Bentuk Akar

Bentuk 1

Mengubah bentuk pangkat menjadi bentuk akar

\(\color{blue} a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n] {a^m}\)

 

Contoh:

  • \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)
  • \(5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}\)
  • \(7^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{7^3}\)

Bentuk 2

Bentuk penjumlahan dan pengurangan akar

\(\color{blue} m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m +n)\sqrt{a}\)

\(\color{blue} m\sqrt{a} \:-\: n\sqrt{a} = (m \:-\:n)\sqrt{a}\)

 

Contoh 1

(\(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\)

\((2 + 5)\sqrt{3}\)

\(7\sqrt{3}\)

 

Contoh 2

\(7\sqrt{2} \:-\: 3\sqrt{2}\)

\((7\:-\:3)\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{2}\)

 

Contoh 3

\(125\sqrt{17} \:-\: 100\sqrt{17} + 5\sqrt{17}\)

\((125\:-\:100 + 5)\sqrt{17}\)

\(30\sqrt{17}\)

 

Bentuk 3

Bentuk perkalian akar

\(\color{blue}\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}\)

 

Contoh 1

\(\sqrt{5}\times \sqrt{7}\)

\(\sqrt{5 \times 7}\)

\(\sqrt{35}\)

 

Contoh 2

\(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{5}\)

\(\sqrt{2 \times 3 \times 5}\)

\(\sqrt{30}\)

 

Contoh 3

\(\sqrt[3]{2}\times \sqrt[3]{5}\)

\(\sqrt[3]{2 \times 5}\)

\(\sqrt[3]{10}\)

 

Bentuk 4

Bentuk pembagian akar

\(\color{blue} \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

 

Contoh:

  • \(\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
  • \(\sqrt{\dfrac{5}{12}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\)
  • \(\sqrt[3]{\dfrac{2}{7}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}\)

Bentuk 5

Bentuk akar dalam akar

\(\color{blue}\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}\)

 

Contoh:

  • \(\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}\)
  • \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[9]{5} = 5^{\frac{1}{9}}\)
  • \(\sqrt[3]{\sqrt[2]{7}} = \sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}}\)

 

Cara Merasionalkan Bentuk Akar

 

Berikut ini contoh bentuk-bentuk penulisan akar yang harus dirasionalkan

Contoh 1

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

 

 

Contoh 2

\(\dfrac{1}{3\sqrt{5}}\)

 

 

Contoh 3

\(\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}\)

 

 

Contoh 4

\(\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} \:-\: \sqrt{3}}\)

 

 

Contoh 5

\(\dfrac{1}{3\:-\:\sqrt{5}\:-\:\sqrt{2}}\)

 

Penarikan Akar

 

Berikut ini adalah cara penarikan akar:

  • \(\color{blue}\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
  • \(\color{blue}\sqrt{(a + b) \:-\: 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} \:-\: \sqrt{b}\)

 

Contoh 1

\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \dotso\)

 

Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 6 dan dijumlahkan hasilnya 5.

Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 6 ada beberapa kemungkinan, yaitu:

  • \(1 \times 6\)
  • \(2 \times 3\)

Bila bilangannya adalah 1 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 5, jadi tidak dipilih.

Bila bilangannya adalah 2 dan 3 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 5, maka bilangan yang dipilih adalah 2 dan 3.

\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(2 + 3) + 2\sqrt{2\cdot 3}}\)

\(\text{Jadi, } \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)

 

Contoh 2

\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \dotso\)

 

Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 30 dan dijumlahkan hasilnya 11.

Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 30 ada beberapa kemungkinan, yaitu:

  • \(1 \times 30\)
  • \(2 \times 15\)
  • \(3 \times 10\)
  • \(5 \times 6\)

Bila bilangannya adalah 1 dan 30 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.

Bila bilangannya adalah 2 dan 15 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.

Bila bilangannya adalah 3 dan 10 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.

Bila bilangannya adalah 5 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 11, maka bilangan yang dipilih adalah 5 dan 6.

\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{(6 + 5) + 2\sqrt{6\cdot 5}}\)

\(\text{Jadi, } \sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{6}\:-\:\sqrt{5}\)

Perhatikan dalam penulisannya, angka yang terbesar yaitu 6 harus ditulis di depan, agar hasil penarikan akarnya positif.

 

Contoh 3

\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \dotso\)

 

Penyelesaian:

Munculkan angka 2 di depan akar,

\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{4 \cdot 20}}\)

\(\sqrt{9\:-\: \color{blue}2\color{black}\sqrt{20}}\)

 

Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 20 dan ditambah 9 adalah 5 dan 4, sehingga:

\(\sqrt{(5 + 4)\:-\:2\sqrt{5 \cdot 4}}\)

\(\sqrt{5}\:-\:\sqrt{4}\)

\(\sqrt{5}\:-\:2\)

 

Jadi, \(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \sqrt{5}\:-\:2\)

 

Contoh 4

\(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dotso\)

 

Penyelesaian:

Munculkan angka 2 di depan akar,

\( \sqrt{\dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{2}}\)

\(\sqrt{\dfrac{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}{2}}\)

\(\dfrac{\sqrt{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

\(\dfrac{\sqrt{(5 + 1) + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5\cdot 1}}}{\sqrt{2}}\)

\(\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)

Selanjutnya, kali sekawan

\(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(\dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)

 

Jadi, \(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)

 

Contoh 5

\(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dotso\)

 

Penyelesaian:

Samakan penyebut,

\(\sqrt{\dfrac{15}{6} + \dfrac{2\sqrt{56}}{6}}\)

\(\sqrt{\dfrac{15 + 2\sqrt{56}}{6}}\)

\(\dfrac{\sqrt{15 + 2\sqrt{56}}}{\sqrt{6}}\)

\(\dfrac{\sqrt{(8 + 7) + 2\sqrt{8 \cdot 7}}}{\sqrt{6}}\)

\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)

\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\)

\(\dfrac{\sqrt{48} + \sqrt{42}}{6}\)

\(\dfrac{\sqrt{16\cdot 3} + \sqrt{42}}{6}\)

\(\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)

 

Jadi, \(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)

 

Contoh Soal

 

Contoh 1

Sederhanakan \(\sqrt{75} + 2\sqrt{3} \:-\: 5\sqrt{27} + 5\sqrt{12}\)

 

 

Contoh 2

Nyatakan \(x\sqrt{x\sqrt[3]{x^2\:\sqrt[4]{x^3\:\sqrt[5]{x^4}}}}\) dalam bentuk pangkat yang sederhana

 

 

Contoh 3

Sederhanakan bentuk:

\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\)

 

Contoh 4

Sederhanakan bentuk \(\sqrt{3 + \sqrt{29 + 12\sqrt{5}}}\)

 

 

Contoh 5

Hitunglah nilai \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4\:-\: \sqrt{7}}\)