Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Misal titik \(\text{M}(x_1, y_1)\) berada di luar lingkaran. Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik M adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Menentukan Persamaan Garis Polar

Garis polar adalah garis yang melalui kedua titik singgung lingkaran (lihat gambar di bawah  ini)

Rendered by QuickLaTeX.com

Persamaan garis polar dari titik \((x_1, y_1)\) yang terletak di luar lingkaran adalah sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Polar
\(x^2 + y^2 = r^2\) \(x_1\cdot x + y_1 \cdot y = r^2\)
\((x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\) \((x_1 \:-\:a)(x\:-\:a) + (y_1\:-\:b)(y\:-\:b) = r^2\)
\(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) \(x_1\cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}A(x + x_1) + \dfrac{1}{2}B(y + y_1) + C = 0\)

 

Langkah 2: Menentukan Titik-Titik Singgung

Titik-titik singgung pada lingkaran dapat ditemukan dengan cara mensubstitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran.

 

Langkah 3: Menentukan Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik singgung \((x_1, y_1)\) adalah sebagai berikut:

Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung
\(x^2 + y^2 = r^2\) \(x_1\cdot x + y_1 \cdot y = r^2\)
\((x\:-\:a)^2 + (y\:-\:b)^2 = r^2\) \((x_1 \:-\:a)(x\:-\:a) + (y_1\:-\:b)(y\:-\:b) = r^2\)
\(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\) \(x_1\cdot x + y_1 \cdot y + \dfrac{1}{2}A(x + x_1) + \dfrac{1}{2}B(y + y_1) + C = 0\)

Panjang Garis Singgung

 

Panjang garis singgung yang ditarik dari titik \(\text{M}(x, y)\) di luar lingkaran ke titik singgung lingkaran adalah:

\(\color{blue} \sqrt{\text{K}}\)

dengan \(\text{K}\) adalah kuasa titik terhadap lingkaran

 

CONTOH SOAL

 

Contoh 1

Tentukan persamaan garis polar dari masing-masing lingkaran berikut:

(A)  \(x^2 + y^2 = 11\) di titik \((3, -5)\)

(B)  \((x + 3)^2 + (y\:-\:4)^2 = 10\) di titik \((7, 0)\)

(C)  \(x^2 + y^2 + 10x \:-\: 2y \:-\:16 = 0\) di titik \((5, 8)\)

 

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 13\) yang ditarik dari titik \(\text{M}(-5, 1)\)