Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\tan (x + 50^{\circ}) = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\tan (x + 50^{\circ}) = \tan 30^{\circ}\)
\(x + 50^{\circ} = 30^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
\(x = 30^{\circ}\:-\:50^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
\(x = -20^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 160^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 340^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 160^{\circ}, 340^{\circ} \rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\tan (2x \:-\: 15^{\circ}) = -1\), untuk \(0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}\)
\(\tan (2x \:-\: 15^{\circ}) = \tan 135^{\circ}\)
\(2x \:-\: 15^{\circ} = 135^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
\(2x = 135^{\circ} + 15^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
\(2x = 150^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
\(x = 75^{\circ} + k\cdot 90^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = 165^{\circ}\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = 255^{\circ}\)
untuk \(k = 3 \rightarrow x = 345^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace 75^{\circ}, 165^{\circ}, 255^{\circ}, 345^{\circ}\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\tan (2x \:-\: \dfrac{1}{3}\pi) = \tan (x + \dfrac{1}{2}\pi)\), untuk \(0\leq x \leq 2\pi\)
\(\tan (2x \:-\: \dfrac{1}{3}\pi) = \tan (x + \dfrac{1}{2}\pi)\)
\(2x \:-\: \dfrac{1}{3}\pi = x + \dfrac{1}{2}\pi + k\cdot \pi\)
\(2x\:-\:x = \dfrac{1}{2}\pi + \dfrac{1}{3}\pi + k\cdot \pi\)
\(x = \dfrac{5}{6}\pi + k\cdot \pi\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = \dfrac{5}{6}\pi\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{11}{6}\pi\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace \dfrac{5}{6}\pi, \dfrac{11}{6}\pi\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\tan (2x + \dfrac{1}{3}\pi) = \cot (x + \dfrac{1}{3}\pi)\), untuk \(0\leq x \leq \pi\)
Dengan menggunakan sudut berelasi:
\(\color{blue}\cot \alpha = \tan \left(\dfrac{1}{2}\pi\:-\:\alpha \right)\)
\(\tan (2x + \dfrac{1}{3}\pi) = \tan \left[\dfrac{1}{2}\pi\:-\: (x + \dfrac{1}{3}\pi)\right]\)
\(\tan (2x + \dfrac{1}{3}\pi) = \tan \left(\dfrac{1}{6}\pi\:-\: x\right)\)
\(2x + \dfrac{1}{3}\pi = \dfrac{1}{6}\pi\:-\: x + k\cdot \pi\)
\(2x + x = \dfrac{1}{6}\pi\:-\: \dfrac{1}{3}\pi + k\cdot \pi\)
\(3x = -\dfrac{1}{6}\pi + k\cdot \pi\)
\(x = -\dfrac{1}{18}\pi + k\cdot \dfrac{1}{3}\pi\)
untuk \(k = 1 \rightarrow x = \dfrac{5}{18}\pi\)
untuk \(k = 2 \rightarrow x = \dfrac{11}{18}\pi\)
untuk \(k = 3 \rightarrow x = \dfrac{17}{18}\pi\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace \dfrac{5}{18}\pi, \dfrac{11}{18}\pi, \dfrac{17}{18}\pi\rbrace\)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(\sec^2 x \:-\:4 = 0\), untuk \(-90^{\circ}\leq x \leq 90^{\circ}\)
Ubah \(\sec^2 x\) dengan menggunakan identitas:
\(\color{blue} 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)
\(1 + \tan^2 x \:-\:4 = 0\)
\( \tan^2 x \:-\:3 = 0\)
\( \tan^2 x \:-\:(\sqrt{3})^2 = 0\)
Selanjutnya faktorkan menggunakan rumus: \(\color{blue} a^2 \:-\:b^2 = (a + b)(a\:-\:b)\)
\((\tan x + \sqrt{3})(\tan x \:-\:\sqrt{3}) = 0\)
\(\tan x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan x = -\sqrt{3}\)
\(\tan x = \tan 120^{\circ}\)
\(x = 120^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = -1 \rightarrow x = -60^{\circ}\)
\(\tan x \:-\: \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan x = \sqrt{3}\)
\(\tan x = \tan 60^{\circ}\)
\(x = 60^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}\)
untuk \(k = 0 \rightarrow x = 60^{\circ}\)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\lbrace -60^{\circ}, 60^{\circ}\rbrace\)
