Persamaan garis singgung melalui titik \((x_1, y_1)\) yang terletak pada lingkaran \(x^2 + y^2 = r^2\) adalah:
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik \((2, 3)\) yang terletak pada lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x \:-\:10y + 9 = 0\)
\(\color{blue} x_1 \cdot x + y_1\cdot y = r^2\)
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik \((3, 1)\) yang terletak pada lingkaran \(x^2 + y^2 = 10\) Persamaan garis singgungnya adalah : \(x_1 \cdot x + y_1\cdot y = 10\) \(3x + y = 10\) Persamaan garis singgung melalui titik \((x_1, y_1)\) yang terletak pada lingkaran \((x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\) adalah:\(\color{blue} (x_1\:-\:a)(x\:-\:a) + (y_1\:-\:b)(y\:-\:b) = r^2\)
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik \((3, -2)\) yang terletak pada lingkaran \((x\:-\:1)^2 + (y\:-\:2)^2 = 20\) Persamaan garis singgungnya adalah : \((x_1\:-\:1)(x\:-\:1) + (y_1\:-\:2)(y\:-\:2) = 20\) \((3\:-\:1)(x\:-\:1) + (-2\:-\:2)(y\:-\:2) = 20\) \(2(x\:-\:1)\:-\:4(y\:-\:2) = 20\) \(2x\:-\:2\:-\:4y + 8 = 20\) \(2x \:-\:4y = 20\:-\:6\) \(2x \:-\:4y = 14\) \(x \:-\:2y = 7\) Persamaan garis singgung melalui titik \((x_1, y_1)\) yang terletak pada lingkaran \(x^2 + y^2 + \text{A}x + \text{B}y + \text{C} = 0\) adalah …\(\color{blue} x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}\text{A}(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}\text{B}(y_1 + y) + \text{C} = 0\)
Persamaan garis singgungnya adalah :
\(x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}(4)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-10)(y_1 + y) + 9 = 0\)
\(2x + 3y + \dfrac{1}{2}(4)(2 + x) + \dfrac{1}{2}(-10)(3 + y) + 9 = 0\)
\(2x + 3y + 2(2 + x) \:-\:5(3 + y) + 9 = 0\)
\(2x + 3y + 4 + 2x\:-\:15\:-\:5y + 9 = 0\)
\(4x\:-\:2y\:-\:2= 0\)
CONTOH SOAL
Soal 1 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik yang berabsis 2 yang terletak pada lingkaran \(x^2 + y^2 + 10x\:-\:2y\:-\:27 = 0\).
Menentukan koordinat titik singgung
Titik berabsis 2, artinya koordinat \(x\)-nya adalah 2
Substitusikan \(x = 2\) ke persamaan lingkaran untuk memperoleh ordinatnya (koordinat \(y\))
\(2^2 + y^2 + 10(2)\:-\:2y\:-\:27 = 0\)
\(4 + y^2 + 20\:-\:2y\:-\:27 = 0\)
\(y^2 \:-\:2y\:-\:3 = 0\)
\((y\:-\:3)(y + 1) = 0\)
\(y\:-\:3 = 0 \rightarrow y = 3\)
\(y + 1 = 0 \rightarrow y = -1\)
Jadi titik singgungnya ada di titik \((2, 3)\) atau di titik \((2, -1)\)
Menentukan persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung di titik \((2, 3)\)
\(x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}(10)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(y_1 + y) \:-\:27 = 0\)
\(2x + 3y + 5(2 + x)\:-\:1(3 + y) \:-\:27 = 0\)
\(2x + 3y + 10 + 5x\:-\:3\:-\:y \:-\:27 = 0\)
\(7x + 2y\:-\:20= 0\)
Persamaan garis singgung di titik \((2, -1)\)
\(x_1\cdot x + y_1\cdot y + \dfrac{1}{2}(10)(x_1 + x) + \dfrac{1}{2}(-2)(y_1 + y) \:-\:27 = 0\)
\(2x \:-\:1y + 5(2 + x)\:-\:1(-1 + y) \:-\:27 = 0\)
\(2x \:-\:y + 10 + 5x + 1\:-\:y \:-\:27 = 0\)
\(7x \:-\:2y\:-\:16= 0\)
Jadi persamaan garis singgungnya ada 2 kemungkinan yaitu \(7x + 2y\:-\:20= 0\) atau \(7x \:-\:2y\:-\:16= 0\)