Latihan Persaman Lingkaran 02

\(x^2 + y^2 + 8x \:-\:24y\:-\:9 = 0\)

Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)

Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}\cdot 8, -\dfrac{1}{2}\cdot (-24)\right)\)

Pusat lingkaran \(= (-4, 12)\)

Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{(-4)^2 + 12^2 \:-\:(-9)}\)

Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{16 + 144  + 9}\)

Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{169} = 13\)

Konsentris artinya sepusat, jadi persamaan lingkaran yang akan kita cari sama dengan pusat lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:4y + 10 = 0\).

Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)

Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}(0), -\dfrac{1}{2}(-4)\right)\)

Pusat lingkaran \(= (0, 2)\)

Mencari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 2) dan melalui titik (3, −1)

Jari-jari lingkaran adalah jarak titik (0, 2) ke titik (3, −1)

\(r = \sqrt{(3\:-\:0)^2 + (-1\:-\:2)^2}\)

\(r = \sqrt{9 +9}\)

\(r = \sqrt{18}\)

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 2) dan berjari-jari \(\sqrt{18}\) adalah:

\((x\:-\:0)^2 + (y\:-\:2)^2 = (\sqrt{18})^2\)

\(x^2 + y^2 \:-\:4y + 4 = 18\)

\(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:14 = 0\)

Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat \((-1, 4)\) ke garis \(y = 1\) yaitu 3.

Persamaan lingkaran yang berpusar di \((-1, 4)\) dan berjari-jari 3 adalah:

\((x + 1)^2 + (y\:-\:4)^2 = 3^2\)

\(x^2 + 2x + 1 + y^2 \:-\:8y + 16 = 9\)

\(x^2 + y^2 + 2x\:-\:8y + 8 = 0\)

Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat \((3, 4)\) ke garis \(x = -2\) yaitu 5.

Persamaan lingkaran yang berpusar di \((3, 4)\) dan berjari-jari 5 adalah:

\((x\:-\:3)^2 + (y\:-\:4)^2 = 5^2\)

\(x^2 \:-\:6x + 9 + y^2 \:-\:8y + 16 = 25\)

\(x^2 + y^2 \:-\:6x\:-\:8y = 0\)

A = −6

B = −8

C = 0

A + B + C = −6 − 8 + 0 = −14

Jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik \((2, 0)\) ke garis \(y \:-\: 2x \:-\: 6 = 0\)

\(r = \left|\dfrac{y\:-\:2x\:-\:6}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \right|\)

\(r = \left|\dfrac{0\:-\:2(2)\:-\:6}{\sqrt{5}} \right|\)

\(r = \left|\dfrac{-10}{\sqrt{5}} \right|\)

\(r = \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \color{red} \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)

\(r = \dfrac{10 \sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)

Persamaan lingkaran berpusat di \((2, 0)\) dan berjari-jari \(2\sqrt{5}\) adalah:

\((x\:-\:2)^2 + (y\:-\:0)^2 = (2\sqrt{5})^2\)

\(x^2 \:-\:4x + 4 + y^2 = 20\)

\(x^2 + y^2 \:-\: 4x \:-\:16 = 0\)

Persamaan garis yang melalui titik\(\text{P}(-3, 0)\) dan \(\text{Q}(0, -2)\) adalah:

\(\dfrac{y\:-\:y_1}{y_2\:-\:y_1} = \dfrac{x\:-\:x_1}{x_2\:-\:x_1}\)

\(\dfrac{y\:-\:0}{-2\:-\:0} = \dfrac{x\:-\:(-3)}{0\:-\:(-3)}\)

\(\dfrac{y}{-2} = \dfrac{x + 3}{3}\)

Selanjutnya kali silang,

\(3y = -2(x + 3)\)

\(3y + 2x + 6 = 0\)

Jari-jari lingkaran adalah jarak antara pusat \(\text{A}(5, -1)\) ke garis \(3y + 2x + 6 = 0\)

\(r = \left|\dfrac{3y + 2x + 6 }{\sqrt{2^2 + 3^2}}\right|\)

\(r = \left|\dfrac{3(-1) + 2(5) + 6 }{\sqrt{13}}\right|\)

\(r = \dfrac{13 }{\sqrt{13}} \color{red} \times \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)

\(r = \dfrac{13 \sqrt{13}}{13} = \sqrt{13}\)

Persamaan lingkaran yang berpusat di \((5, -1)\) dan berjari-jari \(\sqrt{13}\) adalah:

\((x\:-\:5)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{13})^2\)

\(x^2 \:-\:10x + 25 + y^2 + 2y + 1 = 13\)

\(x^2 + y^2 \:-\:10x + 2y + 13 = 0\)

\(A + B + C = -10 + 2 + 13\)

\(A + B + C = 5\)

Kuasa titik \((1, 2)\) terhadap lingkaran:

\(\text{K} = x^2 + y^2 \:-\:4x + 20y \:-\:41\)

\(\text{K} = 1^2 + 2^2 \:-\:4(1) + 20(2) \:-\:41 = 0\)

Karena \(\text{K} = 0\) maka titik \((1, 2)\) berada pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran\(x^2 + y^2 \:-\:4x + 20y \:-\:41 = 0\) di titik \((1, 2)\)

\(\color{blue} x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}(-4)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(20)(y_1 + y)\:-\:41 = 0\)

\(1\cdot x + 2\cdot y + \dfrac{1}{2}(-4)(1 + x) + \dfrac{1}{2}(20)(2 + y)\:-\:41 = 0\)

\(x + 2y \:-\:2(1 + x) + 10(2 + y)\:-\:41 = 0\)

\(x + 2y\:-\:2\:-\:2x + 20 + 10y\:-\:41 = 0\)

\(-x + 12y\:-\:22 = 0\)

Kalikan kedua ruas dengan \(-1\)

\(x\:-\:12y + 22 = 0\)

Titik berabsis 2 artinya \(x = 2\)

\(2^2 + y^2 = 13\)

\(4 + y^2 = 13\)

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm \sqrt{9}\)

\(y = \pm 3\)

Titik singgungnya berada di \((2, 3)\) dan \((2, -3)\)

Persamaan garis singgung melalui titik \((2, 3)\) adalah:

\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = 13\)

\(2x + 3y = 13\)

Persamaan garis singgung melalui titik \((2, -3)\) adalah:

\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = 13\)

\(2x \:-\:3y = 13\)

Substitusi \(x = 2\) untuk menentukan titik singgungnya

\((2\:-\:1)^2 + (y + 3)^2 = 26\)

\(1 + (y + 3)^2 = 26\)

\( (y + 3)^2\:-\:5^2 = 0\)

faktorkan, ingat rumus \(\color{red} a^2 \:-\:b^2 = (a + b)(a\:-\:b)\)

\( (y + 3 + 5)(y+ 3\:-\:5)= 0\)

\( (y + 8)(y\:-\:2)= 0\)

\(y + 8 =0 \rightarrow y_1 = -8\)

\(y \:-\:2= 0 \rightarrow y_2 = 2\)

Titik singgungnya berada di \((2, -8)\) dan \((2, 2)\)

Persamaan garis singgung di titik \((2, -8)\) adalah:

\((x_1\:-\:1)(x \:-\:1) + (y_1 + 3)(y + 3) = 26\)

\((2\:-\:1)(x \:-\:1) + (-8+ 3)(y + 3) = 26\)

\(x\:-\:1 \:-\:5y\:-\:15 = 26\)

\(x\:-\:5y = 26 + 16\)

\(x\:-\:5y = 42\)

Persamaan garis singgung di titik \((2, 2)\) adalah:

\((x_1\:-\:1)(x \:-\:1) + (y_1 + 3)(y + 3) = 26\)

\((2\:-\:1)(x \:-\:1) + (2+ 3)(y + 3) = 26\)

\(x\:-\:1 + 5y + 15 = 26\)

\(x + 5y = 26 \:-\:14\)

\(x + 5y = 12\)

Lingkaran \(x^2 + y^2 + 8x \:-\:6y + 12 = 0\) memotong sumbu X jika \(y = 0\)

\(x^2 + 0^2 + 8x \:-\:6(0) + 12 = 0\)

\(x^2 + 8x  + 12 = 0\)

\((x + 6)(x + 2) = 0\)

\(x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = -6\)

\(x + 2 = 0 \rightarrow x_2 = -2\)

Titik singgung berada di \((-6, 0)\) dan \((-2, 0)\)

Persamaan garis singgung di titik \((-6, 0)\) adalah:

\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(8)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-6)(y_1 + y) + 12 = 0\)

\(-6x + 0 + 4(-6 + x) \:-\: 3(0 + y) + 12 = 0\)

\(-6x \:-\:24 + 4x \:-\:3y + 12 = 0\)

\(-2x \:-\:3y \:-\:12 = 0\)

Kalikan kedua ruas dengan \((-1)\)

\(2x + 3y + 12 = 0\)

Persamaan garis singgung di titik \((-2, 0)\) adalah:

\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(8)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-6)(y_1 + y) + 12 = 0\)

\(-2x + 0 + 4(-2 + x) \:-\: 3(0 + y) + 12 = 0\)

\(-2x \:-\:8 + 4x \:-\:3y + 12 = 0\)

\(2x \:-\:3y + 4 = 0\)