Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) yang bergradien \(-1\)
Lingkaran \(x^2 + y^2 = 25\) berpusat di \((0, 0)\) dan berjari-jari 5
Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien \(-1\) adalah:
\(y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:0 = -1 \cdot(x\:-\:0) \pm 5 \sqrt{1 + (-1)^2}\)
\(y = -x \pm 5\sqrt{2}\)
Persamaan garis singgung yang pertama: \(y = -x + 5\sqrt{2}\)
Persamaan garis singgung yang kedua: \(y = -x \:-\: 5\sqrt{2}\)
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \((x + 2)^2 + (y\:-\:5)^2 = 9\) yang bergradien \(3\)
Lingkaran \((x + 2)^2 + (y\:-\:5)^2 = 9\) berpusat di \((-2, 5)\) dan berjari-jari 3
Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien \(3\) adalah:
\(y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:5 = 3(x\:-\:(-2)) \pm 3 \sqrt{1 + 3^2}\)
\(y\:-\:5 = 3x + 6 \pm 3 \sqrt{10}\)
\(y = 3x + 6 + 5\pm 3 \sqrt{10}\)
Persamaan garis singgung yang pertama: \(y = 3x + 11 + 3 \sqrt{10}\)
Persamaan garis singgung yang kedua: \(y = 3x + 11 \:-\: 3 \sqrt{10}\)
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 = 64\) yang sejajar dengan garis \(x\:-\:y = 5\)
Langkah 1: Menentukan gradien garis \(x\:-\:y = 5\)
\(y = x\:-\:5\)
Gradien garis \(m_1 = 1\)
Langkah 2: Menentukan gradien garis singgung lingkaran
Misal gradien garis singgung lingkaran adalah \(m_2\)
Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan garis \(x\:-\:y = 5\), maka berlaku \(m_1 = m_2\) sehingga \(m_2 = 1\)
Langkah 3: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2 + y^2 = 64\)
Pusat = (0, 0)
Jari-jari = 8
Langkah 4: Menentukan persamaan garis singgung
\(y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:0 = 1(x\:-\:0) \pm 8 \sqrt{1 + 1^2}\)
\(y = x \pm 8 \sqrt{2}\)
Persamaan garis singgung yang pertama adalah \(y = x + 8 \sqrt{2}\) sedangkan persamaan garis singgung yang kedua \(y = x \:-\: 8 \sqrt{2}\)
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:10x + 12y \:-\:3 = 0\) yang tegak lurus dengan garis \(2x + 4y\:-\:5 = 0\)
Langkah 1: Menentukan gradien garis \(2x + 4y\:-\:5 = 0\)
\(4y = -2x + 5\)
\(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{4}\)
Gradien garis \(m_1 = -\dfrac{1}{2}\)
Langkah 2: Menentukan gradien garis singgung lingkaran
Misal gradien garis singgung lingkaran adalah \(m_2\)
Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis \(2x + 4y\:-\:5 = 0\), maka berlaku \(m_1 \cdot m_2 = -1\) sehingga \(m_2 = 2\)
Langkah 3: Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(x^2 + y^2 \:-\:10x + 12y \:-\:3 = 0\)
Pusat = \((-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)\)
Pusat = \((-\frac{1}{2}(-10), -\frac{1}{2}(12))\)
Pusat = \((5, -6)\)
Jari-jari = \(\sqrt{5^2 + (-6)^2\:-\:(-3)}\)
Jari-jari = \(\sqrt{25 + 36 + 3}\)
Jari-jari = \(\sqrt{64} = 8\)
Langkah 4: Menentukan persamaan garis singgung
\(y\:-\:b = m(x\:-\:a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)
\(y\:-\:(-6) = 2(x\:-\:5) \pm 8 \sqrt{1 + 2^2}\)
\(y + 6 = 2x\:-\:10 \pm 8\sqrt{5}\)
\(y = 2x\:-\:16 \pm 8\sqrt{5}\)
Persamaan garis singgung yang pertama adalah \(y = 2x\:-\:16 + 8\sqrt{5}\) sedangkan persamaan garis singgung yang kedua \(y = 2x\:-\:16 \:-\: 8\sqrt{5}\)
