Persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) dapat memiliki akar-akar yang tidak riil. Syarat memiliki akar-akar tidak riil adalah \(\text{D} < 0\). Dengan \(\text{D} = b^2 \:-\:4ac\) adalah diskriminan dari persamaan kuadrat.
Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat:
\(\color{blue} x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2\:-\:4ac}}{2a}\)
Contoh 1:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 10 = 0\)
Nilai \(a = 1, b = 0, c = 10\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2\:-\:4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{0 \pm \sqrt{0^2\:-\:4(1)(10)}}{2(1)}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{-40}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{\pm \sqrt{40 \times -1}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{\pm 2\sqrt{10}\sqrt{-1}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{\pm 2\sqrt{10}\:i}{2}\)
\(x_{1,2} = \pm \sqrt{10}\:i\)
\(x_1 = \sqrt{10}\:i\)
\(x_2= -\sqrt{10}\:i\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 10\) adalah \(\sqrt{10}\:i\) dan \( -\sqrt{10}\:i\)
Contoh 2:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(-2x^2 + 6x\:-\:13 = 0\)
Nilai \(a = -2, b = 6, c = -13\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2\:-\:4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2\:-\:4(-2)(-13)}}{2(-2)}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 \:-\: 104}}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{-68}}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{68 \times -1}}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm 2\sqrt{17}\cdot \sqrt{-1}}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-6}{-4} \pm \dfrac{2\sqrt{17}\:i}{-4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{17}}{-2}\:i\)
\(x_1 = \dfrac{3}{2}\:-\:\dfrac{\sqrt{17}}{2}\:i\)
\(x_2 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{17}}{2}\:i\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat \(-2x^2 + 6x\:-\:13\) adalah \(\dfrac{3}{2}\:-\:\dfrac{\sqrt{17}}{2}\:i\) dan \(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{17}}{2}\:i\)