Soal 1
Asimtot datar grafik \(y = 2^{x + 3} + 4\) adalah …
(A) \(y = -3\)
(B) \(y = -4\)
(C) \(y = 3\)
(D) \(y = 4\)
(E) \(y = 5\)
Jawaban: D
Dari grafik fungsi eksponen \(y = a^{x + p} + q\), asimtot datarnya adalah garis \(y = q\)
Jadi, grafik \(y = 2^{x + 3} + 4\) memiliki asimtor datar \(y = 4\)
Soal 2
Grafik \(y = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x\:-\:2}-10\) memotong sumbu \(y\) di titik yang berordinat …
(A) 70
(B) 71
(C) 72
(D) 73
(E) 74
Jawaban: B
\(y = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x\:-\:2}\:-\:10\) memotong sumbu \(y\) untuk \(x = 0\)
\(y = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{0\:-\:2}-10\)
\(y = 9^2-10\)
\(y = 81-10\)
\(y = 71\)
Soal 3
Grafik \(y = 3(2^x + 1)\) memotong sumbu \(y\) di titik \((0, k)\) dan memiliki asimtot datar garis \(y = c\). Nilai \(k + c\) adalah …
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
Jawaban: D
Grafik \(y = 3(2^x + 1)\) memotong sumbu \(y\) untuk \(x = 0\)
\(y = 3(2^0 + 1)\)
\(y = 3(1 + 1)\)
\(y = 3(2) = 6\)
\(\text{Titik potong terhadap sumbu y adalah } (0, 6) = (0, k)\)
\(\text{Nilai } k = 6\)
\(y = 3\cdot 2^x + 3\)
\(\text{Asimtot datarnya adalah } y = 3 \rightarrow y = c\)
\(\text{Nilai } c = 3\)
\(\text{Jadi, nilai } k + c = 6 + 3 = 9\)
Soal 4
Grafik \(y = 3^{x + b} + c\) memiliki asimtot datar garis \(y = – 5\) dan melalui titik \((-1, -2)\). Nilai \(b + 2c\) adalah …
(A) −10
(B) −8
(C) 8
(D) 9
(E) 10
Jawaban: B
Karena grafik \(y = 3^{x + b} + c\) memiliki asimtot datar garis \(y = – 5\), maka nilai \(c = -5\)
Grafik \(y = 3^{x + b} – 5\) melalui titik \((-1, -2)\),
\(-2 = 3^{-1 + b} – 5\)
\(-2 + 5 = 3^{-1 + b}\)
\(3^1 = 3^{-1 + b}\)
\(1 = -1 + b\)
\(b = 1 + 1 = 2\)
Nilai \(b + 2c = 2 + 2(-5) = -8\)
Soal 5
Grafik \(y = 3^{x\:-\: 1}\:-\: 5\) jika digeser ke kiri 3 satuan, kemudian digeser ke atas 4 satuan akan menghasilkan grafik …
(A) \(y = 3^{x}\:-\: 7\)
(B) \(y = 3^{x+3}\:-\: 3\)
(C) \(y = 3^{x+2}\:-\: 2\)
(D) \(y = 3^{x+1}\:-\: 1\)
(E) \(y = 3^{x+2}\:-\: 1\)
Jawaban: E
Grafik \(y = 3^{x\:-\: 1}\:-\: 5\) jika digeser ke kiri 3 satuan menjadi \(y = 3^{x\:-\: 1 \color{red} + 3\color{black}}\:-\: 5\)
kemudian digeser ke atas 4 satuan menjadi \(y = 3^{x\:-\: 1 \color{red} + 3\color{black}}\:-\: 5 \color{blue} + 4\)
\(y = 3^{x+2}\:-\: 1\)
Soal 6
Salah satu titik yang berada di kurva \(y = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{x\:-\:1} + 2\) adalah …
(A) \((1 , 2)\)
(B) \((0, 0)\)
(C) \((2, \frac{3}{2})\)
(D) \((3, \frac{9}{4})\)
(E) \((4, \frac{17}{6})\)
Jawaban: D
Substitusikan titik \((3, \frac{9}{4})\) ke kurva \(y = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{x\:-\:1} + 2\)
\(\frac{9}{4} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{3\:-\:1} + 2\)
\(\frac{9}{4} = \frac{1}{4} + 2\)
\(\frac{9}{4} = \frac{9}{4}\)
Karena nilai ruas kiri sama dengan ruas kanan maka titik \((3, \frac{9}{4})\) berada di kurva \(y = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{x\:-\:1} + 2\)
Soal 7
Kurva \(y = 5(3^{2x} + 1)\) jika diubah ke dalam bentuk \(y = a^{x + b} + c\) adalah …
(A) \(y = 3^{x + ^9\log_{}{5}} + 5\)
(B) \(y = 9^{x + ^9\log_{}{5}} \:-\: 5\)
(C) \(y = 9^{x + ^9\log_{}{5}} + 5\)
(D) \(y = 3^{2x + ^9\log_{}{5}} + 5\)
(E) \(y = 3^{x + ^9\log_{}{5}} + 6\)
Jawaban: C
\(y = 5.3^{2x} + 5\)
\(y = 5.9^{x} + 5\)
\(y = 9^{^9\log_{}{5}}.9^{x} + 5\)
\(y = 9^{x +^9\log_{}{5}} + 5\)
Soal 8
Pernyataan yang benar untuk kurva \(y = 2^{-x + 2} + 3\) adalah …
(A) Memiliki asimtot vertikal \(x = 3\)
(B) Memiliki asimtot datar \(y = 3\)
(C) Memotong sumbu x di titik \((1, 0)\)
(D) Memotong sumbu y di titik \((0, 1)\)
(E) Melalui titik \((3, 10)\)
Jawaban: B
Asimtot datar kurva \(y = a^{x + b} + c\) adalah garis \(y = c\)
Soal 9
Kurva \(y = a^{x + b} + c\) mempunyai asimtot datar \(y = 2\) dan kurvanya melalui titik \((-2, 4)\) dan \((3, 66)\). Nilai \(a + 2b \:-\:c = \dotso\)
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Jawaban: D
Karena asimtot datarnya garis \(y = 2\) maka nilai \(c = 2\)
Substitusikan titik \((-2, 4)\) dan \((3, 66)\) ke kurva \(y = a^{x + b} + 2\)
\((-2, 4) \rightarrow 4 = a^{-2 + b} + 2\rightarrow 2 = a^{-2}\cdot a^b\dotso\dotso (1)\)
\((3, 66) \rightarrow 66 = a^{3 + b} + 2\rightarrow 64 = a^{3}\cdot a^b\dotso\dotso (2)\)
Bagi persamaan (1) dan (2),
\(\dfrac{2}{64} = \dfrac{a^{-2}\cdot a^b}{a^{3}\cdot a^b}\)
\(\dfrac{1}{32} = \dfrac{a^{-2}\cdot \cancel{a^b}}{a^{3}\cdot \cancel{a^b}}\)
\(2^{-5} = a^{-2\:-\:3}\)
\(2^{-5} = a^{-5}\)
\(a = 2\)
Substitusikan \(a = 2\) ke persamaan (1)
\(2 = 2^{-2}\cdot 2^b\)
\(2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^b\)
\(8 = 2^b\)
\(2^3 = 2^b\)
\(b = 3\)
\(a + 2b \:-\:c =2 + 2(3)\:-\:2 = 6\)
Soal 10
Kurva \(y = a^{x + b} + c\) melalui titik \((0, -\frac{5}{3}), (2, 1), \text{ dan } (3, 7)\). Jika \(a > 0\) maka nilai \(ab + c = \dotso\)
(A) \(-5\)
(B) \(-6\)
(C) \(1\)
(D) \(5\)
(E) \(7\)
Jawaban: A
Subsitusikan setiap titik ke kurva \(y = a^{x + b} + c\)
\((0, -\frac{5}{3}) \rightarrow -\frac{5}{3} = a^{0 + b} + c\dotso\dotso (1)\)
\((2, 1) \rightarrow 1 = a^{2 + b} + c\dotso\dotso (2)\)
\((3, 7) \rightarrow 7 = a^{3 + b} + c\dotso\dotso (3)\)
Kurangi persamaan (1) dengan (2) untuk eliminasi \(c\), sehingga didapatkan persamaan (4) berikut:
\(-\frac{8}{3} = a^b\:-\:a^{2 + b}\)
\(-\frac{8}{3} = a^b(1\:-\:a^2)\)
\(-\frac{8}{3} = a^b(1 + a)(1\:-\:a)\dotso\dotso (4)\)
Kurangi persamaan (2) dengan (3) untuk eliminasi \(c\), sehingga didapatkan persamaan (5) berikut:
\(-6 = a^{2 + b}\:-\:a^{3 + b}\)
\(-6 = a^2\cdot a^b \:-\:a^3\cdot a^b\)
\(-6 = a^b\cdot a^2(1\:-\:a)\dotso\dotso (5)\)
Bagi persamaan (4) dengan persamaan (5)
\(\left(\dfrac{-\frac{8}{3}}{-6 }\right) = \left(\dfrac{\cancel{a^b}(1 + a)\cancel{(1\:-\:a)}}{\cancel{a^b}\cdot a^2\cancel{(1\:-\:a)}}\right) \)
\(\dfrac{4}{9 } = \dfrac{1 + a}{a^2}\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kali silang}\)
\(4a^2 = 9 + 9a\)
\(4a^2\:-\:9a\:-\:9 = 0\)
\((4a + 3)(a\:-\:3) = 0\)
\(a = 3\)
Substitusikan \(a = 3\) ke persamaan (5)
\(-6 = 3^b\cdot 3^2(1\:-\:3)\)
\(-6 = 3^b\cdot (-18)\)
\(\frac{-6}{-18} = 3^b\)
\(\frac{1}{3} = 3^b\)
\(3^{-1} = 3^b\)
\(b = -1\)
Substitusikan \(b = -1\) ke persamaan (2)
\(1 = 3^{2 \:-\:1} + c\)
\(1 = 3 + c\)
\(c = 1\:-\:3 = -2\)
Nilai \(ab + c = 3(-1)\:-\:2 = -5\)
