Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\cos (x + 60^{\circ}) = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\cos (x + 60^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\)
Kemungkinan 1:
\(x + 60^{\circ} = 45^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 45^{\circ}\:-\:60^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -15^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 345^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(x + 60^{\circ} = -45^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -45^{\circ}\:-\:60^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -105^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 255^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 255^{\circ}, 345^{\circ} \rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\cos (2x + 30^{\circ}) = -\dfrac{1}{2}\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\cos (2x + 30^{\circ}) = \cos 120^{\circ}\)
Kemungkinan 1:
\(2x + 30^{\circ} = 120^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = 120^{\circ}\:-\:30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = 90^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = 45^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 45^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 225^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(2x + 30^{\circ} = -120^{\circ}+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = -120^{\circ}\:-\:30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x = -150^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -75^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 105^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 285^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 45^{\circ}, 105^{\circ}, 225^{\circ}, 285^{\circ} \rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\cos (x \:-\:\dfrac{2}{3}\pi) = -1\), untuk \(-\pi\leq x \leq \pi\)
\(\cos (x \:-\:\dfrac{2}{3}\pi) = \cos \pi\)
Kemungkinan 1:
\(x \:-\:\dfrac{2}{3}\pi = \pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = \pi + \dfrac{2}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = \dfrac{5}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
untuk \(k = -1 \rightarrow x = \dfrac{5}{3}\pi \:-\:2\pi = -\dfrac{1}{3}\pi\)
Kemungkinan 2:
\(x \:-\:\dfrac{2}{3}\pi = -\pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = -\pi + \dfrac{2}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
\(x = -\dfrac{1}{3}\pi + k\cdot 2\pi\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = -\dfrac{1}{3}\pi\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace -\dfrac{1}{3}\pi\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(2\cos^2 x \:-\:1 = 0\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
Faktorkan menggunakan rumus:
\(\color{blue} a^2 \:-\:b^2 = (a + b)(a\:-\:b)\)
\((\sqrt{2}\cos x)^2 \:-\:1^2 = 0\)
\((\sqrt{2}\cos x + 1)(\sqrt{2}\cos x \:-\:1) = 0\)
\(\sqrt{2}\cos x + 1 = 0 \rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(x_1 = 135^{\circ}\)
\(x_2 = 225^{\circ}\)
\(\sqrt{2}\cos x \:-\:1 = 0 \rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(x_3 = 45^{\circ}\)
\(x_4 = 315^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 45^{\circ}, 135^{\circ}, 225^{\circ}, 315^{\circ}\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\cos(2x + 50^{\circ}) = \cos(x \:-\: 20^{\circ})\), untuk \(0^{\circ} < x < 360^{\circ}\)
\(\cos(2x + 50^{\circ}) = \cos(x \:-\: 20^{\circ})\)
Kemungkinan 1:
\(2x + 50^{\circ} = x \:-\: 20^{\circ}+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x \:-\: x = -20^{\circ}\:-\:50^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -70^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 290^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(2x + 50^{\circ} = -(x \:-\: 20^{\circ})+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + 50^{\circ} = -x + 20^{\circ}+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + x = 20^{\circ}\:-\:50^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(3x = -30^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -10^{\circ} + k\cdot 120^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 110^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 230^{\circ}\)
untuk \(k = 3 \rightarrow x = 350^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 110^{\circ}, 230^{\circ}, 290^{\circ}, 350^{\circ}\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\cos(2x + 120^{\circ}) = \sin(x + 30^{\circ})\), untuk \(0^{\circ} < x < 360^{\circ}\)
Dengan menggunakan sudut berelasi,
\(\color{blue}\sin \alpha = \cos (90^{\circ}\:-\:\alpha)\)
\(\cos(2x + 120^{\circ}) = \cos [90^{\circ} \:-\: (x + 30^{\circ})]\)
\(\cos(2x + 120^{\circ}) = \cos (60^{\circ}\:-\:x)\)
Kemungkinan 1:
\(2x + 120^{\circ} = 60^{\circ}\:-\:x + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + x = 60^{\circ} \:-\:120^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(3x = -60^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -20^{\circ} + k\cdot 120^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 100^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 220^{\circ}\)
untuk \(k = 3 \rightarrow x = 340^{\circ}\)
Kemungkinan 2:
\(2x + 120^{\circ} = -(60^{\circ}\:-\:x)+ k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x + 120^{\circ} = -60^{\circ} + x + k\cdot 360^{\circ}\)
\(2x \:-\: x = -60^{\circ}\:-\:120^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
\(x = -180^{\circ} + k\cdot 360^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 180^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 100^{\circ}, 180^{\circ}, 220^{\circ}, 340^{\circ}\rbrace\)
