Akar-akar persamaan \(4x^2\:-\:ax + 5 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Jika \(x_1^2\:-\:2x_1\cdot x_2 + x_2^2 = -a\), maka nilai \(a = \dotso\)
Jawaban: E
Akar-akar persamaan \(4x^2\:-\:ax + 5 = 0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\)
\(\color{blue} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)
\(x_1 + x_2 = -\dfrac{-a}{4}\)
\(\color{blue} x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{5}{4}\)
\(x_1^2\:-\:2x_1\cdot x_2 + x_2^2 = -a\)
\(x_1^2 + x_2^2 \:-\:2x_1 \cdot x_2 = -a\)
Note: \(\color{blue} x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2\:-\:2x_1\cdot x_2\)
\((x_1 + x_2)^2\:-\:2x_1\cdot x_2 \:-\:2x_1 \cdot x_2 = -a\)
\((x_1 + x_2)^2\:-\:4x_1\cdot x_2 = -a\)
\(\left(-\dfrac{-a}{4}\right)^2\:-\:4\cdot \dfrac{5}{4} = -a\)
\(\dfrac{a^2}{16}\:-\:5 = -a\)
kalikan kedua ruas dengan 16
\( a^2\:-\:80 = -16a\)
\(a^2 + 16a \:-\:80 = 0\)
\((a + 20)(a \:-\: 4) = 0\)
\(a + 20 = 0 \rightarrow a = -20\)
\(a \:-\:4 = 0 \rightarrow a = 4\)
Jika \(m\) dan \(n\) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \(3x^2\:-\:x + 6 = 0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(m^2 + n^2\) dan \(m^2\cdot n^2\) adalah…
Jawaban: A
Langkah 1: Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat \(3x^2\:-\:x + 6 = 0\)
Akar-akar persamaan kuadrat \(3x^2\:-\:x + 6 = 0\) adalah \(m\) dan \(n\)
\(m + n = -\dfrac{b}{a} = – \dfrac{-1}{3} = \dfrac{1}{3}\)
\(m\cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Langkah 2: Menentukan nilai \(m^2 + n^2\) dan \(m^2\cdot n^2\)
\(m^2 + n^2 = (m + n)^2\:-\:2m\cdot n\)
\(m^2 + n^2 =\left ( \dfrac{1}{3}\right)^2\:-\:2(2)\)
\(m^2 + n^2 = \dfrac{1}{9}\:-\:4\)
\(m^2 + n^2 = \dfrac{1}{9}\:-\:\dfrac{36}{9} =-\dfrac{35}{9}\)
\(m^2\cdot n^2 = (m \cdot n)^2\)
\(m^2\cdot n^2 = (2)^2 = 4\)
Langkah 3: Menyusun persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(m^2 + n^2 =-\dfrac{35}{9} \) dan \(m^2\cdot n^2 = 4\)
Misal:
\(x_1 = -\dfrac{35}{9}\)
\(x_2 = 4\)
Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\) adalah \(x^2 \:-\:(x_1 + x_2)x + x_1\cdot x_2 = 0\)
\(x^2 \:-\: \left(-\dfrac{35}{9} + 4 \right)x + \left( -\dfrac{35}{9} \cdot 4 \right) = 0\)
\(x^2 \:-\: \dfrac{1}{9}x \:-\: \dfrac{140}{9}= 0\)
Kali kedua ruas dengan 9
\(9x^2 \:-\: x \:-\: 140= 0\)
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah \(9x^2 \:-\: x \:-\: 140= 0\)
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar-akar persamaan \(7^{x + 1} + 7^{2\:-\:x} = 56\), maka \(x_1 + x_2 = \dotso\)
Jawaban: B
\(7^{x + 1} + 7^{2\:-\:x} = 56\)
\(7^x \cdot 7^1 + \dfrac{7^2}{7^x} = 56\)
\(7\cdot 7^x + \dfrac{49}{7^x} \:-\: 56 = 0\)
Misal \(7^x = p\)
\(7p + \dfrac{49}{p}\:-\:56 = 0\)
Kalikan kedua ruas dengan \(p\)
\(7p^2 + 49 \:-\:56p = 0\)
\(7p^2\:-\:56p + 49 = 0\)
Bagi kedua ruas dengan 7
\(p^2\:-\:8p +7 = 0\)
Kemudian faktorkan untuk mendapatkan nilai \(p\)
\((p\:-\:7)(p\:-\:1) = 0\)
\(p\:-\:7 = 0 \rightarrow p = 7\)
\(p\:-\:1 = 0 \rightarrow p = 1\)
Kembalikan kepada bentuk pemisalan awal bahwa \(p = 7^x\)
Untuk \(p = 7 \)
\(7^x = 7^1\)
Karena bilangan pokok (basis) ruas kiri dan kanan sama-sama 7, maka untuk menentukan nilai \(x\) samakan pangkatnya saja.
\(x_1 = 1\)
Untuk \(p = 1\)
\(7^x = 1\)
\(7^x = 7^0\)
\(x_2 = 0\)
Jadi, nilai \(x_1 + x_2 =1 + 0 = 1\)
