A disebut himpunan bagian dari B, ditulis \(\textbf{A} \subseteq \textbf{B}\) jika semua anggota A merupakan anggota di B.
A disebut himpunan bagian sejati dari B (proper subset), ditulis \(\textbf{A} \subset \textbf{B}\), jika semua anggota A merupakan anggota di B dan setidaknya ada satu anggota di B yang tidak ada di A.
Notasi \(\textbf{A} \subset \textbf{B}\) sama dengan \(\textbf{A} \varsubsetneq\textbf{B}\)
Contoh 01
\(\textbf{A} = \lbrace \color{red} 3, 5, 7 \color{black}\rbrace\)
\(\textbf{B} = \lbrace 1, 2, \color{red}3 \color{black}, 4, \color{red}5 \color{black}, 6, \color{red}7 \color{black} \rbrace\)
A adalah himpunan bagian sejati dari B (proper subset), ditulis \(\textbf{A} \subset \textbf{B}\) karena semua anggota A merupakan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Contoh 02
Tuliskan semua himpunan bagian dari \(\textbf{A} = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace\)
Daftar semua himpunan bagian dari A:
\(\lbrace \: \rbrace\) himpunan kosong
\(\lbrace 1 \rbrace\), \(\lbrace 2 \rbrace\), \(\lbrace 3 \rbrace\), \(\lbrace 4 \rbrace\)
\(\lbrace 1, 2 \rbrace\), \(\lbrace 1, 3 \rbrace\), \(\lbrace 1, 4 \rbrace\), \(\lbrace 2, 3 \rbrace\), \(\lbrace 2, 4 \rbrace\), \(\lbrace 3, 4 \rbrace\)
\(\lbrace 1, 2, 3\rbrace\), \(\lbrace 1, 2, 4\rbrace\), \(\lbrace 1, 3, 4\rbrace\), \(\lbrace 2, 3, 4\rbrace\)
\(\lbrace 1, 2, 3, 4\rbrace\) A menjadi himpunan bagian bagi dirinya sendiri
Banyaknya himpunan bagian dari A ada 16.
Banyaknya himpunan bagian dari A dapat dirumuskan \(\color{blue} 2^{n(\textbf{A})}\)
Contoh 03
Tuliskan semua himpunan bagian sejati dari \(\textbf{A} = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace\)
Daftar himpunan bagian sejati dari A:
\(\lbrace \: \rbrace\) himpunan kosong
\(\lbrace 1 \rbrace\), \(\lbrace 2 \rbrace\), \(\lbrace 3 \rbrace\), \(\lbrace 4 \rbrace\)
\(\lbrace 1, 2 \rbrace\), \(\lbrace 1, 3 \rbrace\), \(\lbrace 1, 4 \rbrace\), \(\lbrace 2, 3 \rbrace\), \(\lbrace 2, 4 \rbrace\), \(\lbrace 3, 4 \rbrace\)
\(\lbrace 1, 2, 3\rbrace\), \(\lbrace 1, 2, 4\rbrace\), \(\lbrace 1, 3, 4\rbrace\), \(\lbrace 2, 3, 4\rbrace\)
Catatan:
A bukan himpunan bagian sejati bagi dirinya sendiri.
Banyaknya himpunan bagian sejati dari A ada 15.
Banyaknya himpunan bagian sejati dari A dapat dirumuskan \(\color{blue} 2^{n(\textbf{A})}\:-\:1\)
Contoh 04
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari \(\textbf{B} = \lbrace a, b, c, d, e \rbrace\)
Banyaknya himpunan bagian dari B = \(2^{n(\textbf{B})}\)
Banyaknya himpunan bagian dari B = \(2^{5} = 32 \text{ himpunan}\)
Contoh 05
Tentukan banyaknya himpunan bagian sejati dari \(\textbf{B} = \lbrace a, b, c, d, e \rbrace\)
Banyaknya himpunan bagian sejati dari B = \(2^{n(\textbf{B})}\:-\:1\)
Banyaknya himpunan bagian sejati dari B = \(2^{5}\:-\:1 \)
Banyaknya himpunan bagian sejati dari B = \(32\:-\:1 = 31\)