Soal 01
Banyak cara menyusun kata SAMASAJA yang terdiri dari 3 huruf adalah…
(A) 36
(B) 43
(C) 44
(D) 45
(E) 46
Jawaban: B
Kemungkinan 1: terdapat 2 huruf sama, 1 huruf beda
A, A, J = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
A, A, M = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
A, A, S = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
S, S, J = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
S, S, M = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
S, S, A = \(\dfrac{3!}{2!} = 3\)
Ada 18 cara
Kemungkinan 2: ketiga huruf beda semua
Dari huruf {S, A, M, J} dipilih 3 kemudian disusun
Banyak cara = \(\textbf{C}_3^4 \times 3! = 24 \)
Kemungkinan 3: ketiga huruf sama
A, A, A = \(\dfrac{3!}{3!} = 1\)
Jadi, banyak cara menyusun kata SAMASAJA yang terdiri dari 3 huruf adalah 18 + 24 + 1 = 43
Soal 02
Banyak cara mengambil 4 huruf dari kata SAHABATKU adalah…
(A) 56
(B) 70
(C) 78
(D) 84
(E) 330
Jawaban: A
Kemungkinan 1: tanpa huruf A
4 huruf dipilih dari huruf {S, H, B, T, K, U}
Banyak cara memilih = \(\textbf{C}_4^6 = 15\)
Kemungkinan 2: satu huruf A, 3 huruf lain
3 huruf lain dipilih dari huruf {S, H, B, T, K, U}
Banyak cara memilih = \(\textbf{C}_3^6 = 20\)
Kemungkinan 3: dua huruf A, 2 huruf lain
2 huruf lain dipilih dari huruf {S, H, B, T, K, U}
Banyak cara memilih = \(\textbf{C}_2^6 = 15\)
Kemungkinan 4: tiga huruf A, 1 huruf lain
1 huruf lain dipilih dari huruf {S, H, B, T, K, U}
Banyak cara memilih = \(\textbf{C}_1^6 = 6\)
Banyak cara mengambil 4 huruf dari kata SAHABATKU adalah 15 + 20 + 15 + 6 = 56
Soal 03
Banyaknya bilangan biner 9 angka dengan angka 0 lebih banyak dari angka 1 adalah…
(A) 92
(B) 93
(C) 94
(D) 101
(E) 256
Jawaban: E
Bilangan biner = {0, 1}
Bilangan biner 9 angka dengan angka 0 lebih banyak dari angka 1
Kemungkinan 1: 5 angka 0 dan 4 angka 1
000001111 = \(\dfrac{9!}{5! \cdot 4!} = 126\)
Kemungkinan 2: 6 angka 0 dan 3 angka 1
000000111 = \(\dfrac{9!}{6! \cdot 3!} = 84\)
Kemungkinan 3: 7 angka 0 dan 2 angka 1
000000011 = \(\dfrac{9!}{7! \cdot 2!} = 36\)
Kemungkinan 4: 8 angka 0 dan 1 angka 1
000000001 = \(\dfrac{9!}{8!} = 9\)
Kemungkinan 5: 9 angka 0
000000000 = \(\dfrac{9!}{9!} = 1\)
Banyaknya bilangan biner 9 angka dengan angka 0 lebih banyak dari angka 1 adalah 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 256
Soal 04
Banyaknya bilangan antara 400 dan 5000 yang disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,6, dan 7 jika angkanya boleh berulang adalah…
(A) 2047
(B) 2048
(C) 2303
(D) 2304
(E) 2305
Jawaban: C
Kita hitung dahulu banyak bilangan dari 400 sampai 999 (400 ikut dahulu)
\(400 \leq \text{ bilangan } \leq 999\)
| 4 |
8 |
8 |
| 4, 5, 6, 7 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
Banyak bilangan = 4 × 8 × 8 = 256
Karena 400 sebenarnya tidak termasuk maka banyak bilangannya ada 256 − 1 = 255
\(1000 \leq \text{ bilangan } \leq 4999\)
| 4 |
8 |
8 |
8 |
| 1,2,3,4 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
0,1,2,3,4,5,6,7 |
Banyak bilangan = 4 × 8 × 8 × 8 = 2048
Jadi, banyaknya bilangan antara 400 dan 5000 yang disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,6, dan 7 jika angkanya boleh berulang adalah 255 + 2048 = 2303
Soal 05
Banyaknya bilangan dengan angka berbeda lebih dari 2000 yang disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 5, dan 7 adalah…
(A) 240
(B) 360
(C) 1440
(D) 2640
(E) 2760
Jawaban: C
Bilangan dari 2000 s.d. 9999 (ribuan)
| 4 |
5 |
4 |
3 |
| 2, 3, 5, 7 |
0, 1, 2, 3, 5, 7 |
|
|
Banyak bilangan = 4 × 5 × 4 × 3 = 240
Bilangan dari 10.000 s.d. 99999 (puluhan ribu)
| 5 |
5 |
4 |
3 |
2 |
| 1, 2, 3, 5, 7 |
0, 1, 2, 3, 5, 7 |
|
|
|
Banyak bilangan = 5 × 5 × 4 × 3 × 2 = 600
Bilangan dari 100.000 s.d. 999999 (ratusan ribu)
| 5 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
| 1, 2, 3, 5, 7 |
0, 1, 2, 3, 5, 7 |
|
|
|
|
Banyak bilangan = 5 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 600
Total bilangan yang terbentuk = 240 + 600 + 600 = 1440
Soal 06
Banyaknya bilangan kelipatan 5 dengan angka berbeda dan terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka 0 sampai 6 adalah…
(A) 200
(B) 220
(C) 240
(D) 260
(E) 280
Jawaban: B
Angka yang tersedia 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (tujuh angka)
Bilangan kelipatan 5 cirinya adalah angka paling belakang diisi oleh 0 atau 5
Kemungkinan 1: angka paling belakang 0
| 6 |
5 |
4 |
1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
|
|
0 |
Banyak bilangan pada kemungkinan pertama adalah 6 × 5 × 4 × 1 = 120
Kemungkinan 2: angka paling belakang 5
| 5 |
5 |
4 |
1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
|
|
5 |
Banyak bilangan pada kemungkinan pertama adalah 5 × 5 × 4 × 1 = 100
Jadi, banyaknya bilangan kelipatan 5 dengan angka berbeda dan terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka 0 sampai 6 adalah 120 + 100 = 220
Soal 07
Palindrom adalah bilangan yang dibaca dari depan dan belakang hasilnya sama (contoh: 1, 232, 4554). Banyaknya palindrom yang terdiri dari 5 angka adalah…
(A) 450
(B) 500
(C) 900
(D) 1000
(E) 1800
Jawaban: C
Bilangan palindrom yang terdiri dari 5 angka memiliki format \(\color{blue} abcba\)
\(a\) tidak boleh 0, sehingga \(a\) dapat bernilai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9
Ada 9 pilihan untuk \(a\)
\(b\) dan \(c\) dapat bernilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9
Ada 10 pilihan untuk \(b\) dan 10 pilihan untuk \(c\)
Jadi, banyaknya palindrom yang terdiri dari 5 angka adalah 9 × 10 × 10 = 900
Soal 08
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan A = {1, 2, 3, …, 15} yang terdiri dari 3 anggota dan jumlah semua anggotanya genap adalah…
(A) 227
(B) 228
(C) 231
(D) 232
(E) 233
Jawaban: C
Angka genap dari A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} → tujuh angka genap
Angka ganjil dari A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} → delapan angka ganjil
Agar jumlah dari 3 anggota menjadi genap, maka ada 2 kemungkinan:
Kemungkinan pertama: 3 angkanya harus genap
Banyak cara memilih 3 angka dari tujuh angka genap = \(\textbf{C}_3^7 = 35\)
Kemungkinan kedua: 1 angka genap dan 2 angka ganjil
Banyak cara memilih 1 angka genap dari tujuh angka genap dan 2 angka ganjil dari delapan angka ganjil = \(\textbf{C}_1^7 \times \textbf{C}_2^8 = 196\)
Jadi, banyaknya himpunan bagian dari himpunan A = {1, 2, 3, …, 15} yang terdiri dari 3 anggota dan jumlah semua anggotanya genap adalah 231
