Soal 01
Pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2 + y^2 + 8x \:-\:24y\:-\:9 = 0\) adalah…
(A) \(\text{P}(-4, 12)\text{ dan } r = 13\)
(B) \(\text{P}(-4, -12)\text{ dan } r = 13\)
(C) \(\text{P}(4, -12)\text{ dan } r = 14\)
(D) \(\text{P}(-4, 16)\text{ dan } r = 15\)
(E) \(\text{P}(-4, 16)\text{ dan } r = 13\)
Answer: A
\(x^2 + y^2 + 8x \:-\:24y\:-\:9 = 0\)
Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)
Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}\cdot 8, -\dfrac{1}{2}\cdot (-24)\right)\)
Pusat lingkaran \(= (-4, 12)\)
Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{(-4)^2 + 12^2 \:-\:(-9)}\)
Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{16 + 144 + 9}\)
Jari-jari lingkaran \(= \sqrt{169} = 13\)
Soal 02
Persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:4y + 10 = 0\) dan melalui titik \((3, -1)\) adalah…
(A) \(x^2 + y^2 \:-\:2y \:-\:4= 0\)
(B) \(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:10 = 0\)
(C) \(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:12 = 0\)
(D) \(x^2 + y^2 \:-\:3y \:-\:14 = 0\)
(E) \(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:14 = 0\)
Answer: E
Konsentris artinya sepusat, jadi persamaan lingkaran yang akan kita cari sama dengan pusat lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:4y + 10 = 0\).
Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}A, -\dfrac{1}{2}B\right)\)
Pusat lingkaran \(= \left(-\dfrac{1}{2}(0), -\dfrac{1}{2}(-4)\right)\)
Pusat lingkaran \(= (0, 2)\)
Mencari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 2) dan melalui titik (3, −1)
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik (0, 2) ke titik (3, −1)
\(r = \sqrt{(3\:-\:0)^2 + (-1\:-\:2)^2}\)
\(r = \sqrt{9 +9}\)
\(r = \sqrt{18}\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 2) dan berjari-jari \(\sqrt{18}\) adalah:
\((x\:-\:0)^2 + (y\:-\:2)^2 = (\sqrt{18})^2\)
\(x^2 + y^2 \:-\:4y + 4 = 18\)
\(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:14 = 0\)
Soal 03
Persamaan lingkaran yang berpusat di \((-1, 4)\) dan menyinggung garis \(y =1\) adalah…
(A) \(x^2 + y^2 + 2x\:-\:8y + 8 = 0\)
(B) \(x^2 + y^2\:-\:2x + 8y + 8 = 0\)
(C) \(x^2 + y^2 + 2x \:-\:8y + 9= 0\)
(D) \(x^2 + y^2 \:-\:2x + 8y \:-\:9 = 0\)
(E) \(x^2 + y^2 + 2x\:-\:8y + 17 = 0\)
Answer: A
Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat \((-1, 4)\) ke garis \(y = 1\) yaitu 3.
Persamaan lingkaran yang berpusar di \((-1, 4)\) dan berjari-jari 3 adalah:
\((x + 1)^2 + (y\:-\:4)^2 = 3^2\)
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 \:-\:8y + 16 = 9\)
\(x^2 + y^2 + 2x\:-\:8y + 8 = 0\)
Soal 04
Lingkaran \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) berpusat di \((3, 4)\) dan menyinggung garis \(x = -2\), maka \(A + B + C = \dotso\)
(A) \(-14\)
(B) \(-18\)
(C) \(-24\)
(D) \(-25\)
(E) \(-26\)
Answer: A
Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat \((3, 4)\) ke garis \(x = -2\) yaitu 5.
Persamaan lingkaran yang berpusar di \((3, 4)\) dan berjari-jari 5 adalah:
\((x\:-\:3)^2 + (y\:-\:4)^2 = 5^2\)
\(x^2 \:-\:6x + 9 + y^2 \:-\:8y + 16 = 25\)
\(x^2 + y^2 \:-\:6x\:-\:8y = 0\)
A = −6
B = −8
C = 0
A + B + C = −6 − 8 + 0 = −14
Soal 05
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik \((2, 0)\) dan menyinggung garis \(y = 2x + 6\) adalah…
(A) \(x^2 + y^2 \:-\:4x\:-\:16 = 0\)
(B) \(x^2 + y^2 + 4y \:-\:18 = 0\)
(C) \(x^2 + y^2 + 4x \:-\:16 = 0\)
(D) \(x^2 + y^2 \:-\:2x \:-\:16 = 0\)
(E) \(x^2 + y^2 \:-\:4y \:-\:18 = 0\)
Answer: A
Jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik \((2, 0)\) ke garis \(y \:-\: 2x \:-\: 6 = 0\)
\(r = \left|\dfrac{y\:-\:2x\:-\:6}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \right|\)
\(r = \left|\dfrac{0\:-\:2(2)\:-\:6}{\sqrt{5}} \right|\)
\(r = \left|\dfrac{-10}{\sqrt{5}} \right|\)
\(r = \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \color{red} \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(r = \dfrac{10 \sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)
Persamaan lingkaran berpusat di \((2, 0)\) dan berjari-jari \(2\sqrt{5}\) adalah:
\((x\:-\:2)^2 + (y\:-\:0)^2 = (2\sqrt{5})^2\)
\(x^2 \:-\:4x + 4 + y^2 = 20\)
\(x^2 + y^2 \:-\: 4x \:-\:16 = 0\)
Soal 06
Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik \(\text{A}(5, -1)\) dan menyinggung garis PQ dengan \(\text{P}(-3, 0)\) dan \(\text{Q}(0, -2)\) adalah \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) maka nilai dari \(A + B + C = \dotso\)
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Answer: B
Persamaan garis yang melalui titik\(\text{P}(-3, 0)\) dan \(\text{Q}(0, -2)\) adalah:
\(\dfrac{y\:-\:y_1}{y_2\:-\:y_1} = \dfrac{x\:-\:x_1}{x_2\:-\:x_1}\)
\(\dfrac{y\:-\:0}{-2\:-\:0} = \dfrac{x\:-\:(-3)}{0\:-\:(-3)}\)
\(\dfrac{y}{-2} = \dfrac{x + 3}{3}\)
Selanjutnya kali silang,
\(3y = -2(x + 3)\)
\(3y + 2x + 6 = 0\)
Jari-jari lingkaran adalah jarak antara pusat \(\text{A}(5, -1)\) ke garis \(3y + 2x + 6 = 0\)
\(r = \left|\dfrac{3y + 2x + 6 }{\sqrt{2^2 + 3^2}}\right|\)
\(r = \left|\dfrac{3(-1) + 2(5) + 6 }{\sqrt{13}}\right|\)
\(r = \dfrac{13 }{\sqrt{13}} \color{red} \times \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(r = \dfrac{13 \sqrt{13}}{13} = \sqrt{13}\)
Persamaan lingkaran yang berpusat di \((5, -1)\) dan berjari-jari \(\sqrt{13}\) adalah:
\((x\:-\:5)^2 + (y + 1)^2 = (\sqrt{13})^2\)
\(x^2 \:-\:10x + 25 + y^2 + 2y + 1 = 13\)
\(x^2 + y^2 \:-\:10x + 2y + 13 = 0\)
\(A + B + C = -10 + 2 + 13\)
\(A + B + C = 5\)
Soal 07
Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:4x + 20y \:-\:41 = 0\) di titik \((1, 2)\) adalah…
(A) \(x\:-\:12y + 20 = 0\)
(B) \(x\:-\:12y + 21 = 0\)
(C) \(x\:-\:12y + 22 = 0\)
(D) \(x\:-\:12y + 23 = 0\)
(E) \(x\:-\:12y + 24 = 0\)
Answer: C
Kuasa titik \((1, 2)\) terhadap lingkaran:
\(\text{K} = x^2 + y^2 \:-\:4x + 20y \:-\:41\)
\(\text{K} = 1^2 + 2^2 \:-\:4(1) + 20(2) \:-\:41 = 0\)
Karena \(\text{K} = 0\) maka titik \((1, 2)\) berada pada lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran\(x^2 + y^2 \:-\:4x + 20y \:-\:41 = 0\) di titik \((1, 2)\)
\(\color{blue} x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}(-4)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(20)(y_1 + y)\:-\:41 = 0\)
\(1\cdot x + 2\cdot y + \dfrac{1}{2}(-4)(1 + x) + \dfrac{1}{2}(20)(2 + y)\:-\:41 = 0\)
\(x + 2y \:-\:2(1 + x) + 10(2 + y)\:-\:41 = 0\)
\(x + 2y\:-\:2\:-\:2x + 20 + 10y\:-\:41 = 0\)
\(-x + 12y\:-\:22 = 0\)
Kalikan kedua ruas dengan \(-1\)
\(x\:-\:12y + 22 = 0\)
Soal 08
Persamaan garis singgung di titik yang berabsis 2 pada lingkaran \(x^2 + y^2 = 13\) adalah…
(A) \(2x + 3y = 13\) dan \(2x \:-\: 3y = 13\)
(B) \(2x + 4y = 13\) dan \(2x \:-\: 4y = 13\)
(C) \(2x + 3y = 15\) dan \(2x \:-\: 3y = 15\)
(D) \(3x + 2y = 13\) dan \(3x \:-\: 2y = 13\)
(E) \(5x \:-\: 3y = 11\) dan \(5x + 3y = 11\)
Answer: A
Titik berabsis 2 artinya \(x = 2\)
\(2^2 + y^2 = 13\)
\(4 + y^2 = 13\)
\(y^2 = 9\)
\(y = \pm \sqrt{9}\)
\(y = \pm 3\)
Titik singgungnya berada di \((2, 3)\) dan \((2, -3)\)
Persamaan garis singgung melalui titik \((2, 3)\) adalah:
\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = 13\)
\(2x + 3y = 13\)
Persamaan garis singgung melalui titik \((2, -3)\) adalah:
\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = 13\)
\(2x \:-\:3y = 13\)
Soal 09
Persamaan garis singgung lingkaran \((x\:-\:1)^2 + (y + 3)^2 = 26\) di titik potongnya dengan garis \(x = 2\) adalah…
(A) \(x\:-\:3y = 30\) dan \(x + 3y = 12\)
(B) \(x\:-\:4y = 32\) dan \(x + 4y = 12\)
(C) \(x\:-\:5y = 40\) dan \(x + 5y = 13\)
(D) \(x\:-\:5y = 42\) dan \(x + 5y = 12\)
(E) \(x\:-\:5y = 43\) dan \(x + 5y = 12\)
Answer: D
Substitusi \(x = 2\) untuk menentukan titik singgungnya
\((2\:-\:1)^2 + (y + 3)^2 = 26\)
\(1 + (y + 3)^2 = 26\)
\( (y + 3)^2\:-\:5^2 = 0\)
faktorkan, ingat rumus \(\color{red} a^2 \:-\:b^2 = (a + b)(a\:-\:b)\)
\( (y + 3 + 5)(y+ 3\:-\:5)= 0\)
\( (y + 8)(y\:-\:2)= 0\)
\(y + 8 =0 \rightarrow y_1 = -8\)
\(y \:-\:2= 0 \rightarrow y_2 = 2\)
Titik singgungnya berada di \((2, -8)\) dan \((2, 2)\)
Persamaan garis singgung di titik \((2, -8)\) adalah:
\((x_1\:-\:1)(x \:-\:1) + (y_1 + 3)(y + 3) = 26\)
\((2\:-\:1)(x \:-\:1) + (-8+ 3)(y + 3) = 26\)
\(x\:-\:1 \:-\:5y\:-\:15 = 26\)
\(x\:-\:5y = 26 + 16\)
\(x\:-\:5y = 42\)
Persamaan garis singgung di titik \((2, 2)\) adalah:
\((x_1\:-\:1)(x \:-\:1) + (y_1 + 3)(y + 3) = 26\)
\((2\:-\:1)(x \:-\:1) + (2+ 3)(y + 3) = 26\)
\(x\:-\:1 + 5y + 15 = 26\)
\(x + 5y = 26 \:-\:14\)
\(x + 5y = 12\)
Soal 10
Persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 + 8x \:-\:6y + 12 = 0\) di titik potongnya dengan sumbu X adalah…
(A) \(2x + 3y + 12 = 0\) dan \(2x \:-\:3y + 4 = 0\)
(B) \(2x + 4y + 12 = 0\) dan \(2x \:-\:4y + 4 = 0\)
(C) \(2x + 5y + 12 = 0\) dan \(2x \:-\:5y + 4 = 0\)
(D) \(2x + 6y + 12 = 0\) dan \(2x \:-\:6y + 4 = 0\)
(E) \(2x + 7y + 12 = 0\) dan \(2x \:-\:7y + 4 = 0\)
Answer: A
Lingkaran \(x^2 + y^2 + 8x \:-\:6y + 12 = 0\) memotong sumbu X jika \(y = 0\)
\(x^2 + 0^2 + 8x \:-\:6(0) + 12 = 0\)
\(x^2 + 8x + 12 = 0\)
\((x + 6)(x + 2) = 0\)
\(x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = -6\)
\(x + 2 = 0 \rightarrow x_2 = -2\)
Titik singgung berada di \((-6, 0)\) dan \((-2, 0)\)
Persamaan garis singgung di titik \((-6, 0)\) adalah:
\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(8)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-6)(y_1 + y) + 12 = 0\)
\(-6x + 0 + 4(-6 + x) \:-\: 3(0 + y) + 12 = 0\)
\(-6x \:-\:24 + 4x \:-\:3y + 12 = 0\)
\(-2x \:-\:3y \:-\:12 = 0\)
Kalikan kedua ruas dengan \((-1)\)
\(2x + 3y + 12 = 0\)
Persamaan garis singgung di titik \((-2, 0)\) adalah:
\(x_1 \cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}(8)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-6)(y_1 + y) + 12 = 0\)
\(-2x + 0 + 4(-2 + x) \:-\: 3(0 + y) + 12 = 0\)
\(-2x \:-\:8 + 4x \:-\:3y + 12 = 0\)
\(2x \:-\:3y + 4 = 0\)