Menyusun Persamaan Kuadrat

Langkah 1: Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat semula

Persamaan kuadrat \(x^2 \:-\: 4x +1 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\)

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4}{1} = 4\)

\(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{1} = 1\)

Langkah 2: Menyusun persamaan kuadrat baru

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(x_1 + 5\) dan \(x_2 + 5\)

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita hitung dahulu jumlah akar dan hasil kali akar-akar yang barunya

Jumlah akar = \(x_1 + 5 + x_2 + 5\)

Jumlah akar =  \(x_1 + x_2 + 10\)

Substitusikan nilai \(x_1 + x_2 = 4\) yang diperoleh dari langkah pertama

Jumlah akar =  \(4 + 10 = 14\)

Hasil kali akar = \((x_1 + 5)(x_2 + 5)\)

Hasil kali akar = \(x_1\cdot x_2 + 5x_1 + 5x_2 + 25\)

Hasil kali akar = \(x_1\cdot x_2 + 5(x_1 + x_2) + 25\)

Substitusikan nilai \(x_1 \cdot x_2 = 1\) dan \(x_1 + x_2 = 4\) yang diperoleh dari langkah pertama

Hasil kali akar = \(1 + 5(4) + 25 = 46\)

Persamaan kuadrat barunya adalah:

\(x^2 \:-\: (\text{jumlah akar})x + \text{hasil kali akar} = 0\)

\(x^2\:-\: 14x + 46 = 0\)

Langkah 1: Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat semula

Persamaan kuadrat \(-x^2 +5x +3 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\)

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{-1} = 5\)

\(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{-1} = -3\)

Langkah 2: Menyusun persamaan kuadrat baru

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(2x_1\) dan \(2x_2\)

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita hitung dahulu jumlah akar dan hasil kali akar-akar yang barunya

Jumlah akar = \(2x_1 + 2x_2\)

Jumlah akar =  \(2(x_1 + x_2)\)

Substitusikan nilai \(x_1 + x_2 = 5\) yang diperoleh dari langkah pertama

Jumlah akar =  \(2(5) = 10\)

Hasil kali akar = \(2x_1 \cdot 2x_2\)

Hasil kali akar = \(4x_1\cdot x_2\)

Substitusikan nilai \(x_1 \cdot x_2 = -3\) yang diperoleh dari langkah pertama

Hasil kali akar = \(4(-3) = -12\)

Persamaan kuadrat barunya adalah:

\(x^2\:-\: (\text{jumlah akar})x + \text{hasil kali akar} = 0\)

\(x^2 \:-\:10x\:-\:12 = 0\)

Langkah 1: Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat semula

Persamaan kuadrat \(-2x^2 + x +4 = 0\) memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\)

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}\)

\(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{-2} = -2\)

Langkah 2: Menyusun persamaan kuadrat baru

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah \(\dfrac{2}{x_1}\) dan \(\dfrac{2}{x_2}\)

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita hitung dahulu jumlah akar dan hasil kali akar-akar yang barunya

Jumlah akar = \(\dfrac{2}{x_1} + \dfrac{2}{x_2}\:\:\:\:\:\color{blue}\text{samakan penyebut}\)

Jumlah akar =  \(\dfrac{2x_2 + 2x_1}{x_1 \cdot x_2}\)

Jumlah akar =  \(\dfrac{2(x_1 + x_2)}{x_1 \cdot x_2}\)

Substitusikan nilai \(x_1 + x_2 = \dfrac{1}{2}\)  dan \(x_1 \cdot x_2 = -2\) yang diperoleh dari langkah pertama

Jumlah akar =  \(\dfrac{2(\frac{1}{2})}{-2} = -\dfrac{1}{2}\)

Hasil kali akar = \(\dfrac{2}{x_1} \cdot \dfrac{2}{x_2}\)

Hasil kali akar = \(\dfrac{4}{x_1 \cdot x_2}\)

Substitusikan nilai \(x_1 \cdot x_2 = -2\) yang diperoleh dari langkah pertama

Hasil kali akar = \(\dfrac{4}{-2} = -2\)

Persamaan kuadrat barunya adalah:

\(x^2 \:-\: (\text{jumlah akar})x + \text{hasil kali akar} = 0\)

\(x^2 + \dfrac{1}{2}x \:-\:2 = 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{kali kedua ruas dengan 2}\)

\(2x^2 + x \:-\: 4 = 0\)