Menentukan Determinan Matriks Berukuran 2 × 2
\(\color{blue}\textbf{A} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\)
Determinan matriks
A ditulis
|A| diperoleh dengan mengurangkan hasil perkalian entri pada diagonal pertama dengan perkalian entri pada diagonal kedua.
\(|\textbf{A}| = a_{11}\cdot a_{22}\:-\:a_{12} \cdot a_{21}\)
Contoh:
\(\textbf{A} = \begin{bmatrix}2 & -5 \\3 & 1 \end{bmatrix}\)
\(|\textbf{A}| = 2\cdot 1\:-\:(-5) \cdot 3\)
\(|\textbf{A}| = 2 + 15\)
\(|\textbf{A}| = 17\)
Menentukan Determinan Matriks Berukuran 3 × 3
\(\color{blue}\textbf{B} = \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22}& b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}\)
Determinan matriks
B ditulis
|B|
Tambahkan dua kolom pertama pada matriks
B
\(\color{blue}\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} &b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}& b_{23}& b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{31} & b_{32}\end{bmatrix}\)
\(\color{blue}|\textbf{B}| = b_{11}b_{22}b_{33} + b_{12}b_{23}b_{31} + b_{13}b_{21}b_{32}\:-\:b_{31}b_{22}b_{13}\:-\:b_{32}b_{23}b_{11}\:-\:b_{33}b_{21}b_{12}\)
Contoh 1
\(\textbf{C} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 5 \\2 & 3 & 1\\4&1&3 \end{bmatrix}\)
Jumlahkan hasil perkalian entri pada arah panah ke bawah kemudian kurangi dengan hasil perkalian entri pada arah panah ke atas.
\(|\textbf{C}| = 9 + 4 + 10\:-\:60 \:-\:1\:-\:6\)
\(|\textbf{C}| = 23\:-\:67\)
\(|\textbf{C}| = -44\)
Contoh 2
\(\textbf{B} = \begin{bmatrix}2 & 0 & 3 \\5 & -2 & 0\\0&-1&4 \end{bmatrix}\)
Jumlahkan hasil perkalian entri pada arah panah ke bawah kemudian kurangi dengan hasil perkalian entri pada arah panah ke atas.
\(|\textbf{B}| = -16 + 0 + (-15)\:-\:0 \:-\:0\:-\:0\)
\(|\textbf{B}| = -31\)
Cara lain dalam menentukan determinan matriks
A berukuran
3 × 3:
\(\textbf{A} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\)
\(|\textbf{A}| = +a_{11} \cdot \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\:-\:a_{12} \cdot \begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{13} \cdot \begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}\)
Contoh:
Tentukan determinan matriks \(\textbf{A} = \begin{bmatrix}2 & 3 & -7 \\-2 & 0& 3\\ 1 & 5 & 4\end{bmatrix}\)
Penyelesaian:
\(|\textbf{A}| = +2 \cdot \begin{vmatrix}0 & 3\\ 5 & 4\end{vmatrix}\:-\:3 \cdot \begin{vmatrix}-2& 3\\ 1 & 4\end{vmatrix} + (-7) \cdot \begin{vmatrix}-2& 0\\ 1 & 5\end{vmatrix}\)
\(|\textbf{A}| = +2 \cdot (-15)\:-\:3 \cdot (-11)+ (-7) \cdot (-10)\)
\(|\textbf{A}| = -30 + 33 + 70\)
\(|\textbf{A}| = 73\)
