Berikut ini adalah cara penarikan akar:
- \(\color{blue}\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)
- \(\color{blue}\sqrt{(a + b) \:-\: 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a} \:-\: \sqrt{b}\)
Contoh 1
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 6 dan dijumlahkan hasilnya 5.
Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 6 ada beberapa kemungkinan, yaitu:
- \(1 \times 6\)
- \(2 \times 3\)
Bila bilangannya adalah 1 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 5, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 2 dan 3 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 5, maka bilangan yang dipilih adalah 2 dan 3.
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(2 + 3) + 2\sqrt{2\cdot 3}}\)
\(\text{Jadi, } \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\)
Contoh 2
\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Carilah dua bilangan \(a\) dan \(b\) yang bila dikalikan hasilnya 30 dan dijumlahkan hasilnya 11.
Dua bilangan yang dikalikan hasilnya 30 ada beberapa kemungkinan, yaitu:
- \(1 \times 30\)
- \(2 \times 15\)
- \(3 \times 10\)
- \(5 \times 6\)
Bila bilangannya adalah 1 dan 30 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 2 dan 15 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 3 dan 10 kalau dijumlahkan hasilnya tidak sama dengan 11, jadi tidak dipilih.
Bila bilangannya adalah 5 dan 6 kalau dijumlahkan hasilnya sama dengan 11, maka bilangan yang dipilih adalah 5 dan 6.
\(\sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{(6 + 5) + 2\sqrt{6\cdot 5}}\)
\(\text{Jadi, } \sqrt{11\:-\: 2\sqrt{30}} = \sqrt{6}\:-\:\sqrt{5}\)
Perhatikan dalam penulisannya, angka yang terbesar yaitu 6 harus ditulis di depan, agar hasil penarikan akarnya positif.
Contoh 3
\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Munculkan angka 2 di depan akar,
\(\sqrt{9\:-\: \sqrt{4 \cdot 20}}\)
\(\sqrt{9\:-\: \color{blue}2\color{black}\sqrt{20}}\)
Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 20 dan ditambah 9 adalah 5 dan 4, sehingga:
\(\sqrt{(5 + 4)\:-\:2\sqrt{5 \cdot 4}}\)
\(\sqrt{5}\:-\:\sqrt{4}\)
\(\sqrt{5}\:-\:2\)
Jadi, \(\sqrt{9\:-\: \sqrt{80}} = \sqrt{5}\:-\:2\)
Contoh 4
\(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Munculkan angka 2 di depan akar,
\( \sqrt{\dfrac{2(3 + \sqrt{5})}{2}}\)
\(\sqrt{\dfrac{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{6 + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{(5 + 1) + \color{blue}2\color{black}\sqrt{5\cdot 1}}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)
Selanjutnya, kali sekawan
\(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)
Jadi, \(\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)
Contoh 5
\(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dotso\)
Penyelesaian:
Samakan penyebut,
\(\sqrt{\dfrac{15}{6} + \dfrac{2\sqrt{56}}{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{15 + 2\sqrt{56}}{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{15 + 2\sqrt{56}}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{(8 + 7) + 2\sqrt{8 \cdot 7}}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{8} + \sqrt{7}}{\sqrt{6}}\times \color{red} \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\)
\(\dfrac{\sqrt{48} + \sqrt{42}}{6}\)
\(\dfrac{\sqrt{16\cdot 3} + \sqrt{42}}{6}\)
\(\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)
Jadi, \(\sqrt{\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{56}}{3}} = \dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{42}}{6}\)