Soal 01
Dua belas koin bersisi gambar dan angka ditos, peluang munculnya tepat 3 sisi gambar adalah…
(A) \(\dfrac{220}{4096}\)
(B) \(\dfrac{221}{4096}\)
(C) \(\dfrac{222}{4096}\)
(D) \(\dfrac{223}{4096}\)
(E) \(\dfrac{224}{4096}\)
Jawaban: A
Gunakan rumus binomial
\(\color{blue} b(x; n, p) = \text{C}_x^n \cdot p^x \cdot (1\:-\:p)^{n\:-\:1}\)
\(p\) = peluang muncul gambar = ½
\(1\:-\:p\) = peluang muncul angka = ½
\(\text{P}(x = 3) =\text{C}_3^{12} \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{12\:-\:3}\)
\(\text{P}(x = 3) = \dfrac{12!}{(12\:-\:3)! \cdot 3!}\cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{512}\)
\(\text{P}(x = 3) = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot 6}\cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{512}\)
\(\text{P}(x = 3) = \dfrac{220}{4096}\)
Soal 02
Hasil survey terhadap 50 siswa di suatu sekolah, 22 orang menyukai pelajaran matematika, 23 orang menyukai fisika, dan 24 orang tidak menyukai satupun dari kedua mata pelajaran tersebut. Jika dipilih seorang siswa secara acak, peluang terpilihnya siswa yang hanya menyukai matematika adalah…
(A) 0,02
(B) 0,04
(C) 0,05
(D) 0,06
(E) 0,08
Jawaban: B
Misal jumlah siswa yang menyukai matematika dan fisika adalah \(x\) orang.
\(22\:-\:x + x + 23\:-\:x + 24 = 50\)
\(69\:-\:x = 50\)
\(x = 69\:-\:50\)
\(x = 19\)
Ada 19 siswa yang menyukai matematika dan fisika.
Siswa yang hanya menyukai matematika = \(22\:-\:x = 22\:-\:19 = 3\)
A = jumlah siswa yang hanya menyukai matematika
P(A) = \(\dfrac{3}{50} = 0,06\)
Soal 03
Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola merah, 5 bola kuning, dan 2 bola biru. Jika dari kotak tersebut diambil 3 bola secara acak, peluang terambilnya 3 bola berwarna sama adalah…
(A) \(\dfrac{10}{120}\)
(B) \(\dfrac{11}{120}\)
(C) \(\dfrac{12}{120}\)
(D) \(\dfrac{13}{120}\)
(E) \(\dfrac{14}{120}\)
Jawaban: B
Kemungkinan 3 bola warna terambil adalah 3 bola merah atau 3 bola kuning.
A = terambil 3 bola warna sama
\(\text{P(A)} = \dfrac{\text{C}_3^3 + \text{C}_3^5}{\text{C}_3^{10}}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{1 + \dfrac{5!}{(5\:-\:3)! \cdot 3!}}{\dfrac{10!}{(10\:-\:3)! \cdot 3!}}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{1 + 10}{120}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{11}{120}\)
Soal 04
Empat buah dadu ditos, peluang munculnya jumlah keempat mata dadu sama dengan 8 atau keempat mata dadu muncul double pairs (contoh: 2233) adalah…
(A) \(\dfrac{119}{1296}\)
(B) \(\dfrac{120}{1296}\)
(C) \(\dfrac{121}{1296}\)
(D) \(\dfrac{122}{1296}\)
(E) \(\dfrac{124}{1296}\)
Jawaban: E
n(S) = \(6^4 = 1296\)
A = munculnya jumlah keempat mata dadu sama dengan 8
Kemungkinannya adalah:
\((1, 1, 1, 5) = \dfrac{4!}{3!} = 4\)
\((1, 1, 2, 4) = \dfrac{4!}{2!} = 12\)
\(\color{red} (1, 1, 3, 3) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((1, 2, 2, 3) = \dfrac{4!}{2!} = 12\)
\((2, 2, 2, 2) = 1\)
n(A) = 35
B = munculnya keempat mata dadu double pairs
\((1, 1, 2, 2) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\(\color{red} (1, 1, 3, 3) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((1, 1, 4, 4) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((1, 1, 5, 5) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((1, 1, 6, 6) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((2, 2, 3, 3) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((2, 2, 4, 4) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((2, 2, 5, 5) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((2, 2, 6, 6) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((3, 3, 4, 4) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((3, 3, 5, 5) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((3, 3, 6, 6) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((4, 4, 5, 5) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((4, 4, 6, 6) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
\((5, 5, 6, 6) = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\)
n(B) = 6 × 15 = 90
A ∩ B = (1, 1, 3, 3)
n(A ∩ B) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = \(\dfrac{35}{1296} + \dfrac{90}{1296} \:-\: \dfrac{1}{1296}\)
P(A ∪ B) = \(\dfrac{124}{1296}\)
Soal 05
Dari hasil ujian, peluang uji ulang adalah 0,4. Peluang uji ulang jika diketahui hasil ujian kimia adalah 0,8 dan peluang hasil ujian kimia 0,25. Peluang uji ulang atau hasil ujian kimia adalah…
(A) 0,40
(B) 0,45
(C) 0,50
(D) 0,55
(E) 0,60
Jawaban: B
P(A) = peluang uji ulang = 0,4
P(B) = peluang hasil ujian kimia = 0,25
P(A|B) = 0,8
P(A ∪ B) = ?
\(\text{P} (\text{A} | \text{B}) = \dfrac{\text{P}(\text{A} \cap \text{B})}{\text{P(B)}}\)
\(0,8 = \dfrac{\text{P}(\text{A} \cap \text{B})}{0,25}\)
\(\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0,2\)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,25 − 0,2
P(A ∪ B) = 0,45
Soal 06
Di dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah, 3 bola biru, dan 1 bola hijau. Dari kotak tersebut diambil dua bola berturut-turut 2 kali tanpa pengembalian. Peluang terambilnya pertama bola biru dan merah, pengambilan kedua warna yang sama adalah…
(A) \(\dfrac{2}{35}\)
(B) \(\dfrac{3}{35}\)
(C) \(\dfrac{4}{35}\)
(D) \(\dfrac{5}{35}\)
(E) \(\dfrac{6}{35}\)
Jawaban: C
P(A) = Peluang pada pengambilan pertama untuk mendapat bola biru dan merah.
P(A) = \(\dfrac{\text{C}_1^3 \cdot \text{C}_1^4}{\text{C}_2^8} = \dfrac{3}{7}\)
P(B) = Peluang pada pengambilan kedua mendapat 2 bola warna sama
Terdapat dua kemungkinan yaitu 2 bola biru atau 2 bola merah yang terambil
P(B) = \(\dfrac{\text{C}_2^2 + \text{C}_2^2}{\text{C}_2^6}\)
P(B) = \(\dfrac{4}{15}\)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A ∩ B) = \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{15}\)
P(A ∩ B) = \(\dfrac{4}{35}\)
Soal 07
Sebuah toko elektronik menjual 10 buah lampu dan 3 diantaranya rusak. Peluang pembeli ketiga mendapat lampu yang bagus adalah…
(A) \(\dfrac{7}{10}\)
(B) \(\dfrac{8}{10}\)
(C) \(\dfrac{8}{10}\)
(D) \(\dfrac{8}{10}\)
(E) \(\dfrac{7}{11}\)
Jawaban: A
Kemungkinan 1
Pembeli pertama dapat lampu rusak, pembeli kedua dapat lampu rusak, pembeli ketiga dapat lampu bagus.
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{42}{120}\)
Kemungkinan 2
Pembeli pertama dapat lampu bagus, pembeli kedua dapat lampu rusak, pembeli ketiga dapat lampu bagus.
\(\dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{9} \times \dfrac{6}{8} = \dfrac{126}{720}\)
Kemungkinan 3
Pembeli pertama dapat lampu bagus, pembeli kedua dapat lampu bagus, pembeli ketiga dapat lampu bagus.
\(\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{210}{720}\)
Kemungkinan 4
Pembeli pertama dapat lampu rusak, pembeli kedua dapat lampu bagus, pembeli ketiga dapat lampu bagus.
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{7}{9} \times \dfrac{6}{8} = \dfrac{126}{720}\)
Semua kemungkinan di atas dijumlahkan.
\(p = \dfrac{504}{720}\)
\(p = \dfrac{7}{10}\)
Soal 08
Anto dan Budi bermain mengambil sebuah bola dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah dan 1 bola putih dan setiap pengambilan dikembalikan. Anto terlebih dahulu mengambil bola kemudian dilanjutkan oleh Budi. Pemenang dalam permainan ini adalah yang mendapatkan bola putih pertama kali. Peluang Budi memenangkan permainan ini adalah…
(A) \(\dfrac{1}{2}\)
(B) \(\dfrac{2}{5}\)
(C) \(\dfrac{3}{7}\)
(D) \(\dfrac{4}{7}\)
(E) \(\dfrac{7}{16}\)
Jawaban: C
Kemungkinan 1: Anto mendapatkan bola merah pada giliran pertama, dan Budi mendapatkan bola putih pada giliran kedua.
Peluang Anto mendapatkan bola merah adalah \(\dfrac{3}{4}\), dan setelah itu, peluang Budi mendapatkan bola putih adalah \(\dfrac{1}{4}\). Jadi, peluang Budi menang dalam permainan ini adalah \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}\)
Kemungkinan 2: Anto mendapatkan bola merah pada giliran pertama, Budi mendapatkan bola merah pada giliran kedua, dan Anto mendapatkan bola merah lagi pada giliran ketiga, dan seterusnya.
Jika keduanya terus-menerus mendapatkan bola merah, maka urutan pengambilan akan kembali ke keadaan semula setelah satu putaran penuh (dua kali pengambilan bola). Oleh karena itu, kita dapat menganggap bahwa peluang Budi menang akan memiliki pola yang berulang.
Peluang total bagi Budi untuk menang adalah jumlah dari semua kemungkinan yang mungkin di mana Budi mendapatkan bola putih terlebih dahulu. Secara umum, kita bisa menuliskan peluang Budi menang sebagai deret geometri.
\(\text{P(Budi menang)} = \dfrac{3}{16} + \left(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{16}\right) + \left(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{16}\right) + \dotso\)
Dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga
\(\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1\:-\:r}\)
dengan \(r = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{16}}{\dfrac{3}{16}} = \dfrac{9}{16}\)
\(\text{P(Budi menang)} = \text{S}_{\infty} = \dfrac{\dfrac{3}{16}}{1\:-\: \dfrac{9}{16}}\)
\(\text{P(Budi menang)} = \text{S}_{\infty} = \dfrac{\dfrac{3}{16}}{\dfrac{7}{16}}\)
\(\text{P(Budi menang)} = \text{S}_{\infty} = \dfrac{3}{7}\)
Soal 09
Caca, Dian, dan Eko bermain melempar sebuah dadu, yang mendapatkan mata 6 pada pelemparan dadu pertama kali memenangkan permainan. Permainan dimulai dari Caca, jika gagal dilanjutkan Dian, jika gagal lagi dilanjutkan Eko, dan seterusnya jika gagal kembali ke Caca lagi. Peluang Eko memenangkan permainan adalah…
(A) \(\dfrac{25}{91}\)
(B) \(\dfrac{26}{91}\)
(C) \(\dfrac{27}{91}\)
(D) \(\dfrac{28}{91}\)
(E) \(\dfrac{29}{91}\)
Jawaban: A
Peluang mendapat mata dadu 6 adalah \(\dfrac{1}{6}\)
Peluang tidak mendapat mata dadu 6 adalah \(\dfrac{5}{6}\)
Kemungkinan 1: Eko menang pada lemparan dadu ketiga
Pada lemparan pertama (Caca) dan kedua (Dian), mereka gagal mendapatkan mata dadu 6, dan pada lemparan ketiga (Eko), Eko berhasil mendapatkan 6.
\(\text{P(Eko menang)} = \text{P(Caca tidak 6)} \times \text{P(Dian tidak 6)} \times \text{P(Eko dapat 6)}\)
\(\text{P(Eko menang)} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6}\)
\(\text{P(Eko menang)} = \dfrac{25}{216}\)
Kemungkinan 2: Eko menang pada lemparan dadu keenam
Jika pada lemparan ketiga Eko gagal, maka permainan akan kembali ke Caca, Dian, dan Eko lagi. Untuk Eko menang pada lemparan keenam, kedua pemain sebelumnya (Caca, Dian) gagal mendapatkan mata dadu 6, dan Eko harus mendapatkan mata dadu 6 pada lemparan keenam.
\(\text{P(Eko menang)} = \text{P(Caca tidak 6)} \times \text{P(Dian tidak 6)} \times \text{P(Eko tidak 6)} \times \text{P(Caca tidak 6)} \times \text{P(Dian tidak 6)} \times \text{P(Eko dapat 6)}\)
\(\text{P(Eko menang)} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} \)
\(\text{P(Eko menang)} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 \times \dfrac{1}{6} \)
Dapat ditulis
\(\text{P(Eko menang)} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \times \dfrac{25}{216} \)
Karena ini adalah permainan yang berulang setiap 3 giliran, peluang Eko menang secara umum pada giliran ke-3n (n adalah bilangan bulat positif) dapat dihitung menggunakan deret geometri. Oleh karena itu, total peluang Eko menang adalah jumlah dari peluang-peluang yang ada pada setiap giliran yang menguntungkan Eko.
\(\text{P(Eko menang)} = \dfrac{25}{216} +\left[\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \times \dfrac{25}{216}\right] + \left[\left(\dfrac{5}{6}\right)^6 \times \dfrac{25}{216}\right] + \dotso\)
Dengan rumus deret geometri tak hingga
\(\text{S}_{\infty} = \dfrac{a}{1\:-\:r}\)
dengan \(r = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \times \dfrac{25}{216} }{\dfrac{25}{216}} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3\)
\(\text{P(Eko menang)} = \text{S}_{\infty} = \dfrac{\dfrac{25}{216}}{1\:-\: \left(\dfrac{5}{6}\right)^3}\)
\(\text{P(Eko menang)} = \dfrac{25}{91}\)
Soal 10
Terdapat dua buah kantong.
Kantong pertama berisi 1 bola merah dan 5 bola biru.
Kantong kedua berisi 3 bola hijau dan 2 bola biru.
Mula-mula diambil 3 bola secara acak dari kantong pertama kemudian dimasukkan ke kantong kedua, dari kantong kedua diambil lagi 3 bola untuk dimasukkan kembali ke kantong pertama.
Peluang bola merah masih ada di kantong pertama adalah…
(A) \(\dfrac{77}{112}\)
(B) \(\dfrac{78}{112}\)
(C) \(\dfrac{79}{112}\)
(D) \(\dfrac{80}{112}\)
(E) \(\dfrac{81}{112}\)
Jawaban: A
Kemungkinan 1: bola merah tetap di kantong pertama.
Dari kantong pertama terambil 3 bola biru kemudian dimasukkan ke kantong kedua. Kantong kedua sekarang berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari kantong kedua terambil 3 bola bebas untuk dimasukkan ke kantong pertama.
\(\text{P(A)} = \dfrac{\text{C}_3^5}{\text{C}_3^6} \times \dfrac{\text{C}_3^8}{\text{C}_3^8}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}\)
Kemungkinan 2: bola merah terambil dari kantong pertama kemudian terambil lagi dari kantong kedua.
Dari kantong pertama terambil 1 bola merah dan 2 bola biru kemudian dimasukkan ke kantong kedua. Kantong kedua sekarang berisi 1 bola merah, 3 bola hijau dan 4 bola biru. Dari kantong kedua terambil 1 bola merah dan 2 bola bebas untuk dimasukkan lagi ke kantong pertama.
\(\text{P(A)} = \dfrac{\text{C}_1^1 \cdot \text{C}_2^5}{\text{C}_3^6} \times \dfrac{\text{C}_1^1 \cdot \text{C}_2^7}{\text{C}_3^8}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{10}{20} \times \dfrac{21}{56}\)
\(\text{P(A)} = \dfrac{21}{112}\)
Peluang bola merah tetap di kantong pertama merupaka jumlahan peluang pada kemungkina pertama dan kedua.
\(\text{P(masih di kantong pertama)} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{21}{112}\)
\(\text{P(masih di kantong pertama)} = \dfrac{77}{112}\)
