Kombinasi adalah banyak cara pemilihan \(r\) objek dari \(n\) objek yang tersedia tanpa memperhatikan urutan.
$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {\mathrm{C}_{r}^{n}=\dfrac{n!}{(n\:-\:r)!\cdot r!} }$$
Permutasi adalah penyusunan \(r\) objek yang terpilih dalam urutan tertentu (memperhatikan urutan).
$$\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid red] {\mathrm{P}_{r}^{n}=\dfrac{n!}{(n\:-\:r)!} }$$
Contoh 01
Berapa banyak cara memilih 4 orang dari 30 orang siswa yang ada di kelas untuk menjadi pengurus kelas?
Penyelesaian:
Banyaknya cara = \(\mathrm{C}_{4}^{30}\)
\(\mathrm{C}_{4}^{30} = \dfrac{30!}{(30\:-\:4)! \cdot 4!}\)
\(\mathrm{C}_{4}^{30} = \dfrac{30\cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot \cancel{26!}}{\cancel{26!} \cdot 4!}\)
\(\mathrm{C}_{4}^{30} = \dfrac{\cancelto{5}{30}\cdot 29 \cdot \cancelto{7}{28} \cdot 27 }{\cancel{4}\cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1}\)
\(\mathrm{C}_{4}^{30} = 27.405\text{ cara}\)
Jadi terdapat 27.405 cara untuk memilih 4 orang dari 30 orang siswa.
Contoh 02
Berapa banyak cara memilih 4 orang dari 30 orang siswa yang ada di kelas kemudian menempatkannya dalam posisi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara?
Penyelesaian:
Memilih 4 orang dari 30 orang siswa yang ada kemudian menempatkan 4 orang terpilih untuk menjadi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara kelas.
Banyaknya cara: \(\mathrm{C}_{4}^{30} \times 4!\)
Banyaknya cara: \(\dfrac{30!}{(30\:-\:4)! \cdot \cancel{4!}}\times \cancel{4!}\)
Banyaknya cara: \(\dfrac{30\cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot \cancel{26!}}{\cancel{26!}}\)
Banyaknya cara: \(657.720 \text{ cara}\)
Cara di atas sama dengan rumus permutasi
Banyaknya cara: \(\mathrm{P}_{4}^{30}=\dfrac{30!}{(30\:-\:4)!}\)
Banyaknya cara: \(\dfrac{30\cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot \cancel{26!}}{\cancel{26!}}\)
Banyaknya cara: \(657.720 \text{ cara}\)
LATIHAN SOAL
Soal 01
Dari 20 soal yang diberikan, siswa harus mengerjakan 15 soal dengan syarat soal nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 harus dikerjakan. Banyak kemungkinan susunan soal yang dipilih siswa adalah…
(A) 2.800
(B) 3.000
(C) 3.003
(D) 3.450
(E) 5.030
Soal 02
Dari 20 soal yang diberikan, siswa harus mengerjakan 15 soal dengan syarat soal nomor 1 dan nomor 2 harus ada yang dikerjakan. Banyak kemungkinan susunan soal yang dipilih siswa adalah…
(A) 14.688
(B) 15.688
(C) 16.688
(D) 17.688
(E) 18.688
Soal 03
Dalam ruangan terdapat \(n\) pasang suami istri. Mereka saling berjabat tangan satu sama lain kecuali dengan pasangannya maka akan terjadi 84 kali jabat tangan. Banyaknya pasangan suami istri yang hadir adalah…
(A) 6 pasang
(B) 7 pasang
(C) 8 pasang
(D) 9 pasang
(E) 10 pasang
Soal 04
Dalam sebuah ruangan terdapat \(n\) pasang suami istri, jika mereka saling berjabat tangan satu sama lainnya kecuali dengan pasangannya sendiri maka akan terjadi 84 kali jabat tangan. Banyak cara memilih 3 orang dari ruangan tersebut dengan syarat mendapat satu pasang suami istri adalah… cara
(A) 80
(B) 84
(C) 98
(D) 120
(E) 144
Soal 05
Dari 20 tiket yang diundi, Anto mempunyai 5 buah tiket. Jika 3 buah tiket akan memenangkan hadiah, maka banyaknya kemungkinan Anto akan mendapatkan hadiah adalah…
(A) 8.406
(B) 9.105
(C) 9.316
(D) 10.230
(E) 11.355
Soal 06
Misalkan terdapat 10 cat dengan warna yang berbeda. Untuk mendapatkan warna baru, maka tiga cat dari warna yang berbeda dicampur dengan proporsi yang tetap. Dengan demikian banyak warna yang terbentuk adalah… warna
(A) 120
(B) 124
(C) 135
(D) 146
(E) 160
Soal 07
Seseorang ingin membuat warna cat dengan mencampurkan 3 warna berbeda. Jika tersedia 10 warna termasuk hitam dan putih, banyaknya campuran warna yang terjadi jika mencampurkan cat hitam maka harus mencampurkan cat putih adalah…
(A) 78
(B) 82
(C) 86
(D) 90
(E) 92