelombang

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {v = \lambda \cdot f}$$

$\lambda = \text{ panjang gelombang}$

Cepat rambat gelombang transversal pada dawai

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {v = \sqrt{\dfrac{\text{F}}{\mu}}}$$

$\text{F} = \text{ gaya tegangan dawai (N)}$

$\mu = \text{ massa per satuan panjang dawai (kg/m)}$

$\mu = \dfrac{m}{l}$

$\mu = \dfrac{\rho \cdot V}{l} = \dfrac{\rho \cdot A \cdot \cancel{l}}{\cancel{l}} = \rho \cdot A $

Hubungan Panjang Dawai (senar) dengan Panjang Gelombang yang Terbentuk

Frekuensi Nada Dasar $\color{blue}f_0$

$\color{blue} f_0 = \dfrac{v}{2L}$

Frekuensi Nada Atas Pertama $\color{blue}f_1$

$\color{blue} f_1 = \dfrac{v}{L}$

Frekuensi Nada Atas Kedua $\color{blue} f_2$

$\color{blue} f_2 = \dfrac{v}{\frac{2}{3}L}$

$\color{blue} f_0 : f_1 : f_2 : \dotso = 1 : 2 : 3 : \dotso$

Persamaan Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan Gelombang Berjalan

Sebuah gelombang merambat ke arah kanan dari koordinat titik asal $(0, 0)$

A. Persamaan Simpangan

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {y = A\sin (\omega t \:-\:kx)}$$

Simpangan maksimum

Simpangan maksimum terjadi saat $\sin (\omega t \:-\:kx) = 1$

Simpangan maksimum = amplitudo gelombang

$\color{blue} y_{\text{max}} = A$

$\omega (\text{ kecepatan sudut }) = 2\pi f$ dalam satuan rad/s

$k (\text{ bilangan gelombang }) = \dfrac{2\pi}{\lambda}$

B. Persamaan Kecepatan

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {v = \omega A\cos (\omega t \:-\:kx)}$$

Kecepatan maksimum

Kecepatan maksimum terjadi saat $\cos (\omega t \:-\:kx) = 1$

$\color{blue} v_{\text{max}} = \omega A$

C. Persamaan Percepatan

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {a = -\omega^2 A\sin (\omega t \:-\:kx)}$$

Percepatan maksimum

Percepatan maksimum terjadi saat $\sin (\omega t \:-\:kx) = 1$

$\color{blue} a_{\text{max}} = -\omega^2 A$

Sudut Fase dan Beda Fase

Dari persamaan gelombang berjalan $\color{blue} y = A\sin (\omega t \:-\:kx)$

Sudut fase = $\omega t \:-\:kx = \dfrac{2\pi t}{T}\:-\:\dfrac{2\pi x}{\lambda}$

Fase = $\dfrac{\text{sudut fase}}{2\pi}$

Fase = $\dfrac{t}{T}\:-\:\dfrac{x}{\lambda}$

Beda fase jika diketahui jarak antara titik A dan B

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {\triangle \varphi = \dfrac{x_{\text{B}} \:-\: x_{\text{A}}}{\lambda}}$$

$\color{blue} \triangle \varphi = \dfrac{\triangle x}{\lambda}$

Beda fase jika diketahui perbedaan waktu titik A dan B

$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {\triangle \varphi = \dfrac{\triangle t}{T}}$$

LATIHAN SOAL

Soal 01

Dua balok kayu terapung pada permukaan air dan berjarak 200 cm satu sama lain. Keduanya turun-naik bersama permukaan air dengan frekuensi 8 getaran per sekon. Bila salah satu balok berada di puncak gelombang, balok yang lain berada di dasar gelombang, dan diantara kedua balok terdapat dua bukit gelombang, maka cepat rambat gelombang pada air tersebut adalah…

(A) 1,6 m/s

(B) 1,8 m/s

(D) 6,4 m/s

(E) 6,8 m/s

Pembahasan Antiruwet

Soal 02

Dua gabus terapung di atas permukaan air terpisah 49 meter. Pada saat gelombang permukaan air datang dengan amplitudo 0,8 meter dan frekuensi 10 Hz, gabus P berada di puncak bukit gelombang, sedangkan gabus Q ada di lembah gelombang. Keduanya terpisah oleh tiga bukit gelombang. Jika gelombang datang dari gabus P dan waktu untuk gabus P adalah $t$, tentukan persamaan getaran untuk:

(1) Gabus P

(2) Gabus Q

Pembahasan Antiruwet

Soal 03

Kawat tembaga berdiameter 2,4 mm dan panjang 3 m mengalami tegangan karena pada ujung bawahnya digantungkan beban yang massanya 2 kg. Jika kawat dipukul dengan sebuah pensil, maka menjalarlah gelombang transversal di dalamnya. Jika massa jenis tembaga 8920 kg/m³, maka laju rambat gelombang tersebut adalah…

(A) $5 \sqrt{5} \text{ m/s}$

(B) $8 \sqrt{5} \text{ m/s}$

(D) $10 \sqrt{5} \text{ m/s}$

(E) $12 \sqrt{5} \text{ m/s}$

Pembahasan Antiruwet

Soal 04

Diketahui persamaan gelombang berjalan $y = 0,05 \sin \pi(100t\:-\:0,02x)$ dengan y dan x dalam meter, dan t dalam sekon.

Manakah pernyataan di bawah ini yang benar?

(1) Amplitudo gelombang 0,05 cm

(2) Frekuensi gelombang 50 Hz

(3) panjang gelombang 0,02 m

(4) cepat rambat gelombang $5 \times 10^3 \text{ m/s}$

Pembahasan Antiruwet

Soal 05

Gelombang merambat dari A ke B dengan amplitudo 1 cm dan periode 0,2 s. Jarak AB = 0,3 m, cepat rambat gelombang adalah 2,5 m/s. Tentukan beda fase dan beda sudut fase antara A dan B.

Pembahasan Antiruwet

Soal 06

Salah satu ujung kawat digetarkan harmonik sehingga getaran tersebut merambat ke kanan sepanjang kawat dengan cepat rambat 10 m/s. Ujung kawat mula-mula digetarkan ke atas dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 0,01 m.

Tentukan:

(A) Persamaan gelombang

(B) Simpangan, kecepatan, dan percepatan partikel di titik $x = 0,25 \text{ m}$ pada saat ujung kawat telah bergetar 0,1 s.

(D) Beda fase antara titik $x = 0,5 \text{ m}$ dan $x = 0,75 \text{ m}$

Pembahasan Antiruwet

Menghitung panjang gelombang:

$v = \lambda \cdot f$

$10 = \lambda \cdot 5$

$\lambda = 2 \text{ meter}$

Menghitung kecepatan sudut gelombang:

$\omega = 2\pi f$

$\omega = 2\pi (5) = 10 \pi \text{ rad/s}$

Menghitung bilangan gelombang:

$k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$

$k = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$

(A) Menentukan persamaan gelombang

Gelombang merambat ke arah kanan

$y = 0,01 \sin (10\pi t\:-\:\pi x) \text{ m}$

(B) Simpangan, kecepatan, dan percepatan partikel di titik $x = 0,25 \text{ m}$ pada saat ujung kawat telah bergetar 0,1 s.

Simpangan

$\color{purple} y = 0,01 \sin (10\pi t\:-\:\pi x) \text{ m}$

Untuk $x = 0,25 \text{ m}$ dan $t = 0,1 \text{ s}$

$y = 0,01 \sin (10\pi (0,1)\:-\:\pi(0,25)) \text{ m}$

$y = 0,01 \sin (\frac{3}{4}\pi) \text{ m}$

$y = 0,01 \sin 135^{\circ} \text{ m}$

$y = 0,01 (\dfrac{1}{2} \sqrt{2}) \text{ m}$

$y = \dfrac{1}{200} \sqrt{2} \text{ m}$

Kecepatan

$\color{purple} v = 10\pi \cdot 0,01 \cos (10\pi t\:-\:\pi x) \text{ m/s}$

Untuk $x = 0,25 \text{ m}$ dan $t = 0,1 \text{ s}$

$v = 10\pi \cdot 0,01 \cos (10\pi t\:-\:\pi(0,25)) \text{ m/s}$

$v = 10\pi \cdot 0,01 \cos (\frac{3}{4}\pi) \text{ m/s}$

$v = 0,1 \pi (-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}) \text{ m/s}$

$v = – \dfrac{1}{20}\sqrt{2} \pi \text{ m/s}$

Percepatan

$\color{purple} a = -(10\pi)^2 \cdot 0,01 \sin (10\pi t\:-\:\pi x) \text{ m/s²}$

Untuk $x = 0,25 \text{ m}$ dan $t = 0,1 \text{ s}$

$a = -(10\pi)^2 \cdot 0,01 \sin (10\pi (0,1)\:-\:\pi (0,25)) \text{ m/s²}$

$a = -100 \pi^2 \cdot 0,01 \sin (\frac{3}{4}\pi) \text{ m/s²}$

$a = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \pi^2 \text{ m/s²}$

(C) Sudut fase dan fase gelombang di titik $x = 0,25 \text{ m}$ pada saat ujung kawat telah bergetar 0,1 s.

Sudut fase = $\omega t \:-\:kx$

Sudut fase = $10\pi (0,1) \:-\:\pi (0,25)$

Sudut fase = $\dfrac{3}{4}\pi \text{ radian}$

Fase = $\dfrac{\text{sudut fase}}{2\pi}$

Fase = $\dfrac{\dfrac{3}{4}\pi}{2\pi}$

Fase = $\dfrac{3}{8}$

(D) Beda fase antara titik $x = 0,5 \text{ m}$ dan $x = 0,75 \text{ m}$

$\triangle \varphi = \dfrac{\triangle x}{\lambda}$

$\triangle \varphi = \dfrac{0,75\:-\:0,5}{2}$

$\triangle \varphi = \dfrac{1}{8}$

Benang Lurus

Persamaan Gelombang Berjalan

Rumus Dasar

Persamaan Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan Gelombang Berjalan

Sudut Fase dan Beda Fase

LATIHAN SOAL