Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\) dengan \(a \neq 0\)
Terdapat 3 metode untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat yaitu:
- Metode Pemfaktoran
- Metode Kuadrat Sempurna
- Menggunakan Rumus abc
Kita akan bahas satu persatu ketiga metode tersebut.
Metode Pemfaktoran
\(ax^2 + bx = 0\)
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 + 12x = 0\)
Penyelesaian
\(x^2 + 12x = 0\:\:\:\:\:\color{blue} \text{faktorkan}\)
Dalam memfaktorkan, carilah FPB dari \(x^2\) dan \(12x\) yaitu \(x\)
\(x(x + 12)= 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x = 0\)
\(x_1 = 0\) |
\(x + 12 = 0\)
\(x_2 = -12\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(0\) dan \(-12\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(6x^2\:-\:15x = 0\)
Penyelesaian
\(6x^2\:-\:15x = 0\:\:\:\:\:\color{blue} \text{faktorkan}\)
Dalam memfaktorkan, carilah FPB dari \(6x^2\) dan \(15x\) yaitu \(3x\)
\(3x(2x\:-\:5)= 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(3x = 0\)
\(x_1 = 0\) |
\(2x \:-\: 5 = 0\)
\(2x = 5\) \(x_2 = \dfrac{5}{2}\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(0\) dan \(\dfrac{5}{2}\)
\((ax)^2 \:-\: c^2 = 0\)
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 \:-\:25 = 0\)
Penyelesaian
Gunakan rumus pemfaktoran berikut:
\((ax)^2 \:-\: c^2 = (ax + c)(ax\:-\:c)\)
\(x^2 \:-\:25= 0\:\:\:\:\:\color{blue} \text{faktorkan}\)
\(x^2 \:-\:5^2= 0\)
\(x + 5)(x\:-\:5) = 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x + 5= 0\)
\(x_1 = -5\) |
\(x\:-\:5 = 0\)
\(x_2 = 5\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-5\) dan \(5\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(9x^2\:-\:16 = 0\)
Penyelesaian
Gunakan rumus pemfaktoran berikut:
\((ax)^2 \:-\: c^2 = (ax + c)(ax\:-\:c)\)
\(9x^2\:-\:16= 0\:\:\:\:\:\color{blue} \text{faktorkan}\)
\(3^2\cdot x^2\:-\:4^2= 0\)
\((3x)^2\:-\:4^2= 0\)
\(3x + 4)(3x\:-\:4) = 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(3x + 4= 0\)
\(3x = -4\) \(x_1 = -\dfrac{4}{3}\) |
\(3x\:-\:4 = 0\)
\(3x = 4\) \(x_2 = \dfrac{4}{3}\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \( -\dfrac{4}{3}\) dan \(\dfrac{4}{3}\)
\(ax^2 + bx + c = 0\) dengan nilai \(a = 1\)
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 +5x \:-\: 6 = 0\)
Penyelesaian
Pemfaktoran bentuk \(x^2 + (p + q)x + p\cdot q = 0\) adalah \((x + p)(x + q) = 0\), dengan \(p\) dan \(q\) adalah akar-akar persamaan kuadrat
Untuk \(x^2 +5x \:-\: 6 = 0\), carilah nilai \(p\) dan \(q\) sehingga jika \(p\) dan \(q\) dikalikan hasilnya adalah \(-6\), dan jika \(p\) dan \(q\) dijumlahkan hasilnya adalah \(+5\).
Kemungkinan nilai \(p\) dan \(q\) adalah sebagai berikut:
- Kemungkinan pertama \(\:p = 2\) dan \(q = 3\)
- Kemungkinan kedua \(\:p = 2\) dan \(q = -3\)
- Kemungkinan ketiga \(\:p = -2\) dan \(q = 3\)
- Kemungkinan keempat \(\:p = -2\) dan \(q = -3\)
- Kemungkinan kelima \(\:p = 6\) dan \(q = -1\)
- Kemungkinan keenam \(\:p = -6\) dan \(q = 1\)
- Kemungkinan ketujuh \(p\: = -6\) dan \(q = -1\)
Hanya ada 1 kemungkinan yang benar, kemungkinan yang manakah itu?
Ya benar, kemungkinan yang kelima
Sehingga pemfaktoran \(x^2 +5x \:-\: 6 = 0\) adalah \((x + 6)(x\:-\: 1)= 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x + 6 = 0\)
\(x_1 = -6\) |
\(x \:-\:1 = 0\)
\(x_2 = 1\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-6\) dan \(1\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2\:-\:7x +12 = 0\)
Penyelesaian
Carilah dua buah angka yang kalau dikalikan hasilnya \(+12\) dan jika dijumlahkan hasilnya \(-7\).
Dua angka yang memenuhi adalah \(-4\) dan \(-3\)
Sehingga pemfaktoran \(x^2 \:-\:7x +12 = 0\) adalah \((x\:-\:4)(x\:-\:3)= 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x\:-\:4 = 0\)
\(x_1 = 4\) |
\(x \:-\: 3= 0\)
\(x_2 = 3\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(4\) dan \(3\)
Contoh 3
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 \:-\:12x \:-\:28= 0\)
Penyelesaian
Carilah dua buah angka yang kalau dikalikan hasilnya \(-28\) dan jika dijumlahkan hasilnya \(-12\).
Dua angka yang memenuhi adalah \(-14\) dan \(2\)
Sehingga pemfaktoran \(x^2 \:-\:7x +12 = 0\) adalah \((x \:-\:14)(x +2)= 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x\:-\:14 = 0\)
\(x_1 = 14\) |
\(x +2= 0\)
\(x_2 = -2\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(14\) dan \(-2\)
\(ax^2 + bx + c = 0\) dengan nilai \(a \neq 1\)
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(2x^2 +5x\:-\: 3= 0\)
Penyelesaian
\(2x^2 +5x \:-\: 3= 0\)
Kalikan angka \(2\) (paling depan) dan angka \(-3\) (paling belakang) hasilnya adalah \(-6\)
Carilah dua angka yang jika dikalikan hasilnya \(-6\) dan jika ditambahkan hasilnya \(+5\)
Dua angka yang memenuhi adalah \(+6\) dan \(-1\)
Angka \(+6\) dan \(-1\) ini yang akan digunakan untuk memecah angka \(+5\) (yang di tengah)
\(2x^2 +5x \:-\: 3= 0\)
\(2x^2 +6x \:-\: x \:-\:3= 0\)
\((2x^2 +6x) – (x + 3)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{pisah menjadi 2 bagian}\)
\(2x(x + 3) \:-\: (x + 3)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\((x + 3)(2x \:-\: 1) = 0\)
Sehingga pemfaktoran \(2x^2 +5x \:-\:3= 0\) adalah \((x + 3)(2x \:-\: 1) = 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x + 3 = 0\)
\(x_1 = -3\) |
\(2x \:-\: 1= 0\)
\(2x_2 = 1\) \(x_2 = \dfrac{1}{2}\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-3\) dan \( \dfrac{1}{2}\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(3x^2 +10x +8= 0\)
Penyelesaian
\(3x^2 +10x +8= 0\)
Kalikan angka \(3\) (paling depan) dan angka \(8\) (paling belakang) hasilnya adalah \(+24\)
Carilah dua angka yang jika dikalikan hasilnya \(+24\) dan jika ditambahkan hasilnya \(+10\)
Dua angka yang memenuhi adalah \(+6\) dan \(+4\)
Angka \(+6\) dan \(+4\) ini yang akan digunakan untuk memecah angka \(+10\) (yang di tengah)
\(3x^2 +10x +8= 0\)
\(3x^2 +6x +4x +8= 0\)
\((3x^2 +6x) + (4x + 8)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{pisah menjadi 2 bagian}\)
\(3x(x + 2) +4 (x + 2)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\((x + 2)(3x +4) = 0\)
Sehingga pemfaktoran \(3x^2 +10x +8= 0\) adalah \((x + 2)(3x +4) = 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x + 2 = 0\)
\(x_1 = -2\) |
\(3x +4= 0\)
\(3x_2 = -4\) \(x_2 = -\dfrac{4}{3}\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-2\) dan \( -\dfrac{4}{3}\)
Contoh 3
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(4x^2 +39x\:-\:10= 0\)
Penyelesaian
\(4x^2 +39x\:-\:10= 0\)
Kalikan angka \(4\) (paling depan) dan angka \(-10\) (paling belakang) hasilnya adalah \(-40\)
Carilah dua angka yang jika dikalikan hasilnya \(-40\) dan jika ditambahkan hasilnya \(+39\)
Dua angka yang memenuhi adalah \(+40\) dan \(-1\)
Angka \(+40\) dan \(-1\) ini yang akan digunakan untuk memecah angka \(+39\) (yang di tengah)
\(4x^2 +39x \:-\:10= 0\)
\(4x^2 +40x \:-\:x \:-\:10= 0\)
\((4x^2 +40x) \:-\: (x + 10)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{pisah menjadi 2 bagian}\)
\(4x(x + 10) \:-\: (x + 10)= 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\((x + 10)(4x \:-\:1) = 0\)
Sehingga pemfaktoran \(4x^2 +39x\:-\:10= 0\) adalah \((x + 10)(4x\:-\: 1) = 0\)
Faktor-faktor pembuat nol adalah:
| \(x + 10 = 0\)
\(x_1 = -10\) |
\(4x\:-\:1 = 0\)
\(4x = 1\) \(x_2 = \dfrac{1}{4}\) |
Jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-10\) dan \( \dfrac{1}{4}\)
Metode Kuadrat Sempurna
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 +3x \:-\:10= 0\)
Penyelesaian
\(x^2 +3x \:-\: 10= 0\)
\(x^2 +3x = 10\)
Note:
Ubah \(x^2 + 3x\) menjadi bentuk kuadrat, dengan membagi angka 3 dengan 2, sehingga menjadi \(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2\)
Agar tidak merubah nilai maka bentuk kuadrat tersebut dikurangi \(\color{red}\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 \:-\: \color{red}\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \color {black} = 10\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 \:-\: \dfrac{9}{4} = 10\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 = 10 + \dfrac{9}{4}\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{40}{4} + \dfrac{9}{4}\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{49}{4}\)
\(x+\dfrac{3}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}\)
\(x+\dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{7}{2}\)
\(x_{1, 2} = -\dfrac{3}{2}\pm \dfrac{7}{2}\)
\(x_1 = -\dfrac{3}{2}+ \dfrac{7}{2} = 2\)
\(x_2 = -\dfrac{3}{2}- \dfrac{7}{2} = -5\)
jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(2\) dan \(-5\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(3x^2 +14x \:-\: 5= 0\)
Penyelesaian
\(3x^2 +14x \:-\:5= 0\)
\(3x^2 +14x = 5\:\:\:\:\:\color{blue}\text{bagi kedua ruas dengan 3}\)
\(x^2 +\dfrac{14}{3} x = \dfrac{5}{3}\)
Note:
Ubah \(x^2 +\dfrac{14}{3} x\) menjadi bentuk kuadrat, dengan membagi \(\dfrac{14}{3}\) dengan 2, sehingga menjadi \((x+\dfrac{14}{6})^2\)
Agar tidak merubah nilai maka bentuk kuadrat tersebut dikurangi \(\color{red}\left(\dfrac{14}{6}\right)^2\)
\(\left(x+\dfrac{14}{6}\right)^2 \:-\: \color{red}\left(\dfrac{14}{6}\right)^2 \color{black} = \dfrac{5}{3}\)
\(\left(x+\dfrac{14}{6}\right)^2 \:-\: \color{red}\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \color{black} = \dfrac{5}{3}\)
\(\left(x+\dfrac{14}{6}\right)^2 \:-\: \dfrac{49}{9} = \dfrac{5}{3}\)
\(\left(x+\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{5}{3} + \dfrac{49}{9}\)
\(\left(x+\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{15}{9} + \dfrac{49}{9}\)
\(\left(x+\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{64}{9}\)
\(x+\dfrac{7}{3} = \pm \sqrt{\dfrac{64}{9}}\)
\(x+\dfrac{7}{3} = \pm \dfrac{8}{3}\)
\(x = -\dfrac{7}{3} \pm \dfrac{8}{3}\)
\(x_1 = -\dfrac{7}{3} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_2 = -\dfrac{7}{3} \:-\: \dfrac{8}{3} = -5\)
jadi akar-akar persamaan kuadratnya adalah \(-5\) dan \(\dfrac{1}{3}\)
Rumus abc
Penurunan rumus abc:
\(ax^2 + bx + c = 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{bagi kedua ruas dengan }a\)
\(x^2 + \dfrac{b}{a} x + \dfrac{c}{a} = 0\)
\(x^2 + \dfrac{b}{a} x = – \dfrac{c}{a}\)
\((x + \dfrac{b}{2a})^2 \:-\: (\dfrac{b}{2a})^2 = – \dfrac{c}{a}\)
\((x + \dfrac{b}{2a})^2 = (\dfrac{b}{2a})^2\:-\: \dfrac{c}{a}\)
\(x + \dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{(\dfrac{b}{2a})^2 \:-\: \dfrac{c}{a}}\)
\(x = – \dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{(\dfrac{b}{2a})^2 \:-\: \dfrac{c}{a}}\)
\(x = – \dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2}\:-\:\dfrac{4ac}{4a^2}}\)
\(x = – \dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2 \:-\: 4ac}{4a^2}}\)
\(x = – \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2\:-\: 4ac}}{2a}\)
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\: 4ac}}{2a}\)
Jadi untuk persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\) akar-akarnya dapat dicari menggunakan rumus abc berikut:
$$ \bbox [yellow, 5pt] {x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\:4ac}}{2a}}$$
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2 +4x \:-\: 1= 0\)
Penyelesaian
\(x^2 +4x\:-\: 1= 0\)
Nilai \(a = 1, b = 4, \text{ dan } c = -1\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\: 4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2\:-\: 4(1)(-1)}}{2(1)}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 +4}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{20}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4\times 5}}{2}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2}\)
\(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{5}\)
Jadi akar-akarnya adalah \(x_1 = -2 + \sqrt{5}\) dan \(x_2 = -2 \:-\: \sqrt{5}\)
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(2x^2\:-\:8x – 3= 0\)
Penyelesaian
\(2x^2 -8x \:-\: 3= 0\)
Nilai \(a = 2, b = -8, \text{ dan } c = -3\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 \:-\: 4ac}}{2a}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 \:-\: 4(2)(-3)}}{2(2)}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 +24}}{4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{88}}{4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{8\pm \sqrt{4\times 22}}{4}\)
\(x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 2\sqrt{22}}{4}\)
\(x_{1,2} = 2 \pm \frac{1}{2}\sqrt{22}\)
Jadi akar-akarnya adalah \(x_1 =2 +\frac{1}{2}\sqrt{22}\) dan \(x_2 = 2 \:-\:\frac{1}{2}\sqrt{22}\)