Sebuah kawat dengan panjang 500 cm akan dibuat kerangka balok dengan panjang 25 cm. Jika volume baloknya maksimum, tentukan ukuran lebar dan tinggi balok tersebut.
Misal ukuran lebar balok = \(x\) dan ukuran tinggi balok = \(y\)
Keliling balok = 4 × (panjang + lebar + tinggi)
\(500 = 4\times (25 + x + y)\)
\(500 = 100 + 4x + 4y\)
\(400 = 4x + 4y\)
Bagi kedua ruas dengan 4,
\(100 = x + y\)
\(y = 100\:-\:x\dotso \color{red} (1)\)
Volume balok = panjang × lebar × tinggi
\(V = 25xy\dotso \color{red} (2)\)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
\(V = 25x(100\:-\:x)\)
\(V = 2500x\:-\:25x^2\)
Volume balok akan maksimum jika \(V’ = 0\)
\(2500\:-\:50x = 0\)
\(50x = 2500\)
\(x = 50\)
\(y = 100\:-\:50 = 50\)
Jadi ukuran lebar balok adalah 50 cm dan tingginya juga 50 cm
Tentukan luas maksimum persegi panjang yang dapat dibuat pada daerah yang dibatasi kurva \(y = -x^2 + 8\) dan sumbu X.
Kurva \(y = -x^2 + 8\) berbentuk parabola yang membuka ke bawah.
Luas persegi panjang = \(2x \cdot y\)
\(\text{L} = 2x(-x^2 + 8)\)
\(\text{L} = -2x^3 + 16x\)
Luas persegi panjang maksimum jika \(\text{L}’ = 0\)
\(\text{L}’ = -6x^2 + 16 = 0\)
\(-6x^2 = -16\)
\(x^2 = \dfrac{8}{3}\)
\(x = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\)
\(\text{L}_{\text{max}} = -2\left( \dfrac{2}{3}\sqrt{6} \right)^3 + 16\left( \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\right)\)
\(\text{L}_{\text{max}} = -2\left( \dfrac{16\sqrt{6}}{9}\right) + \left( \dfrac{32}{3}\sqrt{6}\right)\)
\(\text{L}_{\text{max}} = \left(- \dfrac{32}{9}\sqrt{6}\right) + \left( \dfrac{96}{9}\sqrt{6}\right)\)
\(\text{L}_{\text{max}} = \dfrac{64}{9}\sqrt{6} \)
Jadi luas maksimum persegi panjang tersebut adalah \(\dfrac{64}{9}\sqrt{6} \)
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi \(h\) meter setelah \(t\) detik dirumuskan dengan \(h(t) = -t^3 + \dfrac{5}{2}t^2 + 2t + 12\), maka tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut.
Tinggi maksium dapat dicapai peluru jika \(h'(t) = 0\)
\(h'(t) = -3t^2 + 5t + 2 = 0\)
\(3t^2\:-\:5t\:-\:2 = 0\)
\((3t + 1)(t \:-\: 2) = 0\)
\(3t + 1 = 0 \rightarrow t = -\dfrac{1}{3}\:\:\color{red} \text{ TM}\)
\(t\:-\:2 = 0 \rightarrow t = 2\text{ s}\)
\(h(2) = -(2)^3 + \dfrac{5}{2}(2)^2 + 2(2) + 12\)
\(h(2) = -8 + 10 + 4 + 12\)
\(h(2) = 18 \text{ meter}\)
Jadi ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah 18 meter.
Sebuah industri rumah tangga memproduksi \(x\) buah roti dengan biaya totalnya \((6x^2 \:-\:400x + 20.000)\) rupiah. Jika setiap roti dijual dengan harga \(4000\:-\:5x\) rupiah, maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh.
Keuntungan = penjualan x buah roti − biaya total
\(\text{K} = x(4000\:-\:5x) \:-\: (6x^2 \:-\:400x + 20.000)\)
\(\text{K} = 4000x\:-\:5x^2\:-\:6x^2 + 400x\:-\:20.000\)
\(\text{K} = -11x^2 + 4.400x\:-\:20.000\)
Agar keuntungannya maksimum maka \(\text{K}’ = 0\)
\(-22x + 4.400 = 0\)
\(x = \dfrac{4.400}{22} = 200\)
Keuntungan maksimumnya:
\(\text{K}_{\text{max}}= -11(200)^2 + 4.400(200)\:-\:20.000\)
\(\text{K}_{\text{max}}= -440.000 + 880.000\:-\:20.000\)
\(\text{K}_{\text{max}}= \text{ Rp420.000,00}\)
Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti gambar di bawah ini.
Tentukan luas maksimum daerah yang dibentuk oleh kawat tersebut.
Kawat sepanjang 120 m akan dibuat dibentuk menjadi bangun dengan kawat mendatar sejumlah \(3p\) dan kawat vertikal sejumlah \(4l\)
\(3p + 4l = 120\)
\(3p = 120 \:-\:4l\)
\(p = 40\:-\:\dfrac{4}{3}l\dotso \color{red} (1)\)
Luas bangun yang terbentuk \(L = p \cdot 2l\dotso \color{red} (2)\)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
\(L = (40\:-\:\dfrac{4}{3}l) \cdot 2l\)
\(L = 80l\:-\:\dfrac{8}{3}l^2\)
Agar luas maksimum maka \(L’ = 0\)
\(80\:-\:\dfrac{16}{3}l = 0\)
\(80 = \dfrac{16}{3}l\)
\(l = \dfrac{3}{\cancel{16}} \times \cancelto{5}{80}\)
\(l = 15 \text{ meter}\)
Substitusikan nilai \(l\) ini ke persamaan \(L\) untuk mendapatkan luas maksimum
\(L_{\text{max}} = 80(15)\:-\:\dfrac{8}{3}(15)^2\)
\(L_{\text{max}} = 1200\:-\:600\)
\(L_{\text{max}} = 600 \text{ m}^2\)
Sebuah setengah lingkaran berjari-jari 10 cm, di dalamnya terdapat sebuah persegi panjang. Tentukan luas maksimum persegi panjang yang dapat dibuat.
Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10 adalah \(x^2 + y^2 = 10^2\) atau dapat ditulis \(y = \sqrt{100 \:-\:x^2}\)
Persegi panjang yang berada di dalam setengah lingkaran memiliki ukuran panjang \(2x\) dan lebar \(y\) sehingga persamaan luasnya adalah:
\(L = 2x \cdot y\)
Substitusikan \(y = \sqrt{100 \:-\:x^2}\) ke dalam persamaan \(L\)
\(L = 2x \cdot \sqrt{100 \:-\:x^2}\)
Agar luas maksimum maka \(L’ = 0\)
Misal:
\(u = 2x \rightarrow u’ = 2\)
\(v = \sqrt{100 \:-\:x^2}\)
\( v’ = (-2x) \cdot \dfrac{1}{2} (100 \:-\: x^2)^{-\frac{1}{2}}\)
\(v’ = -\dfrac{x}{\sqrt{100 \:-\: x^2}}\)
\(L’ = u’\cdot v + u \cdot v’\)
\(0 = 2 \cdot \sqrt{100 \:-\:x^2} + 2x \cdot -\dfrac{x}{\sqrt{100 \:-\: x^2}}\)
\(0 = \dfrac{2(100 \:-\:x^2) \:-\: 2x^2}{\sqrt{100 \:-\: x^2}}\)
\(0 = \dfrac{200\:-\:4x^2}{\sqrt{100 \:-\: x^2}}\)
\(200\:-\:4x^2 = 0\)
\(4x^2 = 200\)
\(x^2 = 50\)
\(x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
\(L_{\text{max}} = 2( 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{100 \:-\:( 5\sqrt{2})^2}\)
\(L_{\text{max}} = 10 \sqrt{2}\cdot \sqrt{100 \:-\:50}\)
\(L_{\text{max}} = 10 \sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\)
\(L_{\text{max}} = 100\)
