Tentukan solusi pertidaksamaan \(\sqrt{81^{1\:-\:2x}} \geq 27^{2\:-\:x}\)
\(\sqrt{81^{1\:-\:2x}} \geq 27^{2\:-\:x}\)
\(81^{\frac{1\:-\:2x}{2}} \geq 3^{3(2\:-\:x)}\)
\(3^{\cancelto{2}{4}\cdot\frac{1\:-\:2x}{\cancel{2}}} \geq 3^{3(2\:-\:x)}\)
\(3^{2(1\:-\:2x)} \geq 3^{3(2\:-\:x)}\)
\(2(1\:-\:2x) \geq 3(2\:-\:x)\)
\(2 \:-\: 4x \geq 6 \:-\: 3x\)
\(2\:-\:6 \geq -3x + 4x\)
\(-4 \geq x\)
\(x \leq -4\)
Jadi solusi pertidaksamaannya adalah \(x \leq -4\)
Tentukan solusi pertidaksamaan \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 \:-\: 3x \:-\: 1} < \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x^2 \:-\:12 x + 5}\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 \:-\:3x \:-\: 1} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3(x^2 \:-\: 12 x + 5)}\)
Karena bilangan pokok (basis) \(0 < \dfrac{1}{2} < 1\) maka tanda pertidaksamaan dibalik
\(x^2 \:-\: 3x \:-\: 1 > 3(x^2 \:-\: 12 x + 5)\)
\(x^2 \:-\: 3x \:-\: 1 > 3x^2 \:-\: 36x + 15\)
\(0 > 3x^2\:-\:x^2 – 36x + 3x + 15 + 1\)
\(0 > 2x^2 \:-\: 33x + 16\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\(0 > (2x\:-\:1)(x \:-\: 16)\)
\(\text{Pembuat nol:}\)
\(2x \:-\: 1 = 0 \rightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
\(x \:-\: 16 = 0 \rightarrow x = 16\)
Selanjutnya, buat garis bilangan dan lakukan cek tanda di setiap interval
Jadi solusi pertidaksamaannya adalah \(\dfrac{1}{2} < x < 16\)
Tentukan solusi pertidaksamaan \(5^{2x} \:-\: 30\cdot 5^x + 125 > 0\)
\(5^{2x} \:-\: 30\cdot 5^x + 125 > 0\)
\(\text{Misal: } p = 5^x\)
\(p^2\:-\: 30p + 125 > 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\((p \:-\:5)(p \:-\: 25) > 0\)
\(\text{Pembuat nol:}\)
\(p \:-\:5 = 0 \rightarrow p = 5\)
\(p \:-\:25 = 0 \rightarrow p = 25\)
Selanjutnya, buat garis bilangan dan lakukan cek tanda di setiap interval
\(\text{Solusi:} p < 5 \text{ atau } p > 25\)
\(p < 5 \rightarrow 5^x < 5^1 \rightarrow x < 1\)
\(p > 25 \rightarrow 5^x > 5^2 \rightarrow x > 2\)
Jadi solusi pertidaksamaannya adalah \(x < 1 \text{ atau } x > 2\)
Tentukan solusi pertidaksamaan \(2^{x + 2} \:-\:\dfrac{40}{2^x} \:-\: 27 < 0\)
\(2^{x + 2} \:-\:\dfrac{40}{2^x} \:-\: 27 < 0\)
\(2^2\cdot 2^{x}\:-\: \dfrac{40}{2^x} \:-\: 27 < 0\)
\(\text{Misal: } p = 2^x\)
\(4p \:-\: \dfrac{40}{p} \:-\:27 < 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{samakan penyebut}\)
\(\dfrac{4p^2 \:-\:40 \:-\: 27p}{p} < 0\)
\(\dfrac{4p^2 \:-\:27p \:-\: 40}{p} < 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\(\dfrac{(4p + 5)(p \:-\: 8)}{p} < 0\)
\(\text{Pembuat nol:}\)
\(4p + 5 = 0 \rightarrow p = -\dfrac{5}{4}\)
\(p\:-\: 8 = 0 \rightarrow p = 8\)
\(p \neq 0\)
Selanjutnya, buat garis bilangan dan lakukan cek tanda di setiap interval
\(\text{Solusi: } p < -\dfrac{5}{4} \text{ atau } 0 < p < 8\)
\(p < -\dfrac{5}{4}\)
\(2^x < -\dfrac{5}{4}\)
Tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi karena \(2^x\) selalu bernilai positif untuk setiap \(x \in \Re\)
\(p > 0\)
\(2^x > 0\:\:\:\:\:\color{blue}\text{semua x ∈ R memenuhi}\)
\(p < 8\)
\(2^x < 2^3\)
\(x < 3\)
Irisan dari \(x \in \Re\) dan \(x < 3\) adalah \(x < 3\)
Jadi solusi pertidaksamaannya adalah \(x < 3\)
Tentukan solusi pertidaksamaan \((0,16)^{x^2 \:-\: 3x +1} \leq (0,0256)^{x^2 \:-\: 1,5}\)
Ubah pecahan desimal menjadi bentuk pecahan biasa yang sederhana
\(0,16 = \dfrac{16}{100} = \dfrac{4}{25} = \left(\dfrac {2}{5}\right)^2\)
\(0,0256 = \dfrac{256}{10000} = \dfrac{16}{625} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^4\)
\((0,16)^{x^2 \:-\: 3x +1} \leq (0,0256)^{x^2\:-\: 1,5}\)
\(\left(\dfrac {2}{5}\right)^{2(x^2 \:-\: 3x +1)} \leq \left(\dfrac{2}{5}\right)^{4(x^2 \:-\: 1,5)}\)
Karena bilangan pokok (basis) \(0 < \dfrac{2}{5} < 1\) maka tanda pertidaksamaan dibalik
\(2(x^2 \:-\:3x +1) \geq 4(x^2 \:-\: 1,5)\)
\(2x^2 \:-\: 6x + 2 \geq 4x^2 \:-\: 6\)
\(0 \geq 4x^2 \:-\: 2x^2 + 6x \:-\: 6 \:-\: 2\)
\(0 \geq 2x^2 + 6x \:-\:8\:\:\:\:\:\color{blue}\text{bagi kedua ruas dengan 2}\)
\(0 \geq x^2 + 3x \:-\: 4\:\:\:\:\:\color{blue}\text{faktorkan}\)
\(0 \geq (x \:-\: 1)(x + 4)\)
\(\text{Pembuat nol: }\)
\(x \:-\:1 = 0 \rightarrow x = 1\)
\(x + 4 = 0 \rightarrow x = -4\)
Selanjutnya, buat garis bilangan dan lakukan cek tanda di setiap interval
Jadi solusi pertidaksamaannya adalah \(-4 \leq x \leq 1\)