Himpunan adalah kumpulan objek yang jelas dan terdefinisi.
Diantara kumpulan berikut manakah yang merupakan himpunan?
(1) Kumpulan semua nama hari yang diawali huruf “J”
(2) Kumpulan 10 artis wanita tercantik Indonesia
(3) Kumpulan siswa di kelasmu yang tinggi badannya lebih dari 150 cm
(4) Kumpulan semua bilangan bulat yang kurang dari 10
(5) Kumpulan lukisan anak-anak sekolah dasar yang bagus
(6) Kumpulan bilangan prima genap
(7) Kumpulan bunga terindah di taman
(8) Kumpulan orang-orang yang pintar berpidato
(9) Kumpulan buku-buku yang menarik untuk dibaca di perpustakan sekolah
(10) Kumpulan siswa di suatu SMA yang sudah memiliki KTP
Notasi Pembentuk Himpunan
Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan dan mendaftar anggota-anggotanya.
(1) A adalah himpunan bilangan bulat antara −3 dan 5
(2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
(3) C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 11
(4) D adalah himpunan bilangan bulat positif ganjil kurang dari atau sama dengan 7
(5) E adalah himpunan bilangan komposit lebih dari atau sama dengan 4 tetapi kurang dari 16
(6) F adalah himpunan bilangan prima genap
Simbol-Simbol Himpunan
\(\text{Simbol}\textbf{ S}\)
\(\textbf{S}\) = himpunan semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang mencakup semua objek yang sedang dibicarakan.
Contoh:
Tentukan himpunan semesta dari A = {1, 3, 5, 7}
Yang dapat menjadi himpunan semesta dari A misalnya:
- Himpunan bilangan asli
- Himpunan bilangan bulat
- Himpunan bilangan cacah
- Himpunan bilangan ganjil
\(\text{Simbol}\textbf{ Z}\)
\(\textbf{Z}\) = himpunan bilangan bulat
\(\textbf{Z} = \lbrace \dotso, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dotso \rbrace\)
\(\text{Simbol}\textbf{ N}\)
\(\textbf{Z}\) = himpunan bilangan asli
\(\textbf{Z} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dotso \rbrace\)
\(\text{Simbol}\textbf{ Q}\)
\(\textbf{Q}\) = himpunan bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\dfrac{a}{b}\), dengan \(a, b \in \textbf{ Z}\) dan \(b \neq 0\)
\(\textbf{Q} = \left \lbrace \dfrac{3}{4}, 2, \sqrt{9}, -\dfrac{9}{11}, 0,\bar{6} \dotso \right \rbrace\)
\(0, \bar{6} = 0,66666…\)
Bentuk desimal berulang (angka di belakang tanda koma memiliki pola berulang) bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa.
Caranya sebagai berikut:
\(\text{ Misal } x = 0,6666…\)
\(10x = 6,6666…\color{red} (1)\)
\(x = 0,6666… \color{red} (2)\)
Persamaan (1) dikurang dengan persamaan (2)
\(9x = 6\)
Bagi kedua ruas dengan 9
\(x = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
Jadi, \(0, \bar{6} = \dfrac{2}{3}\)
Bilangan bukan rasional disebut dengan bilangan irasional.
Contoh bilangan irasional = \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2} = 1,414213562…\)
Karena \(\sqrt{2}\) hasilnya merupakan desimal yang tidak berulang (angka di belakang tanda koma acak/tidak memiliki pola berulang) maka \(\sqrt{2}\) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa.
\(\text{Simbol}\: \Re\)
\(\Re\) = himpunan bilangan real
Yang termasuk bilangan real adalah bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan komposit, bilangan rasional, dan bilangan irasional.
Bilangan bukan real disebut dengan bilangan imajiner.
Contoh bilangan imajiner adalah \(\sqrt{-1}, \sqrt{-2}, \sqrt{-3}, \dotso\)
\(\text{Simbol}\: \in\)
\(\in\) = elemen/anggota dari suatu himpunan
Contoh:
\(A = \lbrace 3, 8, 15 \rbrace\)
\(3 \in A\), 3 adalah anggota dari himpunan A
\(8 \in A\), 8 adalah anggota dari himpunan A
\(15 \in A\), 15 adalah anggota dari himpunan A
\(\text{Simbol}\: \notin\)
\(\notin\) = bukan anggota dari suatu himpunan
Contoh:
\(A = \lbrace 3, 8, 15 \rbrace\)
\(1 \notin A\), 1 bukan anggota dari himpunan A
\(4 \notin A\), 4 bukan anggota dari himpunan A
\(14 \notin A\), 14 bukan anggota dari himpunan A
\(\text{Simbol}\:\oslash \text{ atau } \lbrace \rbrace\)
\(\oslash\) = himpunan kosong
Contoh:
P adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari nol
\(\text{P} = \oslash \)
atau dapat ditulis
\(\text{P} = \lbrace \rbrace\)
P termasuk himpunan kosong karena bilangan asli yang kurang dari nol tidak ada
\(\text{Simbol}\:\textbf{A}^{c}\)
\(\textbf{A}^{c}\) = komplemen dari A (bukan A dan masih di dalam himpunan semesta)
Contoh:
\(\textbf{S} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace\)
\(\textbf{A} = \lbrace 2, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace\)
\(\textbf{A}^{c} = \lbrace 1, 3, 4, 10\rbrace\)
\(\text{Simbol}\:n(\textbf{A})\)
\(n(\textbf{A})\) = bilangan kardinal dari himpunan A (banyaknya anggota himpunan A)
Contoh:
\(\textbf{A} = \lbrace 2, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace\)
\(n(\textbf{A})= 6\)
\(\textbf{B} = \lbrace 1, 3, 5, 10, 11 \rbrace\)
\(n(\textbf{B})= 5\)